première partie. — chapitre treizième. i

nient à z, et les prendre telles, qu’elles soient nnlles lorsque z = o. Mais comme nous n’avons pas besoin des expressions générales de ees quantités, mais seulement de leurs valeurs relatives à z = i , que même il suffit d’avoir des limites de ces valeurs, on pourra faire usage de la méthode employée dans le chapitre cité, pour parvenir à des conclusions semblables à celles du n° 39.

Ainsi, en désignant par A un nombre indéterminé, ou plutôt inconnu, toujours compris entre o et i, et qui devra être partout le même dans la même fonction, mais qui pourra être différent dans les différentes fonctions, on trouvera les expressions suivantes:

P = xf' (ax, Ay) -t-yf, (ax, Ay),

Q = i |x*ff (Aj-, Ar) -I- aay f (Ax, Ay) -+- y*f, (Aj-, Ay)j ;

et ainsi des autres.

Donc, enfin, substituant ces valeurs de P, Q, etc., dans les développements de f (x, y) , et faisant z = i , on aura ces formules générales qui renferment une extension du théorème du n° 40:

f (x, xi— f •+• xf' (A x, Ay) -4-yf, (Ax, Ay)

,.t, f = f -t- xf' -+-yf, -f- — f v (Ax, Ay)

. =f-4-xr- ( -yf -H-r-h-cyf -4^-f . * 2 * * 2 "

-y tts *y) (*■*’■ x y)

= etc. • . ' . *

Donc, si l’on a la fonction f (x -+- i, y -f- o) à développer suivant les puissances de » et de o, fl n’y aura qu’à mettre « et o à la place de x et y dans les formules précédentes, et les quantités f, f', f,, etc., deviendront f (x, y), f'(xyy), f/(x, y), etc., où les fonctions dérivées peuvent être prises relativement à x et y, puisque la fonction

3* rd . ' . " ' * 18

THÉORIE DES PONCTIONS.

f (x -4- i, y -y- o) est telle, que ses dérivées, relativement à x et y, sont les mêmes que les dérivées relativement à i et o. Ainsi, l’on aura

f (x + (', j + o) = f (x, y) -+- if'(x - 4 - Ai, y -4- Ao)

-4- o f,(x Ai, y- 4- Ao)

jl j

-4- — f" {x -4- Ai, J - 4 - AO) -4- iof' (x -f- Al, ,y 4- Ao)

4“ ^f„(x -4- Ai, J 4- Ao)

= f (x,j) 4- if'(x, y) - 4 - O {'(x, y)