première Partie. — chapiirk quinzième

par conséquent, on aura A = £r, et de là

A' = f'x, B = fxf'x, B' = lxf'x 4- (f'x)’;

doue

etc.

C = ^ (a fxf'.r’ .+• fx J f’x),

Mais eii examinant les expressions de B, C, etc., ou voit d’abord

** . » jk ' ■ » '• J |

qu'elles peuvent se mettre sous cette forme,

D = l % (AU 4 - ' B»)', . K,^ (AD -4- BU |\ - etc. ,

en dénotant ; en général, par le caractère ( *)' la fonction prime selon .c, de la quantité renfennée entre les «leux crochets; et si I on. fait les ■ substitutions successives fou trouve que cés expressions sont réductibles à celles-ci plus simples, * ' . . . • •

; c-ôlAT, ü^-(a:Ç

etc.

eu marquant par un trait, deux traits, etc.,. les fonctions primes, secondes, etc., des quantités renfermées entre les crochets, relativement à la variable x; , de sorte qu’en substituant 'ta- valeur «le A; on aura enfin , (

* ^ (ffiv '■& (f *r + :

où les exposants de x indiquent des (HiissanCes «le fx. »

Hft. Supposons maintenant que l’on deibanqe la valeur d une'tbnetion -queleonijiie ipz'rle z, développée (le même suivant les puissances «le y; on fera u — ifz, et, pretiant t«*s équations.piiimes^ou? faire disparaître la fonction q, on’.anra •• * I . . -, m 1

d'où Ton tire

et * 9 z .

, Supposons ici

1 ÔO THROBIK DES FONCTIONS.

Substituant la valeur de — > tirée de l'équation z'(z — x) — yz, — o, du numéro précédent, on aura cette équation du premier ordre

u'(z — 1 x) — yu / = o.

« = P +■ Qr h- Rr’ + Sy* + •

F, Q, R, etc:., étant des fonctions de x: substituant cette valeur,

ainsi que celle de z trouvée ci-dessus, on aura •

(P'-j-XXrjV RV + sy-+- 4- ^ (ür*)' -+-

.T • — Q - «Rv - 3Sj*

* * . • fc * « ,

d ’où l'on .tire

<} =±= R'fy, * ftRW.Q'f.c | Z (ia-y r

• 3S = R'lx 4 J (fVV -h ^ (fat*,)';: • '

et ait;$i de Slute. * ; * .

Or," en substituant successivement les valeurs deQ, R, etc.» il est aise dé reconnaître que les expressions de ces quantités peuvent sé

réduire à cette forme simple . »

Q = P'frr, ' R=*= I (P'fr*)', Sfc^F'fiîyV ête‘;

la Ibnction P derrteure. indéterminée; ii cause de l'élimination de la

fonction 0; niais, puisque '« ==$ 5 ^=; 0 (x -f- y£r -t- .!.), -il ëst visible que l'on aurq P — 0X / . et, 'par conséquent', P '= î’.r.

Doue, ebfin, on auras * ' ' , A .

0z = 0.V -y yç'xïx (<p'ir tir 1 )' -+- As , * '

formule très-remarquable, et d'un grand usage dans 1 analyse, surtout

pour- ie retour de» suite*.* • '

S7. On pourrait parvenir immédiatement a ce dernier résultat par la formule du n° 55; car il n'y aurait qti'à regarder u comme une