CHAPITRE SEPTIEME

primitive de l’équation donnée, et |K>urra, dans tous les cas, être ertiployée à la place de celle-ci.

, 47. Au lieu d'éliminer à la fois les deux constantes a et b des trois équations F (x, •>')'*= o, F (x, j)' — o, F (.r, y)" = d, on peut n’éliminer d'abord queia constante b ou d des deux premières; on aura ainsi deux équations du premier ordre, dont l’une rit renfermera que la constante a, et l’autre la constante b. Si maintenant on élimine de chacune de ces équations la constante a ou b par le moyen de son équation prime, on aura deux équations du second ordre sans a ni 6,* ijui devront coïncider avec l’équation résultante de «‘T élimination simultanée de ces constantes par le moyen des trois équations F(x, j) = o, FjJXjj-J'sso, l*(x,j)"=o, parce que la valeur de, v", que ces équations du second ordre donneront, et qui sera exprimée cri a , y et y', sans a ni b, ne peut qu'être la même, de quelque manière qu elle soit déduite de l’équation primitive. r

D’où l’on peut conclure qu'une équation du second ordre peut être dérivée de deux équations diflërentes du premier ordre, renfër- . niant chacune une constante arbitraire de plus.

Et l’on prouvera de la même manière qu'une équation du troisième ordre pourra être dérivée de trois équations diflërentes du second ordre, renfermant chacune une constante arbitraire; et ainsi de suite.

En même temps on toit que, si pour une équation donnée du second ordre, on en trouve deux du premier ordre qui satisfassent chacune a cette équation, et qui renferment chacune une constante arbitraire n ou b , on en pourra déduire immédiatement l'équation primitive; car il sulhra dc chasser de ces équations la quantité y’ et l’on aura une équation en .r et y, avpc deux constantes a*bitraires a et b.

11 en sera de même pour les équations du troisième ordre; car si l'on trouve trois équations du second ordre qui satisfassent chacune à une équation du troisième ordre, et qui aient en même temps les constantes arbitraires a, b' c, on aura, en éliminant y' et y", une équation en x,y et a, b, c, qui sera, par conséquent, l’éqnation primitive de l'équation donnée ; et aùisi de suite.

48. Mais si pour une équation du second ordre on en trouve deux du premier ordre qui y satisfassent, et dont une seule renferme une constante arbitraire, alors en éliminant y', on aura une équation en x et v, qui ne renfermera qu’une constante arbitraire, et qui ne sera p«is l edfljpion primitive complète de la proposée du second ordre; mais cette equabon satisfera également aux deux du premier ordre, puis- * -qu’elle sa K fait a celle <tu second ordre, qui est également dérivée de ces deux- ci; donc elle pourra être regardée comme l’équation primitive complète de l’équation du premier ordre qui ne renferme point de constante arbitraire. D’où je conclus qu’étant proposée une équation du premier ordre en x, y et y', si l'on en déduit d'une manière quelconque une équation du second, soit en éliminant une constante ou non, et qu’ensuite on trouve une autre équation primitive du premier ordre, avec une constante .arbitraire a, on aura, par l’élimination de y' entre celle-ci et la proposée, une équation en x et v qui contiendra la constante arbitraire a, et qui sera, par conséquent, l’équation primitive complète de la proposée.

On prouvera de la même manière que, si de la proposée du premier ordre on déduit une équation du troisième ordre, et qu'ensuite on» trouve pour celle-ci une équation primitive du second, avec une constante arbitraire dans laquelle la proposée ne soit pas renfermée, il n’y aura qu’à éliminer les y* et y' au moyen de la proposée, et l’on aura une équation en x et y qui renfermera une constante arbitraire, et qui sera, par conséquent, l'équation primitive complète de la proposée; et ainsi de suite. ->

On peut appliquer le même raisonnement aux équations des ordres supérieurs au premier, et en tirer des conclusions semblables.

sujet de ce cliapitre est traité avec plus de détail dans .les leçons X, XI et XII du Calcul tics Fonctions, où le lecteur trouvera une analyse complète des sections angulaires.

PREMIERE P^yrriE. — CHAPITRE HUITIEME.