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et la folichon prime de f,(x, y) relativement à x sera

...• . ' : «f'+.r (uy+.e)'

Quoique ces deux expressions de f] (x, y) paraissent différentes, elles sont cependant identiques; car elles se réduisent l'une et l'autre à

: ^ > 3j* / -t- 3jy*-hjr‘

Ensuite, en prenant la fonction prime de ( (x, /) relativement à .r, c'aPa -dire la fonction seconde de f(.T, y) relativement à .r, on aura

3 Jy* 4- ay‘ .

V^ajÿ-t-r 1

3 ' rrf.

i 3o Théorie des fonctions.

et prenant maintenant la fonction prime de celle-ci relativement à y , on aura, après les réductions,

(a xy+y')’

De même, en prenant la fonction prime de f (x, y) relativement «à r, on trouvera ’

et ainsi de suite.

3 J*)* -f- 3xy*

11 résulte de là, qu’afin que dès fonctions données de x et y puissent être prises pour des fonctions dérivées d'une même fonction primitive, il faut qu’elles satisfassent à certaines conditions.

Ainsi, si F (x, y) et <p (.r, y) représentent des fonctions données tle .r, y; pour que l'on puisse supposer F (x, y) = f' (.r, y), et î, (x, y) = f, (x, y ) , il faudra que l'on ait

et, en général, pour que l’on puisse supposer F (x, y) — f„ j(Xi^') .et

« (x, y) = f r (x, y), il faudra que l’on ait

Par exemple, si F (x, y) = -, , <p y) = — , ou

pourra supposer F (x, y) = f' (x, y], <p (x, y) — f, (x, y), car on

trouve F (x, y) == r-,- -' ttî = ¥ (#i y)i mais on ne pourrait pas

supposer F (x, y) = f' (x, y), et <p (x, y) = f"(x, y); car aforS il faudrait que F' (x, y) = p,(x, y), ce qui .n’est pas.

7(î. En général, quel que soit le nombre des variables qui entrent dans une fonction, si l’on donne un accroissement à 'Chacune de* ces variables, et que l’on développe la fonction suivant les dimensions formées par ces differents accroissements, que l’on développe ensuite