PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE HUITIEME

arbitraire, laquelle sera, par conséquent, l’équation primitive complète de la proposée. Cette dernière méthode est, comme l’on voit, une application de la théorie du chapitre précédent.

50. De cette manière, on ramène, comme l’on voit, la recherche des fonctions primitives de deux variables à celle des fonctions primitives d’une seule variable; mais comme l’on n’y parvient ordinairement qu’en employant pour .r et y d’autres variables, comme t et u, c’est-à-dire en .substituant pour x et y des fonctions données de t et u, il faut observer, à l’égard de ces substitutions, que u devenant fonction de t en vertu de l'équation qui a lieu entre x et y, ces deux variables devront être aussi regardées comme fonctions de t. Donc, ayant supposé y = f.r, on aura, en regardant maintenant .r et y comme fonctions de t, y' =xTx (n“ 16); mais, lorsqu’on regarde r simplement comme fonction de .r, on a y' — f'.r, comme nous l’avons fait jusqu’ici ; donc, poilr passer de cette hypothèse à celle où x et y

sont fonctions de t, il /aut mettre à la place de y' la quantité <^r

Ainsi, ayant à transformer l’équation y' — F (.r, r), on commencera par la changer en y' — x'F (x,.y), ensuite on y substituera pour .r, )', x', y' leurs valeurs en t, U et où sera la fonction prime de u regardé comme fonction de t.

De même, puisque.^*" est la fonction prime de y" regardé comme

* r • - (zX

fonction de x, il faudra substituer pour y" la quantité , c’est- à-

dire — — ■ e t a j ns ; su ite.

Donc, si dans une équation, au lieu de regarder )- comme fonction

de .r, l’on voulait réciproquement regarder .r comme fonction de r, alors la fonction prune de j" deviendrait l’unité, et l’on y substituerait

simplement ~ pour y', — pour y"; et ainsi de suite.

51. Il y a, au reste, une mapière générale de trouver l’équation primitive d une équation dérivée d’un ordre quelconque ; elle con-

ti.

siste à rendre le premier membre de l’équation, dont le second est zéro, une fonction dérivée exacte par le moyen d’un multiplicateur. On trouvera dans la leçon XIII du Calcul des Fonctions une démonstration de l’existence de ce multiplicateur, dans toutes les équations dérivées; mais la recherche en est le plus souvent très-difficile, ce qui rend cette méthode plus curieuse qu’utile.

32. Quant à la manière de trouver les fonctions primitives des fonctions d’une seule variable, comme de F.r ou de j 'ty, on sait que si F.r est une fonction rationnelle de ,r, on peut toujours la décomposer eu différents ternies de la forme af ou , 1 — — , m étant un

nombre entier positif, et « -+- fer un facteur du dénominateur de la fonction, si elle en a un. Ainsi la fonction primitivede F.r sera composée

d’autant de termes de la forme — et — > , ou |, r s i ni = — i ,

m 4-1 «(r — vu)

et - ^ — - si y» *= i ; et il en ser;yde même de la fonction primitive

de.r'Fj-

Si F.r contient ues quantités irrationnelles, on les fera disparaître par des substitutions, ce qui n’est possible en général, par les méthodes -

connues, que pour les radicaux de la forme y a -+- bx -+- c.r*. Quand il y a daqs F.r des radicaux plus compliqués, ou même quand il y a plus d'un radical de cette forme, Ja recherche de la fonction primitive devient impossible, en général, par les méthodes connues; et l’on ne peut l'obtenir que par* le moyen Je» séries, soit en faisant disparaître les radicaux par leur Résolution en série, soit en employant la méthode générale pour le développement eg série de toute fonction de..r (n°33). Pour cela, on supposera f'.r = F.r; delà on aura

, ' f ff a- =F'.r, ( m x = ¥"x, etc.

Donc la valeur de £r, fonction primitive de Fr, sera représentée

ainsi,

fr x= f h- .rF -4- - P' ArF", etc., «• a a.j