AD./ + A^D,/-+/D

série ordonnée suivant les puissances croissantes de A, k, l, et convergente dans les cercles de rayons R, R', R". »

C'est-à-dire qu'il y aurait un cercle de convergence pour A, un cercle de convergence pour A, et un cercle de convergence pour /.

J'ai montré, en 1861, dans le Journal de mathématiques, que cette théorie était inadmissible; qu'avant de traiter la question il eût fallu au moins la poser, car le môme développement pourrait être convergent ou divergent, selon la manière dont on en grouperait les termes; que^ si l'on considérait le développement d'une fonction de deux variables comme une série composée des groupes de termes homogènes par rapport à {x — x^ et à {y — y^), la question, déterminée dans ce cas, que semblaient avoir voulu envisager MM. Briot et Bouquet, n'admettrait pas, bien entendu, leur solution, qui, d'ailleurs^ ne conviendrait à aucun autre; que la limite de la région de convergence dépendrait du

rapport ; que, par exemple,

se développerait sans limites, pour x et y, par la formule de Maclaurin,

û X et y étaient assujettis à la condition '- =- y— 1 ; enfin, que le heu

des points correspondant aux systèmes de valeurs de a? et de y qui limiteraient la convergence ne serait autre que l'une des branches du contour apparent, par rapport au plan des x, y de la surface dont z serait la troisième coordonnée, branche qui d'ailleurs ne serait pas plus obligatoirement la plus voisine du point origine, que le point d'arrêt du développement d'une fonction d'une seule variable n'était le point critique le plus proche du point origine.

L'impuissance de l'école de Gauchy à aborder les questions relatives aux fonctions de plusieurs variables résultait déjà suffisamment d'un silence de vingt-cinq années; mais toutes les théories sont naturellement transformables les unes dans les autres, et celle que j'avais donnée des intégrales doubles et de leurs périodes pouvait être exploitée par un adversaire. Il fallait éviter ce danger. Je me décidai à effectuer moi-même la transformation.

Ce nouveau travail, qui parut en 1872 dans les Comptes rendus de l'Académie des Sciences, me donna lieu, d'abord, de proposer, à la place de la démonstration donnée par Cauchy et fondée sur le calcul des

variations, de ce principe que l'intégrale / ^«?x est généralement in-

dépendante de la marche suivie par x de x^ à x, une démonstration élémentaire capable de s'étendre à une intégrale d'ordre quelconque

V Fdx, dy, dz,,.,, condition que ne remplissait pas celle de Cauchy;

en second lieu, de constater, dans la théorie de Cauchy, un nouveau vice de méthode.

J'ai déjà dit que Cauchy et ses disciples posent avant tout en principe que les valeurs critiques doivent être interdites à la variable indépendante, sous peine, pour la fonction, de devenir indéterminée; c'est de cette nécessité que résultait pour Gauchy la convenance de ces petites évolutions autour des points critiques, qui feront peut-être encore quelque temps la joie des analystes, mais qui resteront éternellement ridicules aux yeux des géomètres.

Soient a? = a + ^ V — 1 et ?(a,p) = 0 le chemin suivi par x. Admettons avec Cauchy que la courbe ^ (a, jâ) == 0 ne doive passer par aucun point critique.

Puisque ^ est devenu une fonction déterminée de a, la seule variable indépendante sera « ; de sorte que, si y =^ «.' -\- ^' yj— 1 , l'intégrale I ydx ne sera autre que

;«'+iw^)(i+|v/-"Ti</«

iii« !■. n

— 2S8 — ou

a' et ^' étant deux fonctions de a, définies par les trois équations

/'(a + pv/irT,«' + ^'vCT)=o,

mais, par malheur, les deux intégrales

prises le long d'un chemin fermé, propre à donner une période, seraient identiquement nulles séparément si — et -^ ne penaient pas,

le long de ce chemin, des valeurs infinies, c'est-à-dire si a ne passait pas par quelques-unes de ses valeurs critiques.

De sorte que les précautions prises pour éviter une seule difficulté aboutissaient à la reproduire avec multiplication, mais en fermant alors les yeux pour ne plus l'apercevoir.

C'est dans ces conditions, c'est après avoir infligé cette série d'échecs à la méthode de mes adversaires, que j'allais me trouver en présence du principal d'entre eux au sujet de mon Mémoire de 1865, brûlé en 1870 chez M. Bertrand et refondu en 1872.

