CHAPITRE SIXIEME

On h d'abord, par les fonctions dérivées relatives à .r,

f f (.c *') = fir -t-VP'; . .

ensuite, par lesd’onctions dérivées relatives à /,

+ i) ='P + iP,;',

car il est visible que, relativement à /, la dérivée de f (.» -t- <) est la même que relativement £ .r. On aura donc

’ f'x -+- /P'= P -h tP,;

d’où l'on tire * .

Faisons Q = P' — P,; on aura, en substituant la valeur de„P, f(.r i) — (r -+- if'.r -h PQ.

Prenons de nouveau les fonctions dérivées par rapport à x et par rapport à i, on aura

. \ . f (* H- i ) = f '.r -+- iTx -f- i 1 Q,

donc

f'x + fQ^aQ + iQ,

d'où

Donc, si l’on fait H = — ’ on aura, en substituant,

f (x -f- *) = Er *+- if.c -i- l - f". v -+- i *R . .

<3n trouvera de même, en faisant S = — - —

et ainsi de suite.

Si l’on fait, par exemple, fx = - > ce qui donne

on aura

doue

ensuite,

et de là

x*(x- 4 -i)ft x(x -+••)* x(x+i)” ,

On trouvera de même

et ainsi de suite, ce qui redonnera la série déjà trouvée.

Mais, pour notre objet, il importe moins de connaître les restes exacts de la série développée jusqu’à un terme quelconque, que d'avoir des limites de ces restes pour pouvoir apprécier l’erreur que l'on peut commettre en ne tenant compte que de quelques-uns des premiers termes.