PREMIERE PARTIE. — CHAPITRE SIXIEME

tive, la valeur de P sera nécessairement positive depuis i— o jusqu'à une certaine valeur de i, que l’on pourra prendre aussi petite que l’on voudra. Donc, lorsque la valeur de la fonction prime f'.r est positive, on pourra toujours prendre pour i une quantité positive et assez petite pour que la quantité f(.r -+- t) — f;r soit nécessairement positive.

-Mettons successivement à la place de .r les quantités «, a - h i, a a », a 3 i, etc., a + ni, il en résultera que l’on peut prendre i

positif et assez petit pour que toutes les quantités f (zr -t- i) — f«, f(iz - 4 - a i) — f(a-t- i), f (a -f- 3i) — ai), jusqu’à f[n -f- (n -h t)ij — f (a -h ni), soient nécessairement positives, si les quantités fa, -f'(a -+■ i), f ' (a -t- ai), etc., jusqu'à f(a -+- ni) le sont. Donc, aussi dans ce cas, la somme des premières quantités, c’est-à-dire la quantité f[n -+- (n -f- i) il — f«, sera positive.

Faisons maintenant a -l- (n -+- i) i = b," on aura

et l'on en conclura que la quantité f b — fa sera nécessairement positive, si toutes les quantités fa, f i^a -f- — — ^ > f'

f' -t- > etc. , jusqu'à F (a -+*• j . sont positives en

prenant n aussi grand que l'on voudra.

Donc, à plus forte raison, la quantité f b — fa seça .positive, si faest toujours une quantité positive, en donnant à .y toutes les valeurs possibles, depuis x s*= n jusqu’à x = b ,* puisque, parmi ces

valeurs, se trouveront nécessairement les valeurs a, a -+- — — ,

en prenant n aussi grand que l’on

voudra

etc., a -4- — ’-■>

59. A l’aide de ce lemme, on peut trouver des limites en plus et en moins de toute fonction primitive dont on connaît la fonction prime.

Soit la fonction primitive Fz dont la fonction primé F'z soit ex- 3 - «y. 9

primée par : m Z, Z étant une fonction donnée de z. Soient M la plus grande, et 'N la plus petite valeur de Z pour toutes les valeurs de z comprises entre les quantités a et i, en regardant comme plus grandes les négatives moindres, et comme moindres les négatives plus grandes, ce qui est conforme à la marche du calcul, puisque, par exemple, — i > — a — 5 > — 7 , et de même — a < — ‘ i , et ainsi des autres. Donc les quantités M — Z et Z — N seront toujours positives depuis z = a jusqu’à z = b, et il en sera de même des quantités z"(M — Z) et z m (Z *— Pï).

Donc, i“. si l’on fait F z= z " ( M — Z), on aura par le lemme précédent

fi — fit > o; ' »

or, z m Z étant F'z, sa fonction primitive sera Fz, et connue M est une

• * » ... , Mz“ +1

quantité constante, la fonction primitive de M;'" est donc on

aura .

Yz =

JV1Z-+*

Fz;

et faisant successivement, z = a et z — b, l’équation f b — . fa > o donnera • , • * * ,

Mi"

d’où l’on tire

Fi < Fa

2 °. Si J’on fait f z = z m (Z — N), on aura aussi (b — fa >o,

et l'on trouvera, comme ci-dessus.

,fz = Fz —

Nz" +I

donc, faisant successivement z — a et z — b, l’équation I7> — fit > o donnera

• w, Ni-+’ No“+‘

FM r 1(H-— ^> 0 ;