CHAPITRE HUITIÈME

Ou l'on .examine les' cas simples dans lesquels on peut passer des /onctions ou des équations dérivées du premier ordre aux fonctions ou aux équations primitives. Des équations linéaires des différents ordres, et de celles que l'on peut rendre linéaires. •.

4* jÉS:. *

49. Une équation du premier ordre en x, y et / étant donnée, si IJ on peut, par des opijrations quelconques, la ramener à la forme f(x, y)' = o, où fte, Éff désigne la fonction prime d'une fonction de x, y, marquée par f (x, y), on aura sur-le-champ l’équation primitive

dmis laquelle a sera la constante aH> itraire.

Par exemple, I’équatiotp y'== o donne sur-le-champ y—a\ l’équa

tion xy' — y — o, étant divisée par x 3 , se réduit à / M — o; j’

tends par ( ' j la fonction prime de la <|mtntité ^ renfermée entre les

deux crochets; d’où l’on tire - == a, ou bien, en divisant la même

équation par xy, elle devient >

en-

dans laquelle Tes variables x, y ne sont phis mêlées; prenant donc la fonction primitive de chaque terme, on ‘aura

I y — Ix = la,

3 > èd.

8a THÉORIE DES FONCTIONS.

la caractéristique 1 indiquant les logarithmes hyperboliques ; d’où l’on tire - = a, comme plus haut.

En général, si l’on peut réduire l’équation à la forme

£r -H r'Fr = O,

ou les variables sont séparées, il n’y aura qu’à prendre les fonctions primitives de £r et de j'Fj, et faire la somme égale à une constante arbitraire a; et la même chose aura lieu si l’on peut ramener la proposée à cette forme par une substitution quelconque. -

Soit, par exemple, une équation de la forme

/ = r(îV '

je fais = u; donc y = xu, y' — xu' -f-n; et l'équation devient.

par ces substitutions, . ê «

xu' -4- M = f«,

laquelle peut se mettre sous la forme

- —h fz — O,

X U — lu ’

qui est comprise dans la précédente.

Si l’on avait l’équation y = f(y\ au lieu de la réduire à la forme précédente, j'en prendrais les fonctions primes, ce qui me donnerait

y' —■ry H f'y' + fy\

équation réductible à la forme

yry

et qui, en faisant y' = u , rentre encore dans le cas précédent. Ayant trouvé ainsi une équation primitive entre x et u avec une constante arbitraire, c’est-a-dire entre x et y', on chassera y' par le moyen de la proposée, et Ton aura une équation entre x et y avec la constante