CHAPITRE DOUZIÈME

Dit développement des fonctions de deux variables. De leurs fonctions dérivées. Notation de ces fonctions et conditions auxquelles elles doivent satisfaire. Loi générale qui règne entre les termes du développement d' une fonction de plusieurs variables, et ceux qui résultent du développement de ces termes enx-mdrnes .

75. Nous n avons encore traité que des fonctions d'une seule variable ; il n'est pas difficile d'étendre la théorie de ces fonctions aux fonctions de deux ou de plusieurs variables.

Soit f (.r, y) une fonction quelconque de «leux variables x et y, que l’on regarde comme indépendantes l une de l’autre. Si dans cette fonction on met à la fois .r -+- i à Ju place de .r, et y -b o à la place de v, i et o étant deux quantités indéterminées, qu’ensuite on développe la nouvelle fonction f(x-4-t, y -I- o) suivant les puissances ascendantes de i et o, il est clair que le premier terme, sans i ni «, sera f |.r, y), et que les autres seront de nouvelles fonctions de x et de v, multipliées successivement par i, o, i*, io, o *, **, etc.; ces fonctions dérivent de la fonction primitive f (.r, >-), et c’est la loi de cette dérivation qu’il s’agit de déterminer. «

Pour y parvenir de la manière la plus simple, on commencera par supposer qu’il n’y ait que la variable x qui devienne r ■+■ i, la variable y demeurant la même. Dans ce cas, désignant, comme on l'a fait jusqu’ici, par f\ f", f*, etc., les fonctions primes, secondes, tierces, etc., relativement à r seul, on aura

f(x~hi,y) — f (x,y) -f- if' (x.y)-h~f" (x,y) -+■ ~ (” (x, y)-h..,..

-PREMIERE PARTIE. — CHAPITRE pol /.IKMK .

Suhsfiliions maintenant partout y -+- o à la place dev, on aura

t'(.r -+- i,y -+- o) = ( (X, y -«-«»)-+- if fa, y -4- o) -y - f (x, y -+- o)'

+ ~r(.r, y-yo) -y ....

Or, si l'on désigne par f r , f ;/ , f , etc., les fonctions primes, secondes, tierces, etc., relativement à y, il est clair que la fonction f (x, r -f- o), considérée comme fonction de y -f- v, et indépendamment de ,r, deviendra

f (x, y) -1- of, (x, y) -y ° f„ (x K r) ■+■ ^ f w (.r, y) -b....

De même, en supposant toujours que les traits appliqués au lias de la lettre f indiquent les fonctions primes, secondes, etc., relativement à v, des fonctions déjà désignées par f, f", etc., on aura

f fa, y + ») = •’ fa, y) -+- «f fa,y) -h j-f (x, r) f fa, y -i- <>) — V fa, y) -+- of’ fa, y) -y “-f* fa, y) -y....

et ainsi de suite.

Faisant donc ces substitutions, et ordonnant les termes par rapport aux puissances et aux produits de i et o, on aura

f fa -+- i,y - +■ o) = f(x, j) -y if fa, y) -+- «f, fa, y)

■+■ l -f fa, y) -+- iof, (•*> y) -f- ^ C( x > y) ô r (*• y)-

h-t C (*>y) + t K (*./)V &J«fa,y) + •—

ou la forme générale des termes est

(i.a.3...oi) (i.a.3...n) f ■ ^ ’ r ) ’

74. Dans le procédé que nous venons de suivre pour avoir le développement de f (x -+- », y -y o), nous avons commencé par sub-

I 'tS THÉOKIF. des fonctions.

stitner dans f (x, y), x-+- f pour x, et nous avons développé suivant i;

nous avons ensuite substitué dans tons les termes dece développement., Y ■+■ « pour y, et nous avons développé suivant o. Or il «st visible que l'on aurait identiquement le même résultat, si l'on commençait par la substitution de y -y- o pour y, et par le développement suivant' o, et que l’on fît ensuite la substitution de .r-+- i pour x, et le développement suivant i. De cette manière, on aurait d’abord les fonctions primes, secondes, etc., relativement à y, savoir: i,(x, v), f„(.r, y), etc.; ensuite on aurait les fonctions primes, secondes, etc., de celles-ci relativement à .r, qui, suivant la notation que nous venons d’établir, seraient représentées par f' (.r, y), f (x,y), etc., f' (x, y) , f* (.r, r), etc., et l’on obtiendrait ainsi la même formule que ci-dessus, comme cela doit être. Or, dans le premier procédé, la fonction f' (x, y) s’obtient en prenant d'abord la fonction prime de f(x, y) relativement à x, ce qui donne f' (x, y), et ensuite la fonction prime de celle-ci relativement à r; et dans le second procédé, la même fonction s'obtient en prenant d’abord la fonction prime de f(x, y) relativement à y, ce qui donne f, {x, y), et ensuite la fonction prime de celle-ci relativement à x.

D’où il suit qu’il est indifférent dans quel ordre se fasse la double opération nécessaire pour passer de la fonction primitive f(x, y) à la fonction dérivée f (x, y) ; et comme l’on doit dire la même chose des autres fonctions marquées par des traits placés au haut ou au lias de la caractéristique f, on en peut conclure, en général, que les opérations indiquées par ces traits sont absolument indépendantes entre elles et qu’elles conduisent aux mêmes résultats, quelque ordre que l'on suive en prenant les fonctions primes, relativement à .ret àj, indiquées par chacun des traits supérieurs ou inférieurs. Ainsi, par exemple, on aura également la valeur de f" (x,y), en prenant la fonction seconde de f(x, r) relativement à x, et ensuite la fonction prime «le celle-ci relativement à y, ou en prenant d’abord la fonction prime de f (x, y) relativement à y, et ensuite la fonction seconde de celle-ci relativement à x, ou bien en prenant la fonction prime «le f(x, y) relativement à x, ensuite la fonction prime de celle-ci relativement