première partie. — chapitre dixième

on eût trouvé, par les memes opérations,

• ni i

Or on sait que

donc on aurait, dans ce cas,

io:>

prenant les fonctions primes, et substituant la valeur de //, on aurait

savoir,

■ Y 4 t ~ r __t 7=x' fT (i— x)’’

équation également linéaire du premier ordre,.

(jette méthode s’applique à des séries plus compliquées, et peut conduire à des équations linéaires d’un ordre supérieur au premier. J’ai cru devoir au moins l’indiquer, étant presque la seule méthode générale pour la sommation des suites.

Ht». Soit maintenant proposée l’équation

y = Ax -t- Bx 5 -t- x’,

dans laquelle on demande l’expression de x en y. Cette expression peut s'obtenir par la formule connue pour la résolution des équations du troisième degré. Voici comment on y peut parvenir par la théorie des fonctions.

En prenant les fonctions primes et secondes, on aura

y’ = A -t- aBx -(- 3x’, y" == aB -f- 6x;

3' id. tm i4

Io6 THÉORIE DES FONCTIONS.

si donc je forme la quantité

y 4- (m 4- nx)/ 4 - ( p 4- qx 4 - rx 1 ) y",

où rn, n, p, q, r sont des coefficients arbitraires, j’aurai un quatriiiôme qui contiendra les puissances x, x 1 et x *, et je pourrai faire évanouir les termes multipliés par chacune de ces puissances; j’aurai ainsi une équation du second ordre de la forme

/+(/»+ nx).r' 4- (p -H qx -t-'rx') y* = C,

où C sera une quantité constante; et cette équation renfermera encore «leux coefficients indéterminés.

Je pourrai donc ^encore faire en sorte qu’étant multipliée par iy' , elle ait une équation primitive; car pour cela, il suffira de faire q — a/n, r = n, et l’équation primitive sera

. y* -t- (p -4- a/nx 4- nx 1 ) y'* = aCj -+- a,

a étant une constante arbitraire que l’on déterminera, comme nous l’avons dit, en supposant x = o, et mettant pour y et y' leurs valeurs tirées de l’équation proposée. Or elle donne, dans ce cas, y = o, y' = A ; donc, faisant ces substitutions dans l’équation précédente, elle donnera pS. 1 — a.

Ainsi on aura cette équation en y, du premier ordre,

y* 4- (// -4- a mx -t- nx 1 ) y' 1 = aCy 4- p.V,

où x ne monte qu’au second degré; circonstance sans laquelle on n’aurait rien gagné pour la détermination dex en y.

Mais avant d’aller plus loin,, il faut satisfaire aux conditions nécessaires pour que la quantité y 4 - (rn -t- nx) y ' 4 - ( p 4 - a/nx 4- nx 3 )y ", après la substitution des valeurs de y, y', y", devienne égale à une constante G. Cette substitution domte la quantité

Ax 4 - Iir’ 4 - x 1 4- (rn 4- n. r) (A. 4- aBx -t- 3x*j • ' -h (p -h 2 mx 4- nx J ) (aB 4- 6x);

développant, ordonnant les termes suivant les puissances de x, et