PREMIERE PARTIE. — CHAPITRE SIXIÈME

où , faisant de nouveau r = o , on aura f' = B ; 3° en prenant de nouveau les fonctions primes, on aura

f*x = aC -+- a,3D.r -H- 3.4^“ -+- •••,

où, faisant derechef .r = o, on aura F" = aC. Continuant de la même manière, on trouvera

r = a.3D, f” = a,3.4K, > ' etc.;...

d'où l’on tire * , »• .

a =* f, * b = r, c ;= -r, ■'[) = ~r, ètc.,

ce qui donnera, par la substitution, la même série pour fr que ci-dessus. Mais cette méthode est moins directe que la précédente, et elle suppose déjà la théorie des fonctions dérivées; elle est d’ailleurs moins rigoureuse, en ce qu’elle suppose, de plus, que la somme de tous les termes affectés de x devient nulle lorsque x= o, quoique les coefficients de ces termes augmentent à l’infini dans les équations dérivées; mais le grand avantage de la méthode précédente consiste en ce qu’elle donne le moyen d’arrêter le développement de la série à tel terme que l’on voudra, et de juger de la valeur du reste de la série.

Ce problème, l’un des plus importants de la théorie des séries, n’a pas encore été résolu d’une manière générale. On pourrait, à la vérité, le résoudre pour chaque fonction en particulier, par les méthodes exposées dans le chapitre premier; mais il serait impossible de parvenir par cette voie à une solution générale pour une fonction quelconque.

55. Reprenons donc la formule générale trouvée ci-dessus (n° 33),

fi’ = f (.r — x:) -(- xzF (x — xz) -

-r(x— xz)-

et supposons que l'on veuille s’arrêter au premier terme f(x, — xz). Comme tous les termes suivants sont multipliés par x, nous suppo- 3 ' rd. 8

serons

tx — f(.r — xz) 4- xP,

P étant regardé eomnje une fonction de z, qui devra être nulle lorsque : = o, puisque alors f (x — xz) devient fx.

( ’-omme cette équation doit avoir lieu; quelle que soft la valeur de s, 'qui est arbitraire, son équation prime, relativement à z, aura donc lieu aussi (n° 17). On prendra doue les fonctions primes relativement à cette variable,' et il est facile de voir que la fonction prime du terme f(x — xz) sera — xF(x — xz); car on a démontré (n° 1U) que si >•== (p, y étant une fonction de x, on a

ainsi, en rapportant les fonctions dérivées à la variable z, et taisant p = x — xz, on aura

y' = — j'P p = — xf (x — xz).

et

Donc, à cause que fx ne renferme |H>iut z, l'équation prime relative à z de l'équation ci-dessus sera

o == — .rr(x — xz)-l-xP',

P' étant la fonction prfme de P relativement à s ; d’où I on tire •

P'=r(x — xz).

On aura donc la valeur de P, en cherchant une fonction de z dont la fonction prime soit égale à f'(.r — - xz) v et qui, de plus, soit telle, qu’elle devfenne nulle lorsque z — o. Cette valeur de P ainsi trouvée, si l’on y fait z = i , on aura ^ '

fx = f-f- xP.

Supposons, en second lieu,

fx = f(.r — xz) -+- xzf{. v — xz) x’Q ,

Q étant une fonction de z, qui devra -être nulle, nomme l’on voit, lorsque z =r'o. • •