Je ne pouvais m'attendre à plus que de la justice.

Mais ai-je obtenu justice? Je ne le pense pas. Le public prononcera.

Toutefois, avant de répondre, je crois devoir extraire du Rapport les conclusions qui doivent avoir une influence utile, immédiatement réalisable, sur l'enseignement pratique.

Le Rapport consacre enfin cette affirmation, que j'ai produite il y a bientôt vingt ans, que les points multiples d'un lieu

où les dérivées de y, par rapport à a.-, finissent par se séparer, sans devenir infinies, ne sauraient arrêter le développement de la fonction y en série, suivant la formule deTaylor.

L'opinion contraire, professée depuis vingt-six ans, allait, il est vrai, recevoir une consécration officielle, déjà formulée dans une première édition du Rapport, mais enfin j'ai pu, avec l'aide d'un des Commissaires, faire rectifier l'erreur.

La consécration de ce premier point aune grande importance, parce

que la théorie élémenlaire de la série de Taylor pourra maintenant être ramenée à un degré extrême de simplicité et d'évidence, tandis que la démonstration de Cauchy, à cause des incohérences par-dessus lesquelles il fallait passer, présentait à l'esprit des difficultés vraiment infranchissables.

En effet, on ne pouvait admettre que la convergence de la série pût

dy être arrêtée en un point multiple où les valeurs de ^, par exemple, seraient différentes, sans faire violence à la notion la plus élémentaire de la continuité. Pour qu'une fonction varie. d'une manière continue, il ne suffit pas, en effet, que ses valeurs n'éprouvent pas de variations brusques, il faut encore que toutes les dérivées de cette fonction, par rapport à la variable indépendante, varient aussi d'une manière continue.

Il n'y a pas continuité entre les branches de la courbe

= VïT^'

qui se croisent à l'origine.

Il n'y a pas continuité entre deux arcs d'un cercle et d'une ellipse qui se raccordent par une tangente commune.

Il n'y a pas continuité entre deux arcs d'une ellipse et d'une parabole qui se raccordent par une tangente commune et une courbure commune au point commun.

Il n'y a pas continuité entre deux arcs de courbes distinctes qui ont même ellipse osculatrice au point où elles se raccordent, etc.

La démonstration de Cauchy était fondée sur cette observation que, si la série pouvait rester convergente au delà d'un point multiple, elle devrait fournir les ordonnées des différents arcs de la courbe qui émergeraient de ce point multiple. Mais la série n'aurait été astreinte à fournir ces diverses ordonnées que s'il y avait eu continuité entre elles, ce qui n'était pas.

Cauchy ni ses disciples ne s'étaient pas même fait cette objection bien simple, et qui eût dû les confondre, que si la série devenait divergente pour ne pas représenter les ordonnées des diverses branches de la courbe qui, partant du point multiple, s'éloigneraient du point origine, elle n'en aurait pas moins accompli auparavant le tour de force de fournir les ordonnées des branches qui seraient allées concourir à ce point multiple.

D'un autre côté, le mot divergente prenait un sens tout nouveau, il devenait synonyme de capricante.

La solution que j'ai donnée, en 1861, de ces difficultés, dans le

Journal de mathématiques, est bien simple : les valeurs supposées distinctes de la dérivée de la fonction ne pouvant pas s'échanger au delà du point multiple, les valeurs de la fonction ne s'échangeront pas non plus, et chaque valeur de la fonction sortira sous le coefficient différentiel sous lequel elle sera entrée.

^ Ce principe étant enfin consacré, la théorie élémentaire de la série de Taylor pourra maintenant se réduire à ces quelques énoncés, assez évidents pour n'exiger aucune démonstration en règle.

1. Une série à termes imaginaires est la somme de la série des parties réelles de ses termes et du produit par sj — 1 de la série de leurs parties affectées du signe imaginaire.

Pour que la série proposée soit convergente, il faut que les deux séries qui la composent soient elles-mêmes convergentes.

2. Si le terme général de la série proposée est an -\- bn \j — 1, il faut, pour que la série soit convergente, que an et bn tendent séparément vers zéro, ce qui s'exprime par cette condition, en apparence simple, mais double en réalité, que y (a„)^ + {^nf tende vers zéro.

