PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE SIXIEME. Oy

En prenant, comme ci-dessus, les fonctions primes relativement à on aura cette équation prime

o == — .rf'(.r — .rz) - 4 - .rf'(.r — .<■;) — .e J zf"(,r — '.rz) -4- r'Q\

où les fonctions désignées par f\ f'\ sont les funetions primes et

secondes de Sx relativement à x tm et dans lesquelles on a mis ensuite

■v — Xz pour .r. O»- tire de là, «i effaçant ce qui détruit, , ;

de sorte que I on aura la valeur de Q en cherchant une fonction de z,

dont la fonction prime ait la valeur que l’on vient de trouver pour Q\ et qui ait la condition de devenir nulle lorsque ; — o. Si ensuite l’on fait z = i on aura • .

Cr = f-f- xF -i- .r’Q.

Soit, en troisième lieu, v -

fr = f(.r — xi) -4- xz('(x — jcz) -h -^-f" (x — xz) -+- r J R ^

K étant une fonction de z «pii s'évanouisse lorsque z => o. On trouvera, en prenant les fonctions primes relativement à z, et effarant les

termes qui se détruisent mutuellement, \

R’=ïrix-xz),

la fonction représentée par F" étant la fonction tierce de la relative- • ment à a-, -transformée par la substitution de .r — .rz à la place de x.

Il faudra donc, pour avoir la valeur de R , trouver une fouet ion primitive de z, dont la fonction prime soit la valeur précédente de R', ‘ et qui soit telle, qu’elle s’évanouisse lorsque s = o. Cette, fonction étant trouvée, on aura, en faisant z = i,

Cl = f -t- Xf î-f" R,

et ainsi de suite.

Ho THÉORIE UES FONCTIONS.

Kn continuant ainsi, on aura la formule du n“33,

fr =f + xf V - f + 4r+’-.

Mais l'analyse précédente a l’avantage de donner la manière d'avoir

les restes .rP, .r'Q, .i' 3 R, etc., de la série, lorsqu’on veut l’interrompre à son premier, deuxième, troisième, etc. , terme.

•36. 'Voilà le problème résolu analytiquement; niais, comme les quantités P, Q, R, etc., ne sont connues que par leurs fonctions primes, il reste encore à remonter de ces fonctions aux (onctions primitives, ce qui peut être souvent fort difficile et même impossible. Cependant, si l'on connaissait la quantité P, on en pourrait déduire • toutes les autres par les simples fonctions dérivées; car la comparaison fies valeurs de Cr donne

P = îf'(.r — .es) -+■ .rQ,

et- l’on a trouvé f'(j' — .es) = P'; donc, substituant, on aura

cP = sp:-nxQ,

cToü l'on tir*'

‘ P — zP

On a ensuite

= -V (.v - .es) -+-

et l’on :'a trouvé

sf " (jr — ara) — O

donc

Q = :q; + .iR;

d où l’on tire

On trouvera de même

et ainsi de suite.