PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE CINQUIÈME

du numérateur et du dénominateur. Nous y avons vu que cela ne -saurait arriver que dans le cas où la même valeur de x rendrait ees fonctions successives infinies. 11 faudra donc alors -supposer x = </-+- i ( a étant la valeur de .r qui rend ces fonctions infinies) dans l’expression générale de la fraction, réduire ensuite cette expression en série, suivant les puissances ascendantes de i, et le premier terme de la série, en faisant i = o, donnera la valeur cherchée de la fraction pour le cas de .r = a. -

Ainsi, si l'on avait la fraction ", qui devient

,* lorsque x — a, et dont les fonctions primes, secondes, etc., du numérateur et du dénominateur, deviennent toutes infinies par la même valeur de .r, en y mettant a -h i au lieu de .r, et réduisant le numérateur et le dénominateur en série, elle deviendra

r — • 1 yV

<J-xai H — +

3 Vio

\ia

de sorte qu’en taisant i — o, on aura —— pour la valeur chercliée de

la fraction, lorsque x — a.

Kn effet, si, suivant la méthode du n" 28, l’on prend les fonctions primes du numératenr et du dénominateur, on aura

et

i y'x — n yx’ — «’

quantités qui deviennent infinies lorsque .r= a; mais en lesmultipliant l’une et I autre par i \j.v — a , la nouvelle fraction sera

yX — o y'x

y'x -f- Il

laquelle, en faisant .t — a, devient -4= , comme plus haut.

\jïa r

54 THÉORIE ni!S PONCTIONS.

Nous avons donc résolu les difficultés qui peuvent se rencontrer dans le. développement de f (.r ~h i); et quoique nous n'ayons considéré que des fonctions algébriques, il n’est pas difficile d’étendre nos solutions aux fonctions transcendantes. Comme ces difficultés n’ont lieu que pour des valeurs particulières de x, il est clair qu’elles n'influent- en rien sur la théorie des fonctions dérivées f.v, f*.r, etc.; mais il était nécessaire de les examiner, et de donner les moyens de les lever, pour ne laisser aucun nuage sur cette théorie. ( f ayez aussi la huitième leçon du Calcul des / 'onctions.)