5, Si — ^ et T-— , p et 5' étant constants ou variables, mais finis, ont

an — p t)n — q

séparément des limites moindres que 1 en valeur absolue, la série est convergente ; si l'une seulement des limites des rapports précédents dépasse 1 en valeur absolue, la série est divergente. Si l'un des rapports précédents a pour limite 1, la convergence est douteuse.

4. Si la série est ordonnée suivant les puissances croissantes d'une variable x, le module du terme général dépend du module de a?, et tend vers zéro ou vers l'infini, suivant que le module de x est inférieur ou supérieur au module de la valeur de x qui satisfait à l'équation

{an-yJ-\-(bn-qY

5. Le cas où la convergence est douteuse étant écarté, on obtiendrait, par rapport à x, l'intervalle dans lequel la série est convergente en résolvant l'équation.

{an-pr-\-{bn-,)'

Les valeurs de x, dont le module serait moindre que celui de la va-

leur trouvée, seront celles pour lesquelles la série sera convergente. La question, en ce qui concerne le développement d'une fonction implicite, est de trouver dans la discussion de l'équation f{x, y) = 0, qui définit cette •fonction, les éléments de la détermination, par rapport à x, de la limite en question.

6. Si Xq et y^ sont les valeurs initiales de x et de y, et que 3/0, dy\ /d'y\

j- I , ( Ti ) ' • • • » soient finies, y se confond, dans une étendue plus

ou moins grande, avec

en ce sens que les deux lieux

f{x,y) = 0 et

ont en [xq, yj un contact d'ordre infini, à l'intimité duquel aucune autre condition nouvelle ne saurait être ajoutée.

7. Si la valeur de y, que représentait la série lorsqu'elle était convergente, doit devenir infinie pour une certaine valeur x^ de x, la série, pour continuer de représenter cette valeur de y, doit prendre des valeurs de plus en plus grandes, lorsque x se rapproche de x^ , devenir infinie T^ouT x= x^, et être divergente pour toute valeur de x telle que le module de x — x^ surpasse celui de a^j — x^.

8. Mais il n'est pas nécessaire que la fonction y, représentée par la série, doive devenir infinie pour une valeur a^j de x pour que la série devienne divergente dès que le module de x — x^ surpasserait celui de Xi — Xq.

En effet une série , ordonnée suivant les puissances croissantes de a? — Xq, est convergente ou divergente en même temps que toutes ses dérivées et intégrales, puisque le rapport du module d'un terme au module du terme précédent ne change, dans la série dérivée ou dans la série intégrale, que dans le rapport des rangs de deux termes consécutifs, lequel tend vers 1.

9. La série doit donc être divergente pour toute valeur de x telle,

que le module de a? — x^^ surpasse celui de la différence entre Xq et une valeur x^, telle que l'une des dérivées de la fonction devienne infinie.

10. Une valeur de la variable, qui rend infinie une des valeurs de la fonction qui en dépend, rend en même temps infinies toutes les dérivées de cette forme de la fonction ; mais les dérivées d'une fonction peuvent ne devenir infinies qu'à partir d'un ordre plus ou moins élevé.

11. Toutefois, comme la dérivée d'une fonction ne peut devenir infinie qu'autant que cette fonction prenne au moins deux valeurs égales, on obtiendra tous les points qui pourraient arrêter la convergence de la série en résolvant le système des deux équations

dy

12. Pour reconnaître si une valeur de x, à laquelle correspondent p valeurs égales de y, peut être ou non considérée comme pouvant éventuellement former la limite de la région de convergence de la série, il faudra prendre les dérivées des p valeurs de y. Si ces p valeurs sont finies et inégales, la valeur de x ne sera pas critique. Si p — q valeurs

de -r- se trouvent confondues, il faudra prendre les » — q valeurs dx

correspondantes de y^; si ces p — q valeurs de -^^ sont toutes finies

et inégales, la valeur de x ne sera pas critique. Si p — q — r valeurs

d^u de -T^ restent confondus, il faudra prendre les ;? — q — r valeurs

, , , „ ^ — r valeurs de -r4 sont toutes

dx^ dx^

finies et inégales, la valeur de x ne sera pas critique, et ainsi de suite.

