PREMIERE PARTIE. — CHAPITRE ONZIEME

Nous remarquerons ici que cette construction est pour les triangles sphériques ce que la construction du problème a 9 des questions géométriques de I’ Arithmétique de Newton est pour les triangles rectilignes.

Kn effet, si l’on rend rectilignes les triangles sphériques dont les côtés sont h, z, y, etc., et les bases m, les équations ci-dessus deviennent -

; = a/// cos M , u -+- y — az cos M ,

•r — I - z = 2 )• cos M , etc. ;•

et il est facile deprouver qu’alors la (onction fil devient proportionnelle

ûsiuM 4

à l’angle dont le sinus est ^ ~ ? parce que sin u et sin ni se changent

eu u et m ; de sorte qu'en prenant la base ni pour le sinus de l’angle opposé M, on aura, à cause d e u — m? •

z = sin aM, jr — sin 3VI, etc.

7 1 . Nous nous sommes un peu étendu sur les propriétés des (onctions de là-forme (’«, parce que les géomètres s’en sont beaucoup occupés, et que ces (onctions se présentent dans la solution de plusieurs problèmes. ‘ ^

Si l’on demande, par exemple, le mouvement d’un .pendule qui oscille d’une manière quelconque, et qu’on nomme r la longueur du pendule, 4 l’angle dont il est éloigné de la verticale dans un instant •

quelconque, a la plus grande valeur de 4,) r la l’unité pour la gravité, et faisant

V co s 6 —

. / < 05 * Z. - Cl

y ( co> $ •+■ eo satV

rtite, en prenant

a (cosjS -f- cos 7 ]

(cos ii -g cossrV -

011 aura > yr . f« pour l’expre*sion du temps depuis le point le plus

bas, dans laquelle on suppose, comme ci-dessus,

— i i’ sinu*

lia vitesse angulaire de rotatioii autour de la verticale sera exprimée

par

va.Mliz smp

\'r X sintf.’ x v^côs a + cosjS

et sera, par conséquent, nulle lorsque le pendille passera par la verticale, dans lequel cas on a 6 = o; c’est le cas des oscillations ordinaires. t . • ' ,v . * ' •

7*2. On peut appeler analyse directe des fonctions la manière de trouver les (onctions et les équations dérivées, parce qu elle n'est fondée, en effet, que sur des taéthodes directes, et qu’elle n'emploie que des opérations que l’on peut toujours -exécuter par les règles que nous avons exposées. Mais la manière de revenir de ces fonctions et de ces équations à celles d’où elles peuvent être dérivées, et que l’on peut regarder comme leurs primitives, forme une autre partie de , l'analyse des fonctions, que l’on peut appeler analyse inverse, parce * qu'elle dépend des mêmes méthodes et des mêmes règles, mais prises inversement, et qui, par cette raison, ne s'appliquent pas toujours avec la même facilité ni le même succès. Il en est de ces deux parties de t’analyse des fonctions, comme de celles de l’arithmétique et de l'algèbre qui ont pour objet les opérations directes de la multiplication et de l'élévation aux puissances, et les opérations inverses de la division et de l’extraction des racines. Les opérations de la première es- , pèce sont toujours possibles par les règles connues, et donnent toujours des résultats exacts ; celles de la seconde espèce, au contraire, ne U- sont que dans certains cas, au moins rigoureusement, et dans tous les autres elles ne peuvent donner que des résultats approchés. ^‘L'analyse- direct© des fonctions est donc renfermée dans les règles y que nous avons données pour trouver les fonctions dérivées, du moins pour ce qui çeggrde les fonctions d’une seule variable. Quant à l'analyse inverse,- elle dépend aussi des irçèmes règles; mais la difficulté consiste dans leur application aux différents cas.

CHAPITHE OV/.IKMK.

Nous avons indiqué les méthodes connues pour les principales formes de fonctions ou d'équations, M»t nous ’ nous sommes surtout appliqué à bien établir les principes généraux île cette analyse in\ erse.

Comme notre dessein n’est pas d’en dorluer un traite complet, nous n ajouterons point ici d'autres détails ; mais ceux qui savent le éftlcul différentiel ne peuvent manquer d'apercevoir la conformité de l'analyse des fonctions avec le calcul, et la correspondance des analyses directes et inverses avec les deux parties de ce calcul qu on appelle calculs différentiel et intégral. Ainsi, il leur sera aisé, s’ils le jugent à propos, de transporter aux fonctions les différentes méthodes d intégration trouvées jusqu’à présent.

I afi THÉORIE DES FONCTIONS.