PREMIERS PARTIE. — CHAPITRE SIXIEME

d'où l’on tire

F b > Fa +

Appliquons ces résultats aux quantités P, Q, R, etc., du n° 3, f >. Comme ces quantités sont regardées comme des fonctions de z, nous supposerons d’abord P = Fs, et par conséquent

P'= F'z = f '(x — xz);

donc, puisqu'on a supposé F ’z — z m 7. , prenant m = o, on aura

Faisons maintenant a ±= o et b — 1 , la condition de la fonction P,

qui doit être nulle lorsque z — o, donnera Fn = o, et alors K b sera

la valeur de P répondant à z — î .

Donc, si M et N sont la plus grande et la plus petite valeur de

f'ùr — xz ) , relativement à toutes les valeurs de z, depuis z — o

jusqu a z == I , on aura

F h < M et > N.,

Par conséquent, M et N seront les deux limites de la quantité P, en y faisant z = i . * ,

Supposons, en second lieu, Q = F'z, on aura

Q' = F'z = zf" (.r T- xz) ; ’

donc, faisan^ m = i , on aura

Soit pareillement a . = o et b =? i , on aura aussi, 1 par la condition de la fonction Q, qui doit être nulle lorsque z est; nul,

Fer = o,

et alors Fb sera égale à la valeur de Q répondant à z ==*i .

Donc, si M, et N, sont la plus grande et la plus petite valeur de f" (.r — xz) pour toutes les valeurs rie z, depuis z =-o jusqu’à z = i , on aura

F b < et

de sorte que ^ et ^ seront les limites de la valeur Q lorsque s y est égal à i .

Supposons, en troisième lieu, R=Fz, on aura

R' = F'z = ->(x — xz);

donc, faisant m = a, a — o, b = i , on trouvera de la même manière que si M , et N, sont la plus grande et la pltis petite valeur de 1 f"(x — .cz), en doiuiant à z toutes les valeurs depuis zéro

jusqu’à l’unité, on aura -î^et pour les limites de la valeur de la

quantité R, lorsqu’on y fait z ='i; et ainsi de suite. *

Maintenant il est clair qu’en donnant à z, dam une fonction de •r ( i — z), toutes les, valeurs depuis z — o jusqu’à z = i, les valeurs que recevra cette fonction seront les mêmes que celles que recevrait une pareille fonction de u, en donnant successivement a // toutes les valeurs depuis u — o jusqu'à « = .r; car, faisant •r (t — z) = //, z— o donne// = x, z = »i donne u == o, et les valeurs intermédiaires de z donneront des valeurs de u intermédiaires entre celles-ci. D’où àl est aisé de conclure que les quantités M et N seront la plus grande et la plus petite valeur de f'«, relativement à toutes les valeurs de //, depuis «#= o jusqu'à u — r; et que, par conseil lient, toute valeur intermédiaire entre M et N pourra être exprimée par f’//, en donnant à u une valeur intermédiaire entre o et .r. Donc la valeur de Ja quantité P relative à : = i pourra être exprimée par f!«,’,« étant une quantité entre- o et z. ’ On en conclura d» même que. la valeur de Q répondant à ; = i pourra être exprimée

par * r ÿ , eu donnant à u une valeur intermédiaire entre o et ,iv Et I on en cquchira pareillement que la valeur -ÿe R relative à : = i pourra -être exprimée par ™ f m « , en prenant pour u une quantité entre o-et t; et ainsi «le suite.

40 D où résulte* enfin ce théorème -nouveau et remarquable par