première partie. — chapitre treizième

tions dérivées par rapport à i et o. En effet, soit

f (x -1- i, y -f o) = f (x, y) -F i'P -t- oQ.

En prenant d’abord les fonctions dérivées par rapport à x et y, on aura

f'(x -F », y -H o) = f'(x, y) -F t’P'-F oQ',

- f, (x -F «, ,r + ») = f, (x, y) -F t’P, -f- oQ,.

Ensuite, si l’on prend les fonctions dérivées par rapport à i et o, et qu’on les désigne par des traits placés au haut et au bas, mais en arrière des lettres, on aura aussi

f, (x -F 1, y -F o) — Q -F i , P -Fo, Q;

puisqu’il èst évident que des fonctions dérivées de f (x -F t, y -F o) sont les mêmes par rapport à x et t, et par rapport à y et o. De là on aura * - .

Donc, si l’on fait

on aima, en substituant ces valeurs,

f (x -f t , j + e> = f (x, y) -F it[ (x, y) -F uf, (x, .v)

-F t’R 4- toS -F o’T,

et l’on pourra de la mème'manière pousser le développement aussi loin que l’on voudra ; de sorte qu’en connaissant les expressions analytiques des premiers restes P, Q, on trouvera tous les suivants par les simples fonctions dérivées de ces restes. -, ' ■

80. Puisque les fonctions dérivées de deux variables se formeutde la même mahière, et par les mentes règles que celles d’unè setrie'

variable, en considérant chaque variable séparément et successivement, il s’ensuit que tout ce que nous avons démontré sur les fonctions d’une seule variable peut s’appliquer de même aux fonctions de deux variables.

Ainsi il sera facile d’étendre aux fonctions de deux variables les remarques que nous avons faites dans le chapitre V, sur le développement des fonctions, lorsqu’on donne aux variables des valeurs déterminées, et d’en déduire des conséquences et des résultats semblables.

Enfin, il est visible que l’on pourra traiter aussi par les mêmes principes les fonctions de trois ou d’un plus grand nombre «le variables, puisqu'il ne s’agira que de répéter les mêmes opérations séparément pour chaque variable.

prf.miere partie. — chapitre quatorzième.