'ëAp — q — r ... — t valeurs de -7-^. deviennent infinies , les formes

correspondantes de y ne seront pas développables au delà de la valeur considérée de x ; mais celles dont les dérivées se^seront déjà séparées le resteront. Quant à celles dont les dérivées de l'ordre n ne seraient pas devenues infinies, mais ne se seraient pas encore séparées, il faudra les dériver de nouveau, jusqu'à ce que Ton tombe finalement sur des dérivées distinctes ou infinies.

Tel est le degré de simplicité auquel peut être ramenée maintenant la

théorie de la série de Taylor, en tant du moins qu'on écarte provisoirement la question de la détermination du point d'arrêt.

Avant d'aller plus loin, je rappellerai, à l'occasion de ce qui précède, ce que j'ai déjh dit, il y a douze ans, dans ce Journal, après avoir été averti du fait par M. Liouville, que MM. Lamarle et Tchebychef, envers qui les disciples de Cauchy n'ont pas été plus justes qu'envers moi, si du moins ils les avaient compris, m'avaient devancé dans mes observations relatives aux points multiples : M. Lamarle, en observant que, pour qu'un point dit critique pût être point d'arrêt, il faudrait au moins que les valeurs de y qui s'y confondraient pussent s'échanger dans un rayon infmiment petit ; M. Tchebychef, en démontrant en quatre mots que la série ne pouvait devenir divergente qu'au delà d'un point oîi l'une des dérivées de la fonction deviendrait infinie (1).

Je prie maintenant qu'on me permette quelques observations sur le Rapport lui-même.

On a sans doute remarqué la démonstration, extraite de son propre Mémoire, que M. Puiseux donne dans ce Rapport, de ce fait que les points multiples du lieu f {x, y) = 0 où les dérivées des y par rapport à X finissent par se séparer, sans devenir infinies, ne doivent plus être considérés comme critiques.

Je connaissais cette contradiction, mais j'en avais tiré autrefois une conclusion bien différente de celle que la citation rétrospective que je signale semblerait destinée à suggérer : sachant que les valeurs d'aune fonction qui pouvaient se permuter dans un rayon infiniment petit autour d'un point multiple étaient seulement celles dont les dérivées devenaient infinies au même ordre, j'en avais conclu que M. Puiseux s'était peut-être inutilement donné la peine d'établir la théorie de ces permutations, les groupes de racines qui devaient se permuter circulairement étant d'avance connus.

J'ai écrit, en effet, dans le tome VI, 2° Série, du Journal de mathématiques •:

« Ainsi les formes de la fonction qui peuvent se permuter entre elles autour d'un point multiple sont celles dont les dérivées deviennent infinies au môme ordre, après être restées confondues jusqu'à l'ordre précédent.

« Ce sont là sans doute les groupes circulaires que le calcul direct avait révélés à M. Puiseux ; en les définissant comme on vient de le faire, il devient superflu de les déterminer à l'avance : on les retrouvera toujours sans difficulté, n

(1) Je guis entré plus haut dans de nouveaux détails à cet égard, pages 113...., 127.

Je passe à la seconde partie du Rapport.

Voici d'abord les termes dont je me suis servi dans le préambule de mon Mémoire :

« J'ai établi en môme temps l'inexactitude de la règle donnée par Cauchy et adoptée depuis explicitement ou implicitement par tous les géomètres qui ont écrit sur la matière, d'après laquelle le cercle de convergence passerait par le point critique le plus voisin du point origine. »

Il semble que non-seulement cette assertion n'avait rien de blessant pour personne, mais que même j'étais resté dans les limites d'une extrême circîbnspection en ne désignant en particulier aucun des géomètres qui m'avaient précédé, comme s'étant exprimé sur le point en question d'une fnçon absolument explicite. D'ailleurs je ne faisais que rappeler un fait de notoriété publique et qui n'eût donné lieu de ma part à aucune insistance, si le Rapport n'avait pas jeté un certain doute sur leur exactitude.

Mais, puisqu'on m'y oblige, j'apporterai les preuves de ce que j'ai avancé. Elles m'étaient bien connues, puisque j'ai pu citer, de mémoire, les textes, à M. Puiseux, avant de les lui montrer imprimés.

