On conclura de là que le développement fir-t-tfa-H fx

ne peut devenir fautif pour une valeur donnée de. a-, qu autant qu’une des fonctions £r, f'.r, f".r, etc., deviendra infinie, ainsi que toutes les suivantes pour cette valeur de x. Alors-, si n est l’indice de la première fonction qui devient infinie, le développement dont il s’agit devra contenir un terme de la forme i",n> étant un nombre compris entre h — i et n.

Et si toutes les fonctions fx, f 'x, f".r, etc. , devenaient infinies pour la même valeur de .r, le développement de f(.r -|- /(.contiendrait, dans ce cas, des puissances négatives de i.

Pour trouver alors la vraie forme du développement suivant les puissances ascendantes de t, il faudra faire d’abord, dans la fonction

ÔJ

f(x -+- i), x égal à la valeur donnée, et développer ensuite suivant les puissances croissantes de i par les règles connues, en ayant égard aux puissances fractionnaires ou négatives de t qui se trouveraient dans la fonction même.

Au reste, nous remarquerons qu’en faisant y — fie, et prenant 1 x et y pour les coordonnées d’une courbe, cette courbe aura au point où l’une des fonctions y, y', y", etc., devient infinie, ainsi que toutes les suivantes, un rebroussement dont l'espèce dépendra de l’indice n, pourvu que l’exposant fractionnaire ni ait pour dénominateur un nombre pair; et l'on déterminera la nature du rebroussement par la forme du développement de f(.r i) dans ce cas.

31. Dans l'exemple du n°27, où y = (x — a) yx — b, on voit que la supposition de x — b détruit le radical dans y et doit, par conséquent, le détruire aussi dans les fonctions dérivées > ', y", etc.

Donc le développement Cr’-f- if'x -t- ^ f".r -t- ..., de f(.r -y i), en

supposant y = Cr — (x — «) y x — b; sera fautif dans le cas de x = b. F.n effet, on aura, dans ce cas.

ÎX — b