première partie. — chapitre huitième

les quantités f, F, F', etc., étant les valeurs de £r, F.r, F'x, etc., lorsque xç=,o, où l’on voit que f sera une constante, indéterminée.

!>3. Si, pour une équation proposée d’un ordre quelconque, on parvient à trouver une équation d’un ordre inférieur qui ne renferme point de constantes arbitraires, ou qui n’en renferme pas autant qu’il peut y en avoir, alors cette équation ne pourra pas être regardée comme une équation primitive complète, mais elle ne sera qu’un cas particulier de cette équation, dans lequel on aurait donné aux constantes arbitraires des valeurs particulières.

Mais il y a un cas très-étendu, dans lequel il suffit d’avoir plusieurs valeurs particulières de y en x pour pouvoir en obtenir la valeur complète; c’est celui où l’équation d’un ordre quelconque ne renferme tes y, r', y", etc., que sous la forme linéaire.

Soit, en effet, proposée l’équation

Aj -4- Br' -t- Cr ' -f- Dy w •+* ... = o,

dans laquelle A, B, C, etc., sont des fonctions données de a- seul. Soient p, q, r, etc., des fonctions différentes de jK, qui, étant substituées pour y, satisfassent chacune en particulier à cette, équation , je dis que l’on aura, en général,

y — ap -f- bq H- cr -+- . . . ,

a, b, c, etc., étant des constantes arbitraires, ce qui est évident; car cette expression de y étant substituée dans la même équation, y satisfera indépendamment des constantes. D’où il suit que si le nombre des valeurs particulières p, q, r, etc., est égal à celui de l’ordre de l’équation proposée, c’est-à-dire à l’indice de la fonction dérivée la plus élevée, on aura l’expression complète de y. L’analyse du n" 44 fournit un exemple de cette méthode.

Mais il y a plus : on peut alors trouver aussi la valeur complète de y, qui satisfera à l’équation

Aj ■+■ by' -y G y” -4- ... = X,

X étant aussi une fonction quelconque de x.

86 r . * ' THEORIE DES FONCTIONS.

Comme cette méthojJe est une des plus utiles dans ce genre d'analyse, je crois dévpir l'eJEposer Ici en peu de mots.

54.* Supposons que l’équation proposée soit du troisième ordi - e, on verra aisément que la méthode est générale pour un ordre quelconque. Soit -donc l'équation

et soient p, q, r trois valeurs dilTérentes et particulières de y et .r, qui satisfassent à J’équation

A y -i- Bj' -t-.C)-’' -t- r” = o;

en sorte qüe I on ait

ÊSÈ& B// + (://' + //• = o,

Bÿ' -4- Cq" ■+■ q m = çfj ** Ar -t-, Br' -4- G/ " -t- r" = o>

Supposons y = ap -t- bq -t- cr, et regardons a, b, c comme trois .fonctions inconnues de x qu’il s’agira de déterminer; en prenant les fonctions prifnes, secondes et tierces de r, on aura d’abord

y’ = ap' -4- bq' -4- cf' -4- pa' -4- qb' -+- rc'.

•le suppose pa' -+- qb' -4- cr' — o, j’aurai simplement

> y' = °p' r ït h<i ' + cr '-

De là, en prenant de nouveau letf fonctions primes, j’aurai * y" ■= ap " -4- bq" -+- cr' - 4 - a'p' -4- b'q' -4- c'r'.

.le suppose derechef a'p' - 4 - b'q' - 4 - c'r' = o, j’aurai simplement y " = ap " - 4 - bq" ■+■ cr";

d’où je tire, en prenant encore les fonctiohs primes,

— ap bq • cr - 4 - a p -4- o q -4 - c r .