PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE QUATORZIÈME

Donc, ayant l’équation F (x, y , z) = o, on aura l’équation prime

Mais y étant regardé comme une fonction indéterminée dex, l’équation précédente doit avoir lieu, quelle que soit la fonction y' ; elle se décomposera donc en ces deux-ci,

comme plus haut.

On pourrait trouver de la même manière les équations dérivées des ordres supérieurs.

83. Gela posé, considérons, en général, l’équation F (x, j, z) = o;

elle donne les deux équations primes

F' (x) -t- z'F' (z) = o et FJ ( y) -t- z,F' (z) = o,

qui auront, par conséquent, lieu en même temps que la proposée. Doue une combinaison quelconque de ces trois équations aura lieu aussi, et pourra, par conséquent, tenir lieu de l’équation primitive.

Soient a et b deux constantes quelconques contenues dans la fonction F (x, y, z), ces constantes seront les mêmes flans les fonctions dérivées F' (x), F' (y), F' (z); ainsi, on pourra, au moyen fies trois équations dont il s’agit, éliminer ces deux constantes, et 4’ équation résultante sera une équation du premier ordre entre X, y, z,' z' et z, qui renfermera deux constantes de moins que l’équation primitive. Donc, réciproquement, si l’on n’a ponr la détermination dez en xet r qu'une équation du premier ordre entre x, y, z., z et z,, l’équation primitive entre x, y et z devra contenir deux constantes arbitraires.

Geci est analogue à ce que nous avons vu relativement aux fonctions d’une seule variable, n° 46 ; mais nous avons vu aussi (n° 60) que la quantité arbitraire qui doit se trouver dam 1 équatioo pri m i ti v e

peut a'ètre pas constante, et donner cependant, par l’élimination, la même équation du premier ordre. La même chose peut donc avoir lieu ici; il est aisé de concevoir que l'on aura encore la même équation du premier ordre par l’élimination des deux arbitraires a et b, quoiqu’elles ne soient pas constantes, .pourvu que les deux équations primes soient encore de la même forme.

Désignons simplement parF'(n) et F '(b) les fonctions primes de F (j , )', s), prises relativement aux quantités a et b contenues dans cette dernière fonction; il est aisé de voir, par les principes établis, que si a et b sont regardés comme des fonctions de x et y, la fonction prime de F (x, r, .r), relative à .r, devra être augmentée, à raison des deux nouvelles variables a et b, de la quantité n'F'(rt) -+-b' F' ( b ), et que la fonction prime relative à y devra être augmentée pareillement de a,F'(a) + b,F'(b).

Supposons b = fa; on aura, en prenant les fonctions primes relati-

vement à r et y,

donc les quantités à ajouter aux deux fonctions primes seront

. «'[F' («) „+ Va . Ff (/>)] pt a\ F' (a) -K Va . F' (%

par conséquent, elles disparaîtront à la fois en prenant a telle, qu'elle satisfasse à l’équation .

.* -F' (ô) -t-‘ Va . F ' {b)- = o,

la fonction fa de a, que I <mi a prise {tour b, demeurant absolument

arbitraire. •. . ‘‘ •" ’ * * » ! ” „ • -

De là résultent donc ces conclusions importantes : ‘ '

^ , i". Que l’équation primitive qui satisfait, en généra Uii une équation

du premier ordre doit renfermer une fonction arbitraire;

a". Que si, pd*ir une équation donnée du- premier ordre, l'on trouve une équation primitive F (.r, r, z) = o, qui renferme deux constantes arbitraires a et b, il n’v aura qu’à faire b — f«, et prendre