PREMIÈRE PARTIE) — CHAPITRE 'DIXIÈME. IO
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donnée de a?, comme x == c£t*jue celles qui résultent de l'équation donnée. *•*£;»
Si 1 équation proposée n'était que dû premier ordre eux, » , y', alors iœtte équation ne pouvant fournir que les valeurs de t V , , < y ,r ,jete.. en’x et y , ces valeurs, pour x = o, contiendraient la valeur indéterminée de r; par conséquent, les eoirstantes aibi|caices dépendraient alors de cette valeur, qui serait elle-même une coultimte arbitrait; de sorte que, dans ce cas, toutes les constantes arbitraires se réduiraient à une seule. Files se réduiraient à deux, par la même raison, si I équation proposée était du second ordre en .r, r, 7 ' et r w ; el ainsi de suite.
65. Pour faire mieux sentir l’esprit et l’usage de ces opérations, nous allons les appliquer encore à quelques exemples qui serviront en même temps d’exercice de calcul.
Soit proposée la série /•»
dont on demande la somme. •
Supposoüs-la égale à y, en sorte que l’on ait une équation en,x et ,V ! je’ multiplie cette équation par x" -1 , ce qui donne
Je prends les fonctions primes de tous les termes,. j'ai
A'-' + (n- 0^" 3 = (n - . )’ *~ » 4- nu* ' +■
ue
où l’on voit qu’il a disparu un facteur du dénominateur de clufq
terme. 7^ * • * -
Je multiplie maintenant l’équation précédente par x" - ", j’ai
io4
Celle-ci,
THEORIK DES FONCTIONS,
{« — i) )vr m - * = (n — i j j- m - J 4 - /«j? m 1 4-
.le fais le premier membre égal à p ' , />' étant la fonction prime He p, et je prends V équation primitive; j’ai
Je n’ajoute point de constante arbitraire ici, parce qu’elle peut être censée renfermée dans p. .
Maintenant, en comparant cette nouvelle série avec la proposée que l’on a supposée égale à y, il est visible que l’on aura l’équation
y'.v m 1 4- (« — on aura cette équation du premier ordre
prenant les fonctions primes, et substituant pour p' sa valeur
linéaire en y,
(/; — l) x mJft 4- y'x m 4- ..
laquelle se réduit à cette forme,
mx m 'y — y x°
(n — i l yx“
n — î - — nue x(i — x) •
Cette équation étant susceptible de la méthode du n” 5$, on pourra donc trouver la valeur y en x, qui sera, par conséquent, la somme de la série proposée. Mais cette valeur devra contenir une constante arbitraire, que l'on déterminera de manière que y soit égal à t lorsque .r = o, comme il résulte de la série donnée.
Si la série n’avait contenu que des facteurs simples, comme