M. Puiseux dit, à la page 378 du tome XV, 1850, du Journal de mathématiques :

« L'existence de ce développement une fois démontrée, on pourra en calculer les coefficients par le théorème de Taylor, qui donnera

? (y)== ¥ {c) + ^ (Y - ^) + tI^ (Y - cf + .... On a, dans cette équation.

Si,' de plus, on appelle F, (m, s), F, (m, z),... les valeurs de \ — ,

cPu 1.2 -—...., tirées des équations

df du , df

du dz dz

d fd^ ff fduV . d^f du d^f

ri,. /V^a ~r ri, fi \ rl^l ~^ ri,, ri t A„ "T W^2 ^'

du dz^ dv? \dz) dudz dz dz

les quantités ^-r- , 'j-^v auront pour valeurs Fj (é,, c), Y^ (ôj, c),

et il en résultera

(r) <p(y) =à,+ l\ {b,, c) (y - c) + F, (ij, c){y-cy- + ....

« On voit clairement, par ce qui précède, quelle est celle des racines de l'équation

dont la formule (r) donne le développement ; la série qui en est le second membre fournit la valeur pour z = y de celle des racines qui, se réduisant à A, pour r = c, varie d'une manière continue avec z, en supposant que le point Z aille de C en r, sans sortir du cercle a, c'està-dire en supposant que la distance GZ reste toujours moindre que la plus petite des distances CA, CA', GA",.--

« La foi^mulene peut s'appliquer qu'aux valeurs de y telles, que le module de f — c soit inférieur à cette plus petite distance; la notation f (y) "'^ même un sens déterminé qu'à cette condition. »

J'aime trop la justice pour ne pas proclamer moi-même que tout ce passage est écrit d'un style ferme, net, clair, correct, précis, élégant même, et qu'il faudrait être mal intentionné pour y trouver le moindre vice de rédaction.

Quant à l'exemple auquel M. Puiseux fait allusion, dans son rapport, le voici :

Il s'agit de la fonction y définie par l'équation

y'-Sy-\-x = 0,

avec la valeur initiale ?/(, = — 2, correspondant à ar,, = ~h 2. M. Puisenx dit que la fonction y pourra se développer dex = -\-2hx = — 2.

Get exemple ne- prouve rien, parce que, la valeur initiale de la variable étant une valeur critique et la valeur correspondante de la fonction une valeur finie et simple, il était certain d'avance que, si la variable revenait à sa valeur critique initiale, sans avoir atteint et dépassé l'autre valeur critique, la fonction reviendrait à sa valeur initiale.

Si la valeur initiale choisie avait été infiniment peu diff'érente de la valeur critique considérée, M. Puiseux, en vertu du théorème général qu'il avait établi, aurait dû conclure à un rayon de convergence infiniment petit. Cette conclusion eût sans doute été absurde comme contraire à la notion de continuité ; mais qu'y puis-je faire? M. Puiseux, en admettant les points multiples au nombre des points critiques, n'avait-il pas déjà démontré que la notion de continuité n'a rien à voir avec les théories de Cauchy?

Quant à MM. Briot et Bouquet, voici l'énoncé qu'ils donnent, page 26 de leur Ouvrage, du théorème de Cauchy.

« Pour qu'une fonction soit développable en une série ordonnée suivant les puissances entières, positives et croissantes de la variable, et convergente dans un cercle décrit de l'origine comme centre, il est nécessaire et il suffit que la fonction soit synectique, c'est-à-dire soit ■finie, continue, monodrome et monogène, dans ce même cercle. »

Pour rendre leur idée encore plus claire, MM. Briot et Bouquet ajoutent, page 29 :

« Soit la fonction irrationnelle

comptée à partir de z = 0 avec la valeur initiale -{- 1. Nous avons vu que cette fonction cesse d'être monodrome quand on tourne autour du point z = — i ; elle sera donc développable en une série convergente ordonnée suivant les puissances croissantes de z, dans le cercle décrit de l'origine comme centre, avec un rayon égal à l'unité.

