CHAPITRE SIXIÈME

Résolution générale des fonctions en séries. Développement des fonctions en séries terminées et composées d’autant de termes que ton voudra. Moyen tt exprimer les restes depuis un , terme quelconque proposé. Théorème nouveau sur ces séries.

. 33. Nous avons vu jusqu’ici comment ou peut trouver directement tous les termes du développement de la fonction I i.r - 4 - i ) , suivant les puissances de t; on peut, de fa même manière, développer une fonction quelconque suivant les puissances ascendantes d'une des variables contenues dans la fonction.

En effet, si l’on prend la formule

f (X -4- i) = fx -4- ifx -f c -h — fie -4- . . . ,

puisque x et i sont deux quantités indéterminées, on y peut substituer x — i à la place tle x, ce qui donnera

fx = f(x — i) -4- tf'(x — i) -f- i-f"(x — i) ....

De plus, on pourra mettre xz à la place de i et l’on aura

fx = f (x — xz) -4- xz f'(x — xz) -4- f" (x — xz) -4- ... ,

où z est une quantité arbitraire quelconque.

ici fx représente, comme l’on voit, une fonction quelconque de x.

THEORIE DES PONCTIONS.

et f'(x — xz), f"(x — xz) , etc., représentent les fonctions primes, secondes, etc. , de fr, en y substituant x (i — z) à la place de .r. Mais quoique fr ne représente qu’une fonction de x relativement à ses fonctions dérivées, il est clair qu’elle peut représenter, en général, une fonction quelconque de ,r et d’autres quantités quelconques, pourvu que ces quantités y soient regardées comme constantes dans la formation des fonctions dérivées f.r, f^.r, etc.

Si dans la formule précédente on fait z = o, l’équation devient identique fr — fr, et si l’on fait z = i , la quantité .r — xz s’évanouit; de sorte que, si l’on dénote simplement par f, f\ f", etc., les valeurs des fonctions fr, T.r, f"x, etc., lorsque .r = o, on aura

fr =.f -t- .rf' -t- -* f "-t- . . . .

Ainsi, lorsque fr sera une fonction donnée de plusieurs variables •r, y, etc., il n’y aura qu’à chercher, par les règles générales, les fonctions dérivées par rapport à .r seul , et y faire ensuite x = o; on aura tous les termes du développement de la fonction suivant les puissances ascendantes de .r, et il est clair que les valeurs des quantités f', f", etc., seront des fonctions de y, etc., sans x, toutes dérivées de la fonction primitive, suivant une loi dépendante de la manière dont la quantité x entrera dans cette fonction.

34. Qn pourrait trouver ce développement d’une manière plus simple, en supposant tout de suite

fr = A -4- Br -t- Cx’ Dx*

A, B, C, etc., étant des quantités indépendantes de x. Pour les déterminer, on considérera que cette équation, devant être identique, doit avoir lieu pour toütes les valeurs de x. Donc, 1 ° en faisant x = o, on aura f = A ; a" en prenant les fonctions primes de tous ses termes (n°* 10 , 17 ), on aura encore l’équation identique

f x = B -t- aCx -t- '3Dx J