CHAPITRE SIXIEME

sa simplicité et sa généralité, qu’en désignant p^r u une quantité inconnue, mais renfermée entre les limites o et x, on peut développer successivement toute fonction de x et 'd’autres quantités quelconques suivant les puissances de x, de cette manière,

£r = f -f- xfu = f4-«f +

= f 4- xf — f * -f- —* r u

etc. , «

les quantités f, f', f", etc., étant les valeurs de la fonction f.é et de ses dérivées f'x, f'x, etc., lorsqu’on y fait x = o.

Ainsi, pour le développement de f(z -f- x), suivant les puissances de x, oïl aura

f =fe, r= f'z, r=f"z, etc.,

où l’on remarquera que les quantités f'z, f"z, etc., sont également les fonctions primes, secondes, etc., de fz, ce qui est évident, car il est visible que f'(z-t-x), f" (z 4 - x), etc., sont également les fonctions primes, secondes, etc., de f(z -f- x), soit qu’on les prenne relativement à x ou relativement à z, puisque l’augmentation de z-t-x est la même en changeant x en x -+- », ou z en z ■+■ i. *

Prenant donc f'z, f"z, etc., pour les fonctions dérivées de fz, on * aura *4

f(z 4- x) = fz *+■ x f (z 4- ti ) .

— fz 4- x f'z -t- — f "(z 4- u)

: = fz -t- x f'z 4- - r* + 4= r (z 4 - «)

etc., # . * * *

où u désigne une quantité inconnue, mais renfermée entre les limites-*

o et x. -

K 11 changeant z en x et x en », on aura le développement de f(x 4- »’-) suivant les puissances de », et l'on Voit que dans ce

développement la série infinie, à partir d’un terme quelconque, est toujours égale à la valeur de ce premier terme, en y mettant x-hj à la place de ,r, J étant une quantité entre o et i; que, par conséquent, la plus grande et la plus petite valeur de ce terme, relativement à toutes les valeurs de j, depuis o jusqu’à i, seront les limites de la valeur du reste de la série continuée à l’infini.

Si l’on fait fz = z m , on aura le développement du binôme (z -+- x)'", et l’on en conclura que la somme de tous les termes, à partir d’un terme quelconque

sera renfermée entre ces limites

et

car il est évident que la plus grande et la plus petite valeur de ' (z -+r n) m ~ m seront (z -+- x) m ’ et z" - ".

La perfection des méthodes d’approximation dans lesquelles on emploie les séries dépend non-seulement de la convergence des séries, mais encore de ce que l’on puisse estimer l’erreur qui résulte des termes que l’on néglige; et à cet égard on peut dire que presque toutes les méthodes d’approximation dont 6 n fait usage dans la solution des problèmes géométriques et mécaniques sont encore trèsimparfaites. Le théorème précédent pourra servir, dans beaucoup d’occasions, à donner à ces méthodes la perfection qui leur manque, et sans laquelle il est souvent dangereux de les employer.

' On trouve dans & neuvième leçon du Calcul des Fonctions une ^méthode plus simple d’avoir les limites du développement d’une Ibnction, avec de nouvelles remarques sur ce sujet. Voyez aussi un Mémoire de M. Ampère, dans le tome VI du Joitrnal de l’Ecole Polytechnique.