VL

Je dénote par f(i)la somme de tous les termes où les quantités *, p, y, etc:', seront à la première dimension, par f(a) la somme de tous les termes où ces mêmes quantités formeront deux dimensions, et «nsi de suite. ** «. ■« , ;

Supposons, de plus, qu’ep fusant la même substitution et le même développement dans les fonctions/ (i), f (a),'f (3), etc.’, elles deviennent^ * V* . 1 . <

* f (i) H- f (i» f ) -^.f (l , a) 4- f (i , 3) -4- , 4 » f (a) -+■' ’Ufy t} -+■ f (a r a) H- f (a, 3) a *4- .

iftyVfS a) -i- tf(3, 3) -t- T:.,

etc.; *

où je dénote par* f ( i , i ) , f (i , a), etc, , les rangs successifs dès termes du développement de f(i);' de manière que, puisque les quantités <*, fi, y, etc. , sont à la première dimension dans f (i), elles formeront deux dimensions dans f ( 1 , 1)1 trois dimensions dans f.(i , a); et ainsi des autres. Par cette notation, on voit qu’en général la quantité désignée par f (/», n) renfermera tou«i les termes du développement de f (m ) , où les quantités a, p, y, etc., formeront tn-yn dimensions.

Cela posé, si Ton substitue d’abowi x -f- a, y -+- p, z y, etc. , dans la. fonction f(x, y, z,.».), elle deviendra

, f’Wy» v*0 -f- f(0 ($) ••• ; ■

et si l'on substitue ensuite dans cette quantité x -t- ma, y -t- m\ z -+- my, etc., à la place de x, y, z, il est clair qu'elle deviendra

wf( i ) mf(i, i) mf (a, i)

mf (3, l) etc.

D’un autre côté, il est visible que ces deux substitutions successives équivalent à une substitution unique que l’on ferait dans la fonction -

f(x > , y, z,...)*e n mettant

>+(i + m)«, y -4- (i -+- m) fi, z -+- (t -f-jn)y, etc., à la place de x,*j, z, etc., et qui donnerait, par le développement, fV, y, z, (n-m)f(t-) -f- (i-ww)’f(a) (ly-mj 1 f (3^

Ainsi, il faudra que ces deux développements soieyt identiques, et <jue, par conséquent, les termes qui renferment les mêmes dimensions et, fi, y, etc., soient égaux de part et d’autre, quelle que soit d’ailleurs la quantité ni. On aura donc les comparaisons suivantes : *

f(l) -t- mf(i) = (i + m)f(t), v ' ..

f (a) fr m 1 f (a) - 4 - mf (i, i) = (i + m) 5 f(a), • , •

f (3) -t- m’f (3) - 4 - a) -f- mf (a ? if = (i'-j- m)’Jf(3) v . (

f (4) 4- m‘f/4) -t- m’f (j , 3) ■+■ m’f (a, 2 ) - 4 -mf( 3 , (1 -4-m)‘f{4); ,

et ainsi de suite. * .

En comparant encore les termes affectés des mêmes puissances de /», on tirera ces valeurs ‘ »’ * *

f{u I) = af( 2 )» • i .. : ■ > » ' . 4 . *

etc ’ • «./ , . ' ■ *