CHAPITRE SEPTIÈME

Des équations dérivées et de leur usage dans t analyse pour la transformation des Jonctions. Théàrle générale de ces équations et des constantes arbitraires qui y entrent.

if. Jusqu’à présent nous n’avons considéré les fonctions dérivées que comme pouvant Servir à la formation des séries; mais ces fonctipns, considérées en dfte-mèines, oifirent; un nouveau système d’opérations algébriques, et fournissent des transformations qui sont d’un usage unmeru^daiis toute l’analysV,

Nous avonS çfejà vu (n° 17) que si l’on a ime équation quelconque eh x et y, ou simplement en x, laquelle doive avoir lieu quelle que soit la valeur de x, les équations dérivées que l’on obtiendra en prenant les fonctions dérivées de chaque terme de la proposée auront lieu aussi. Chacune de ces équations , et même une combinaison quelconque de ces équations, pourra donc tenir lieu de l’équation primitive, et l’on obtiendra souvent par ce moyen des "équations subsidiaires plus simples ou plus faciles à résoudre que les équations principales.

Nous avons nommé équatèbns primes, secondé etc. , les équations dérivées que l’on obtiapt en prenant les fonctions primes, secondes, etc-, de tous les termes de l’équation primitive donnée; mais nous nommerons, en général, équations dérivées du premier ordre, du second ordre, etc. , les équations que l’on pourra former par une Combinaison quelconque de l’équation primitive et de son équation prime, ou de celles-ci et de l’équation seconde, et ainsi de suite.

THÉOMIE UES FONCTIONS.

Ainsi l’équation primitive contenant ,r et y, l’équation dérivée du premier ordre contiendra x, y et y', (équation dérivée du second contiendra x, y, y' et y"; et ainsi du reste.

42. Nous allons montrer, par quelques exemples, l'usage des équations dérivées pour la transformation des fonctions. Et d’abord nous remarquerons que par la combinaison d’une fonction avec sa fonction prime, on peut faire disparaître un exposant quelconque.

Soit l’équation y =-X", X étant une fonction quelconque de x, en prenant les fonctions primes, on aura (n° 16)

donc, divisant cette équation par la précédente, on aura

• y’ mX 1 v < vi

savoir, \y — wXy=o,

équation dérivée du premier ordre où la puissance X m ne se trouve plus, et qui, dans cet état, est bien plus commode pour développer la valeur d ey en série, par la méthode usitée des coefficients indéterminés. En effet, si l’on a, par exemple,

X = <i -+• bx -+* ex * rf-r 1 -+- . .. ,

et que l’on suppose

y = A -y Rr Cr 11 -+- Dx’ -t- . . . ,

on aura, en prenant les fonctions primes,

X = b -f- 2CX ré 3 (lx* . . >,

ÿ= B -P aCx-t- ÎDx’ -+- ...;

donc , substituant et réunissant les termes affectés de la même puissance de .r, on aura

nB — rnbA -+- [aaC 6B — rn (acA -t- 6B)]x -+- [3aD abC -4- cB — m (3r/A -t- acB -4- -P etc. == o,