première partie. — chapitre cinquième. 5i

fions primes, secondes, etc., de f(.r -+- i) relativement à /, et faisant ensuite i = o.

Or, si l’on suppose que le développement de f (.r -t- i) doive contenir, lorsque x = a, un terme affecté de i", tel que Ai", A étant une fonction de a, et m n’étant pas un nombre entier positif, en prenant les fonctions primes, secondes, etc., relativement à i, il iàudra que les développements de f' (x -4- i), f" (x -+- i), etc., contiennent les termes mAi "~' , m (m — i) A/" - ’, etc. (n° 10). Donc, taisant * = o, on en conclura que les fonctions £r, f'.r, f".r, etc., lorsque .r = a, contiendront respectivement les ternies Ao"', rnAo"~ ', m(m — i ) Ao'" -5 , etc.

Si m est un nombre quelconque négatif, il est clair que tous ces termes seront infinis.

Si m est un nombre positif non entier, soit n le nombre entier immédiatement plus grand que m , il est visible que le terme m (m — 1 ). . . (m — « -+- i) Ao'* - " sera infini, ainsi que tons les termes suivants, et que tous les précédents seront nuis.

Donc, en général,- la fonction f".r et toutes les suivantes f"*‘.r, f"^x, etc., à l’infini (n, n -f- i , etc., étant des indices), seront infinies, /i étant le nombre entier positif immédiatement plus grand que l’exposant m.