« Il en sera de même d'une fonction implicite u définie par une équation algébrique entre m et z et comptée à partir du point z (probablement z^) avec la valeur initiale u^. Si du point «„ comme centre, avec un rayon égal à la distance au point le plus proche pour lequel r équation a des y^acines égales, et la fonction cesse d'être monodrome, on décrit un cercle, la fonction sera développable dans ce cercle en une série convergente ordonnée suivant les puissances croissantes de

Le sens de ce passage est bien clair : MM. Briot et Bouquet ont voulu dire que la fonction qui partirait de la valeur w^ correspondant à z^ serait développable dans le cercle dont la circonférence passerait par le point critique du lieu, le plus proche du point z^. C'est là évidemment ce que tout le monde comprendra en lisant leur énoncé, et, en fait, ce que tout le monde a compris jusqu'à ce jour.

Mais MM. Briot et Bouquet veulent que ce ne soit pas là le sens de leur énoncé. Ils disent : ce que nous appelons la /onc^ebn, aussi bien dans la première partie de l'énoncé que dans la seconde, c'est la valeur de la fonction multiple u qui est partie de la valeur w^ correspondant à z =Z(„ et qui a varié d'une manière continue avec z.

Mais, d'abord, il est évident que, dans l'hypothèse qu'ils veulent faire admettre, MM. Briot et Bouquet eussent formulé leur première phrase en ces termes : pour qu'une fonction soit développable, etc., il est néces-

soire et il suffit que c<?/^e fonction, etc. ; ils n'auraient pas dit : il est nécessaire et il suffit que la fonction, elc.

En second lien, comuient MM. Briot et Bouquet interpréteraient-ils, dans la même hypothèse, les mots : si du point z^ comme centre, avec un rayon égal :\ la distance au point le plus proche pour lequel l'équation a des racines égales, etc.? Il ne s'agit plus là de la valeur de la fonction qui est partie de la valeur u^.

Mais ces contradictions ne sont rien encore : dans l'hypothèse que voudraient faire admettre MM. Briot et Bouquet, leur énoncé n'aurait plus que ce sens : « Dès que la fonction qui est partie de la valeur u^ aura pu prendre deux valeurs distinctes, elle ne sera plus représentée par la série, qui n'en a qu'une. ;> MM. Briot et Bouquet auraient-ils écrit vingtneuf pages pour aboutir à ce résultat ?

Enfin quel non-sens n'eût- ce pas été, en 1859, de parler du premier point où la fonction partie de m,, aurait pu prendre deux valeurs, quand on ne pouvait suivre les variations de cette fonction, dans un intervalle si restreint qu'on le supposât.

Je passe à la troisième partie du Rapport.

Je ne m'arrête pas à cette phrase : « On voit aisément que le problème se ramène à celui-ci : Étant donnés deux points A et B, etc. » . Je remercie M. Puiseux de vouloir bien constater que j'ai démontré le fait assez clairement pour m'être fait comprendre.

Je laisse aussi de côté cette insinuation, que je ne me serais attaqué qu'à des équations d'une simplicité exceptionnelle. L'équation du folium y^ — daxy -|- ^"^ = 0 suffisait amplement pour montrer que la méthode proposée par moi existait réellement, et il faudrait avoir beaucoup de temps à perdre pour s'amuser à en traiter de plus compliquées.

Je ne dirai rien non plus de cette opinion du rapporteur, que la solution du problème dépasse les forces actuelles de l'Analyse, alors qu'elle a été ramenée à la discussion de courbes algébriques.

J'arrive à la plus grave des questions que soulève le Rapport.

C'est en 1861 que j'ai développé, dans le Journal de mathématiques, ma méthode pourdéterminer le point d'arrêt parmi les points critiques. C'est en 1861 que j'ai appliqué cetle méthode à l'équation du folium. Depuis 1861, MM. Briot et Bouquet, c'était leur droit, ont essayé de résoudre la môme question ; ils y ont réussi, à ce qu'il paraît. La solution qu'ils vont proposer est déjà, imprimée, en ce sens qu'ils l'ont en épreuves; elle sera exacte, je l'admets sans difficulté. Sera-t-elle meilleure .que la mienne? C'est ce que le public pourra voir quand elle lui sera offerte ; mais devait-elle être mise en parallèle avec la mienne? Le rap-

porteur delà Commission chargée d'examiner mon Mémoire ne devait-il pas se borner à constater le progrès accompli par moi?

