XV- xy -h xy=p

3 * éd.

THEOIUE DES FONCTIONS.

où il n’y a plus de transcendantes; on trouvera la même équation eu faisant y = cos X .

Si l'on tait ici pour X et/ les memes substitutions que ci-dessus (n" 42), et qu’après avoir ordonné les termes suivant les puissances de ,r, on égale à zéro la somme de tous ceux qui se trouveront multipliés par la même puissance de x, on aura autant d’équations particulières qui serviront à déterminer les coefficients indétermiués «te l’expression supposée de y par les deux qui précèdent. A l'égard des deux premiei's, ils demeureront indéterminés; mais il faudra les déterminer de manière que l'équation primitive et l'équation prime aient lieu en faisant a, =o. Or l'équation r=sinX devient alors A=sin«. et l'équation y' — X' eosX devient B - l> cos n.

44. Non-seulement l’équation dérivée du second ordre que nous venons de trouver ,peut»servir à développer en série la valeur de sin X ou Vos X , elle peut servir aussi à trouver une autre transformation de cette valeur au moyen des exponentielles.

t Supposons, en effet, / = c* , ,e étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité (n° 12 ), et V un.e fonction indéterminée de.r; en prenant les fonctions primes et secondes, on aura

•ti.

et ces valeurs étant substituées dans l’équation dont il s’agit, on aura.

après la division par la quantité e v qui en multiplie tous les termes,

J’observe que IV) n peut satisfaire à cette éijuation en faisant

m étant un coefficient constant, ce qui donne V";= /«X"; car, substituant ces 'valeurs, l’équation se réduit à

donc *

i -+- Ml* = o et ni = \/ — i .