CHAPITRE QUINZIÈME

formule remarquable pour le développement en série d une Jonction quelcom/ue de l’ inconnue z de [équation z — x -+- yfz.

85. Cette propriété des équations primes de pouvoir servir à taire disparaître une fonction quelconque est très-utile dans beaucoup d'occasions, et surtout pour les développements en série.»

Pour en donner un exemple, soit proposée l'équation

z — x -t-.rfz, ...

pour la détermination de s, fs étant une fonction'queïfcoiique de s, et 'supposons que Ton demande la valeur de z en série suivant' les puissances de -y ; il est visible que les deux premiers termes seront

»- * Jt » « • « *£ • j ,

a -t- ylj; ; et si, pour trouver les termes suivants, on, suppose z — x -t- y f.r -K Ay* B»" -+- il faudra développer la fonction fs suivant les puissances.de yy et comparer ensuite les-terfnes pour pouvoir déterminer les valeurs de A, B, etc.; mais, .de cette manière, on n'aurait pas la loi de ces.valeijrs. ll*y aura doac de l’avantage à employer, au -tien de l'équation proposée, iine : équation premier ordre où |a fonction fs ne se trouve pas .

Prenant donc lqs équations primes suivant .r et suivant.)', on aura

s' — t . z r , èt z, = fs -i- ) f's. s,,

en dénotant par f's la fonction prime-de fs relativement à s ; dob, éliminant f's, on tire d’abord

*s- s'Fs^o

Mais l'équation primitive donne

donc, substituant cette valeur dans la dernière équation, on aura cette équation du premier ordre, délivrée de fz,

Comme le premier ternie de l’expression de z en série de y est évidemment .«•, nous supposerons, en général,

• ’-: = / + Ay + Br* 4- Cj 3 -+- ..., ,

A, B, C-. etc. , étant des (onctions de x; nous aurons

z'= , + AV -t- BV ri- CV + .

A ' , B x etc. , étant les (onctions primes de A, B, eh - ., regardées conufte fonctions jde a - ; ensuite.

. * ; z,t= A -+- -Ær. ri- 3CV -+- 4Dr* -i-...;' . - , •

donc vin aura, en substituant ces valeurs, •

v(i -t- A > -t- B y H- C'y' (A -t- Br ri- CV ri-;... J

savoic.

A r- aB> — 3GV — •• •. =? o;

. ' (AA';— B)/ ri- (BA' -t- AB' — aC)V V (CA' 4 - BB' -+- Ad' 30) V -K = o ; *

d ou I on tire tout de suite . • * .

. 1 B^ AA\ C^*.(AB' t (f\'^,

D = i (AO' -t- BB' + CA'];' etc"

fei la quantité A demeure indéterminée; mais nous avons déjà vu que

-les deux premiers termes de «dans l'équation proposée sont .f+.yÈt;