M. Puiseux dit : « Pour justifier notre manière de voir, il faudrait entrer dans des développements qui donneraient à ce Rapport une étendue exagérée. » L'Académie pensera, je n'en dou te pas, qu'avan de lui soumettre les conclusions de son Rapport, M. Puiseux eût dû poser la question dans des termes moins équivoques, et quHl eût peut-être bien fait de s'abstenir provisoirement de développements qui trouveront mieux leur emploi lorsque MM. Briot et Bouquet awont publié la méthode qu'ils ont imaginée.

Quant à l'aide prétendue du mode de rejjrésentation ordinaire de la variable X, on comprendra parfaitement que, pour résoudre une question de l'ordre de celle dont il s'agit, il faut une méthode, et que cette méthode ne peut pas plus consister à porter b y — 1 perpendiculairement à a, qu'à le porter à la suite, ou sous toute autre inclinaison ; en d'autres termes, qu'un mode de représentation ne constitue pas un moyen de solution.

Il n'existait jusqu'ici que deux méthodes pour suivre la marche continue d'une fonction : celle qu'on peut tirer de la proposition faite autrefois par M. Puiseux, de se 'servir pour cela du développement même de la fonction, par la série de Taylor, et celle que j'avais adaptée à la recherche du point d'arrêt, laquelle était soumise à l'Académie.

Il en existe maintenant, paraît-il, une troisième, celle que MM. Briot et Bouquet vont publier.

M. Puiseux s'est fait expliquer cette troisième méthode, il en avait sans doute le droit, mais devait-il la faire entrer en balance ? devait-il proposer à la sanction de l'Académie un jugement contradictoire entre les deux méthodes? devait-il laisser ignorer à l'Académie qu'il visait in petto une méthode encore inconnue? devait-il enfin laisser supposer que, pour faire ce que j'avais fait, il pût suffire de laide du mode de représentation ordinaire de la variable x?

Je crois que l'Académie informée ne le pensera pas.

Ma réponse à M. Puiseux, par suite de retards successifs, ne parut que dans le numéro de juin 1873 du Journal de mathématiques.

Je m'étais depuis longtemps remis au travail pour tâcher de sortir enfin de la question du nombre maximum des périodes de la quadratrice d'une courbe de degré m et des conditions dans lesquelles elles disparaissent.

J'ai déjà dit que j'avais antérieurement aux vacances de 1872 achevé la discussion de l'intégrale quadratrice de la courbe du troisième ordre ayant un point double.

Les résultats devant être indépendants delà figure particulière affectée par la courbe en discussion, pourvu que cette courbe ne présentât aucune circonstance autre que celle de la présence d'un point double, j'avais pris au hasard une équation numérique, en ayant soin seulement que le point double fût un point isolé, parce que les faits dans ce cas seraient plus simples, et que les trois asymptotes fussent réelles, afin que toutes les conjuguées fussent fermées, sauf les trois qui auraient pour caractéristiques les coefficients angulaires des trois asymptotes, mais qui ne constitueraient que des cas limites.

La courbe réelle, ayant ses trois asymptotes, se composait de trois branches analogues aux branches d'une hyperbole, avec cette différence toutefois que chacune des trois asymptotes coupait la courbe et qu'audelà du point de rencontre, la branche correspondante présentait un point d'inflexion.

Deux tangentes parallèles, menées à deux des trois branches de la courbe réellCj comprenaient une conjuguée en forme de huit, dont les deux boucles se coupaient au point double du lieu ; et la différence des aires des deux boucles d'un même huit formait une des périodes de l'intégrale quadratrice.

Mais les aires des trois huit devaient évidemment être telles que l'une des trois fût la somme des deux autres. Car lorsque les limites d'une

intégrale / ydx sont données à la fois par rapport à a; et par rapport

à y, les valeurs que l'on peut attribuer à cette intégrale ne peuvent plus différer les unes des autres que par quelques périodes. Or, la partie imaginaire de la valeur de l'intégrale prise d'un point de l'une des branches réelles à unpoint d'une autre serait indiUéremment ou la demi-aire du huit compris entre ces deux branches, si le point [x, y] se rendait directement de l'une à l'autre, ou la somme des demi-aires des deux autres

huit, si l'on supposait que le point [x, y] se rendît de la première branche à la troisième, et ensuite de celle-ci à la seconde.

Les trois périodes observées n'en faisaient donc en réalité que deux et, en rétablissant celle qui s'était annulée lors de la formation du point

7)X \ÏH 1 )

double, on en trouvait trois, ce qui s'accordait avecla formule .

