PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE QUINZIEME. r5l

fonction de y, et chercher les fonctions primes, secondes, etc., de u relatives à y, c’est-à-dire les valeurs de u v , etc. Faisant ensuite y = o, on aurait

etc..

pour les coefficients P, Q, H, S, etc. , de la série.

Tout se réduit donc à trouver ces fonctions dérivées, et à les mettre sous une forme simple et régulière. Pour cela, nous reprendrons les deux équations primes trouvées ci-dessus (n“ 85. 86),

z — z'ù = o et •S • •

lesquelles donnent celles-ci: «

U'—u'ïz et 1 *, s, = s'fs.v , •

i“. On aura donc on aura ' * .

m, = u'fz. . ' ; ,

a®. En prenailt les fonctions primes selon y,

. u K = u fz -I- u\f 'z; -, . '

f'z dénote la fonction prune de z relativement à z:>or, de la première équation, on tire atlssi cette équation primé relative ir . v ,

• . '!♦'»= «*fz-f- U 'z'f'zi*

donc, substituant, on aura t " a*.

u n = u"îz 3 -h awVf'zfz ='(nTz a )\

3°. En prenant, encore les fonctions prîmes relative à y,> on aura

or #

(tz'fz a ), = U fz’ -+- 2 u'z.z(zf

substituant les valeurs de u et de z,, données ci-dessus , on aura (w'fz a ), — M v fz a -+- iu'z'f'zfz* = ‘(«'fz*)';

I 5a THI-ORIK DES FONCTIONS,

donc, prenant les fonctions primes relatives à .r, on aura {u'îz% = (u'fzV =

et ainsi de suite.

Donc, puisque u = <pz, on aura

par conséquent,

U r — z't p'zfz, ‘ «„ = (sVsfz*)', • «„,== (zp'tfx*) 1 ', etc.,*

étant la fonction prime de <pz relativement à z seul, et les exposants dé z indiquant les puissances de f z.

Faisons 'maintenant y = o, l’équation proposée z = x -t- yfz donnera z = x; donc * • . <

z’ — l, tpz ®.r, y*z — ®'.r et iz — £r;

donc cnjin •

F = ®r, Q = ip'xfx, R = - (ç'xfx*)', S = —, ($'xf.r*)', etc.,

comme ci-dessus. . ‘.é • * • *

* fa *

Pour montrer, pjir ime appliaiticMi , l’usage de eettè formule, soit proposée l’equatiod • * 1

x et y étant des quantités données, et que ion demande la valeur de z ^ en série suivant les puissances de r j on fera ÿonc

. . .* fz = z",/ <ft=

1' « % , * < * * kJËi. v • J* • *

fx = #"\ 'ÇfxWxV* >Vî=

et l’on aura sdr-leJ%Han$ ’ **., r V *

• agpNç

donc aussi

■ • • ’SfSfe *

v * R == " (x*»*"-*}' ^T^L±ZL-.5 x*"*"- 4 ,

C i' « «(3m + n —«)(&* + î« ->a} li*, 1,

etc. ;