CHAPITRE TREIZIÈME

Où l’on donne la manière de développer les Jonctions d 'un nombre quelconque de variables en séries terminées, composées d’autant de termes que l’on voudra, et d’avoir la valeur des restes .

78- Par une méthode analogue à celle du chapitre VI, ou peut aussi avoir le développement d’une fonction quelconque de r et i suivant leS - puissance* de .c et y, Pt déterminer les restes de la série lorsqu’on veut l’arrêter à des termes quelconques. Eu changeant, dans la formule diin" 72, retjenx — i, y—i, ensuite / et ÿ en j on aura r *« . . 1 #t ». s .-t-’ * * 4* *

f(c, y) =’ f\x — xz, y - r/2) -+■ xzÇfa — xz,

’ . . + M (■*’— xz > j — J 5 ) -+- — f P — ;>•*! •

-+- <îX*T (* — .rs)-»- .rZj.r — .jz)

oii 5 sera une quantité quelconque indéterminée qui, étant supposer égale à zéro, rendra l'équation identique, et qhi, étant laite égale n i . donnera > ■■■* • .• „*♦

f <xsÿ) — f -+- •••,

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formule générale du développement de la fonction f (.r, y), suivant les puissances de x et y, dans laquelle les quantités désignées par f, f', f,,.etc., dénotent les valeurs des fonctions dérivées suivant x et y, en faisant x — o et y = o. -

Supposons maintenant que l’on ne veuille faire ce développement que par parties, et arrêtons-nous d’abord au premier terme, nous ferons

f (x, y) = f (*.— xz, y — yz ) -+- P,

P étant une fonction de z qui devra être évidemment nulle lorsque z — o. Puisque la quantité : peut être quelconque, nous pouvons prendre l’équation prime relativement à z, et par les principes et la notation établis, il est facile de voir que la fonction prime de f — .rz, y — yz), prise relativement à z, sera .

— xi' (x — xz, y — yz) — yi ; (.r — xz, y — yz);

donc, désignant par P' la fonction prime de P, prise aussi relativement à z, on aura, pour la détermination de P, l’équation du premier ordre

P’ — xï' (x — xz, y —y?) -t-jf,(.r — xz; f—y$.

- * . * . * . * ri.

(Considérons, en second lieu, les trois premiers termes du développement de f (x,.y), et. faisons

f (x, ,r) — f (.x- xz; y — yz) -f- xzf' (x — xz, y

-+- y zf,(x — xz, y — yz) -y Q , .

rr)

Q sera, une fonction de s qui devra, par la nature même de cette equàtion, devenir nulle lorsque z — o. A cause de l’indétermination de z, on pourra prendre l'équation prime relativement à z; et, désignant par Q' la fonction prime de Q, on trouvera, après avoir effacé les ternies qui se détruisent dans l’équation prime, cette équation du premier ordre, pour la détermination de Q,

Q' — x’zf" (x" — xz, y — yz) ax>-zf' (x — xz, y — yz)

-4- j’zl',, (x xz, y — yi) ;

et ainsi de suite. .

Pour déduire de ces équations les valeurs «le P, , etc. , il faudrait chercher les fonctions primitives des quantités P', Q', etc., relative-