Mais, comme je l'ai déjà dit, j'avais antérieurement trouvé cette formule en défaut : ainsi, sans sortir du troisième degré, la cissoïde, la strophoïde et d'autres courbes connues n'accusaient même plus la présence que d'une seule période.

A quoi pouvait tenir cette différence?

Sans doute les deux périodes restantes étaient dans ces cas particuliers devenues égales, ce qui faisait qu'il n'en restait qu'une, mais à quelle cause fallait-il attribuer cette circonstance?

Je n'avais pas songé jusque-là à considérer spécialement les conjuguées dont les caractéristiques seraient les coefficients angulaires des asymptotes, parce que ces conjuguées, en continuité avec les autres, ne semblaient constituer que des cas particuliers, sans autre caractère spécial qu'une forme exceptionnelle, capable seulement d'introduir^des difficultés d'interprétation.

En examinant de plus près la figure composée de la courbe réelle et du système de ses conjuguées, je fus frappé d'un fait- particulier qui devait jeter un jour tout nouveau sur la question : si la caractéristique d'une conjuguée prenait une valeur comprise entre le coefficient angulaire d'une des trois asymptotes et le coefficient angulaire de la tangente au point d'inflexion de la branche correspondante, on pouvait mener à la courbe quatre tangentes distinctes ayant pour coefficient angulaire cette caractéristique. Deux de ces tangentes comprenaient bien toujours entre elles un^w^Vdont les deux boucles se coupaient encore au point double du lieu. Mais les deux autres tangentes comprenaient entre elles un anneau fermé, ayant la figure d'une ellipse et qui, lorsque la caractéristique de la conjuguée tendait à se rapprocher du coefficient angulaire de l'asymptote, tendait elle-même à s'allonger indéfiniment, en s'aplatissant, de plus en plus, de manière à se confondre enfin avec l'asymptote en question.

D'ailleurs lorsque la caractéristique de la conjuguée passait d'une valeur un peu inférieure au coefficient angulaire d'une des asymptotes à une valeur un peu Supérieure ou inversement, cette conjuguée, d'abord composée d'un seul huit, se décomposait aussitôt en deux parties, un huit nouveau et la courbe en forme d'ellipse, séparée du huit par une distance finie. L'aire représentative d'une période se décomposait en deux aires séparées.

Or l'aire de la courbe en forme d'ellipse était certainement différente

de zéro et c'était aussi certainement l'une des périodes de l'intégrale. D'un autre côté la différence des aires des deux branches dti huit, avant la séparation de l'anneau, constituait nécessairement la même période ; les deux boucles de ce huit, après la séparation, devaient donc avoir même aire.

Ainsi il n'y avait d'autres périodes que les produits par y — 1 des aires des trois anneaux en forme d'ellipse et l'aire totale de chaque huit, une fois la séparation faite, devenait nulle.

Mais s'il en était ainsi, les aires des trois anneaux en forme d'ellipse devaient remplir la condition déjà reconnue entre les aires des trois huit, que l'une fût la somme ou la différence des deux autres.

La théorie des résidus, que j'avais été amené à refaire, comme je l'ai dit plus haut, me fournit immédiatement les moyens d'obtenir cette importante vérification.

La courbe du troisième degré rapportée à son point double pris pour origine et à des parallèles à deux de ses asymptotes est représentée par l'équation

kxy^ -{- hx^y + Cy^ -\- \)xy + Ea;^ = 0

ou

( A ar -{- C)y^ + (B^^ + Tix)y + E.i^ = 0 ; si l'on posait z = {kx -{■ C) y, il en résulterait

| L — z -|- Yx^ = 0

Aa^-fC ' Ax-\-(

ss | (B^2 j^xyx)z-\- Ex-* {kx + C) = 0. Si l'on ne donnait à x que des valeurs infiniment peu différentes de l'abscisse — r de l'asymptote parallèle à l'axe des y, l'une des racines de

l'équation en z serait nulle et l'autre égale à — (Bx'' + D x) ; la valeur de y correspondant à cette dernière était donc

__ Ba* 4- \)x

y—~ Ax+G ■ .

Ainsi, dans les environs de son asymptote, la courbe se confondait avec l'hyperbole du second degré