PREMIERE PARTIE. — CHAPITRE DIXIÈME

égalant à C le terme sans .r, et les autres à zéro, on aura

rnA -|- a/>B = C, (i -|- n) A -4- 6mB 4- 6 p — o,

(i 4 - 4 n) B -f- i5ot — o, i 4 - 9 / 1 = o,

d’où l'on tire

p — — et

( , aB»— 9AB a 7

Retenons, pour plus de simplicité, les quantités p et C, et substituons celles de m et n dans l'équation ci-dessus, elle deviendra, en tirant la valeur de r',

v > 3 y/» A' aÇ> —y

Il faut maintenant en déduire l’équation primitive en x et y ; mais, pour éviter les imaginaires, on doit distinguer deux iras, l’un où les radicaux sont réels, l’autre où ils sont imaginaires: car, puisque toute valeur réelle de ,r donne pour y et .y' des valeurs réelles , il est visible que les deux radicaux de l'équation précédente seront réels ou imaginaires ensemble.

Supposons donc, en premier lieu, que sjpA 1 4- aGj — y 1 soit une quantité réelle, il faudra donc que pA} 4- C 9 > (y — C)’; par conséquent , on pourra supposer

y — C = sJpA' 4- C’.sin z,

ce qui donnera

y/ypA’ 4- aC y — y* = y//»A’ 4- G’, cosz, et prenant les fonctions primes,

y' = V/’A 1 4- CV z'cosz,

substituant ces valeurs dans l’équation précédente, elle deviendra, en divisant par 3, • r

lo8 théorie des fonctions.

dont l'équation primitive peut être mise sous la forme

a étant une constante arbitraire qu’il faudra déterminer, en sorte que x — o donne y = o, conformément à la proposée. Soit a la valeur de : lorsque y = o, on aura donc les deux équations

et

. sut a,

j=\A^+£ sin (l+- 4

par lesquelles on déterminera d’abord a, ensuite a. Après quoi on ' déterminera ; par l’équation

sin z —

et l’on aura

• r = - 5 -+■ \Jw ■+■ ^ sin (î -*- *)•

Et comme au même sinus de s répond aussi l’angle z, augmenté d'une ou de deux circonférences, on aura les trois valeurs de x, en prenant pour ; ces trois Valeurs 2, z -t- c, z -+■ ne, c dénotant la circonférence du cercle.

C'est le cas que l'on appelle irréductible, et où les trois racines

sont réelles. *• ' „ • '

Supposons, en secdnd'lieu, que le radical -H aÇy — y 1 soit

imaginaire, il n’y aura qu’à multiplier le numérateur et le dénominateur «le l’expression de y' par — 1 , et l’on aura t 3 v— M* — aC y -y y'

«piantité toute réellè"

Ici j’observe que si l’on fait