première partie. — chapitre septième

Cette formule a l’avantage de faire voir pourquoi il reste des coefficients indéterminés, comme nous l’avons trouvé ci-dessus.

E11 effet, si l’on veut déterminer la valeur de y par une équation dérivée du premier ordre, cette équation donnera la valeur dey' en x et y, et de là on trouvera une équation du second ordre euj', y', y, x, une équation du troisième en y", y", y', y, x, et ainsi de suite; de sorte qu’en substituant successivement dans ces équations les valeurs de y', 'y v , etc., données par les équations^précédentes, on aura en dernière analyse y' , y" , y m , etc., exprimés en a - et y. Donc, faisant x = o, on aura ( y ' ), (y"), ( y m ), etc., exprimés en ( y) qui demeu-* ' rera indéterminé.

De même, si l’on ne fait dépendre la détermination de que d’nne équation dérivée du second ordre en x, y , y' et y", on en tirera successivement une équation tierce entre x, y, y ' , y ", y m , et ainsi de suite; et par des substitutions successives, on aura en dernière analyse y", y", etc., donnés en x, y, y'; de sorte qu’en faisant x = o, on aura les valeurs de ( y"), (y m ), (j ,T ), etc., exprimées en ( y) et (>■'), ces deux quantités demeurant indéterminées; et ainsi de suite.

Ainsi, lorsqu’on part d’une équation dérivée du premier ordre, il reste une indéterminée (y); lorsqu’on part d’une équation du second ordre, il reste deux indéterminées (y) et (y f ), et ainsi de suite; et l’on voit que ces indéterminées sont constantes, puisque ce sont les valeurs de y, y', y", etc., lorsque A’ = o.

4 ti. Quoique la conclusion précédente soit fondée sur la théorie des séries, il n’est pas difficile de se convaincre qu’elle doit avoir lieu généralement, quelle que soit l’expresrfûn de y y puisque l’on peut toujours regarder une expression en série comme le développement d’une expression finie.' Mais, comme c’est là une propriété caractéristique des équations dérivées entre deux variables, il est important de l’établir sur la nature même de ces équations.

Considérons donc , en général , l’équation à deux variables F (a, y) = o, et désignons simplement par F (x, y ) 1 = o son équation prime, par F £r, y)” .=> o l’équation seconde, et ainsi de suite, en

regardant .r.et j comme variables à la fois. Soient a, b, c, etc., des constantes quelconques contenues dans la fonction Ej^p, y), ces constantes seront les mêmes diuis les fonctions dérivées; ainsi, puisque les équations F. (a;, y) = o et F (•*’» y)' ~ ° ont lieu en même temps, on pourra en éliminer une constante a, et l'équation résultante sera une équation du premier ordre entre r, y et y’, quf renfermera une constante de moins que l'équation primitive, et qui aura, par conséquent, lieu' en même temps que celle-ci. De ayroéi^les trois équations F (x, y) = o, F (.r, y ) 1 = o, F (x, y)” = o, ayant lieu à la fois, on pourra en éliminer deux constantes a, b, et l’équation réspl-"' tante sera une équation du second ordre entre .r, y, y’ et y", qui renfermera deux constantes de moins que l’équation primitive, et qui aura lieu en même temps qu'elle; et ainsi de suite.

Donc, puisque dans les équations à deux variables une équation du premier ordre peut renfermer une constante de moins que l'équation primitive, une équation du second ordre peut renfermer deux constantes de moins que l'équation primitive, et ainsi de suite, il s'ensuit réciproquement que l'équation primitive doit contenir une constante de plus qiie l’équation dérivée du premier ordre, deux constantes de plus que l’équation dérivée du second ordre, et ainsi de suite, constantes cpii seront, par conséquent, arbitraires; et U est visible en même temps qu’elles ne sauraient en contenir davantage, puisqu’on ne pourrait pas les faire disparaître toutes par le moyen des équations dérivées.

Donc, si l’on n’a pour la détermination d une fonction qti’une équation du premier ordre, ou du second, ou etc., l'équation primitive, prise dans toute sa généralité ,*devra contenir une constante arbitraire, ou deux, etc., suivant l'ordre de l’équation donnée, et l’on déterminera ces constantes par des valeurs particulières données de la fonction ou de ses dérivées.

Si donc on trouve d’une manière quelconque une équation en ,r et y qui satisfasse à une équation donnée d’un ordre quelconque, et qui renferme autant de constantes arbitraires qu’il y a d'unités dans l'indice de cet ordre, on en conclura que cette équation sera l’équation