CHAPITRE QUATORZIÈME

Des équations dérivées d'une équation entre trois variables. Des fonctions arbitraires qui entrent dans les équations primitives complètes entre trois variables.

81 . Lorsqu’une fonction z n’est dorttafe que pur Aine équation entre x, y, z, on considérera qup, comme cette équation doit avoir lieu quelles que soient les valeurs de t^et >ÿ il s’enéliit qu’elle aura lieu anssj erf y mettant .r y- i et yH- o à la .) , quelles

que soient les quantités i et 'o? * ? soi^. »frés

cette substitution, l’équation' suivant les puissances et les produits

• •A/l» UU.MI OJI J UH IAVIN *» J fr Vil J f I •/ H ICI JJlUVly WU’tA- V b 1 J y VJUVilt O

que soient les quantités i et 'o? * ? soi^. tÿiW^tqep^t,. Après cette substitution, l’équation* qpiyatifr les •produits

de i et o, U faudra que les tnroes ntultipliés jftpir »üie même puissance ou produits de i et o JÎMm'eaÇ, dés '•çqm^tioos séparée*. -3faÿf*npus venoqg de voir <^ie, dai^w’d^çlopp^uent dVnjié fan<?fcipu}fé jp ff y, les termes multipliés par i donnent la fonction prime selon .r, que ceux multipliés par o donnent la fonction prime selon r, ceux multipliés

par -*• donnent la fonction seconde selon •»', -etc. Donc, ayant «ne

équation quelconque entré regardant s comme une fonc-

tion de x et y donnée, par cette équation ,'î>n ppyrra, en premyit les différentes Fonctions déri vées de toû's sès-termes, en déduire autant d’équations déri vées. de dïflerënts ordfces^quet’pqajjpiellerîi de même équations primes, seopndes, etc., selon \p oh f, équations jirimoprimes, securulo -primes, etc., et, en général, erp rations dérivées du premier ordre, du second ordre, etc. Ces équations serviront «à trouver les valeurs de z’, z,, z", z , z 0 , etc.

Si donc on représente par F (x, r, z) =o l’équation proposée pour la détermination de 2, et que l’on désigne simplement par F ' (x) , F'(y) , F'(z) les fonctions primes de F {oc, y, z), prises relativement à x, y, z, considérées séparément; et comme dee^ variables indépendantes, il est aisé de voir, par les principes établis pour les fonetibns d’une seule variable, que i[F'(x) -|- z'F'(z)] sera le terme affecté de i, et o | F ' ( y) -+~ z ( F' (z)] le terme affecté de o dans lè développement de F (x, y, z), après la substitution de x -K i jet y -+- o pour x et y, z étant regardé comme fonction de .r et y.

Ainsi, F'(.i-) -t- z'F'(z) sera la fonction prime relative à x, et F' (.y) -+- z,F'(z) la fonction prime relative à y de F(.r, y, z); de sorte que l’on aura ces deux équations primes

d’où l’on tire

F'(j)-hz,F'(z) = o;

- “ fT*)’

Ayant ainsi les valeurs de z' et z,, on en déduira celles 'de z",';, , z u , etc., en prenant de nouveau les fonctions primes de Celles-ci relatives à x et y; et ainsi de suite. , -

82 . On peut aussi rapporter immédiatement cette théorie à celle

1 i- - -* - “t,?* ''Z- V..i- ' ** \ , -v -, ViJ, i

des fonctions d une variable, eu regardant z comme donne en x et y, et )■ comme une fonction indéterminée de x. Ainsi, en 'regardant

d’abord r et z comme fonctions de r, la fonction prime de JF (x, r, z)

<pra » •« .

mais z étant considéré comme fonction de x et y, et / comme fonction de z, la fonction prime de z sera représentée par z' -y y' z, ; mettant cette valeur à la place de z', orf aura

F>)-fz'F'(z)+j'[F'(.r)

pour la fonction prime de F‘(x,/, 2).