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Le Mémoire intitulé: Théorie élémentaire des jntégrales simples et de leurs périodes, était précédé de l'introduction suivante :
« La théorie des intégrales prises entre limites imaginaires, contenue dans le Mémoire sur les périodes des intégrales simples et doubles, que je présentai à l'Académie le 7 mars 1853, et qu'elle approuva dans sa séance du 8 mai 1854, sur le rapport de MM. Cauchy et Sturm, cette théorie avait l'avantage de rattacher une question abstraite d'Analyse transcendante à des recherches concrètes de Géométrie supérieure ; de ramener l'évaluation d'une intégrale prise entre des limites imaginaires à la quadrature de courbes liées déjà, par les travaux du général Poncelet, à la courbe réelle dont la fonction explicite ou implicite, placée sous le signe sommatoire, eût représenté l'ordonnée, si la variable n'eût pris que des valeurs réelles comprises entre des limites convenables ; de rétablir enfin, entre la Géométrie et l'Analyse, l'harmonie et le concours qui avaient si puissamment aidé aux progrès de l'une et de l'autre, dans les deux derniers siècles, et qui venaient d'être rompus parM. Cauchy.
« Mais celte théorie, quoique plus simple que celle de M. Cauchy, en raison même du secours qu'elle puisait dans les considérations géométriques, reposait sur des études préalables de Géométrie comparée que les analystes ont eu de la peine à se rendre familières. Elle exigeait peut-être une trop grande contention d'esprit, par suite du mélange continuel des considérations d'Analyse abstraite et de Géométrie pure.
« La méthode que je propose aujourd'hui n'aura pas l'avantage, comme celle que j'ai donnée autrefois, que chacune des conclusions obtenues comprenne à la fois un théorème d'Analyse et un théorème de Géométrie ; par exemple, le théorème de l'équivalence des aires des anneaux fermés des conjuguées d'une même courbe, qui constitue, sous une forme môme plus intéressante que celle qu'avait pu lui donner le géomètre grec, une extension aux courbes algébriques de tous les ordres, du second théorème d'Apollonius, Tza'b' sin 0 = xa6, ce théorème, dis-je, ne sera même plus mentionné ; mais la nouvelle méthode aura l'avantage de pouvoir prendre immédiatement place dans les premiers éléments du Calcul intégral et de ne plus exiger d'aussi grands efforts pour être comprise.
« Cette méthode repose entièrement sur une formule que j'ai donnée dans mon Mémoire sur quelques propriétés générales de C enveloppe imaginaire des conjuguées d'un lieu plan, et que j'établirai ici en dehors do tout système de Géométrie idéale ou d'interprétation des imaginaires en Géométrie.
« On sait que M. Cauchy a fondé sa méthode sur ce théorème que la valeur d'une intégrale
ydx,
correspondant à une suite définie de valeurs de x, rejoignant x^ et a?,, ne varie généralement pas lorsque cette suite change; et, principalement, sur l'examen des circonstances qui amènent un changement dans la valeur de l'intégrale.
« La partie négative de la proposition étant à peu près évidente, je l'avais admise sans démonstration dans la théorie que j'ai donnée autrefois des intégrales simples ; quant à l'autre partie, n'ayant pas à en faire usage, je ne m'en étais pas préoccupé.
((J'aurais pu laisser les choses en l'état, sous ce rapport, dans la nouvelle théorie que je propose, mais la démonstration de M. Cauchy étant, comme, on sait, fondée sur les principes du Calcul des variations, je ne pouvais ni y renvoyer^ ni la reproduire. J'ai donc dû en rechercher une autre plus simple. Celle que je donne repose sur les principes les plus élémentaires du Calcul différentiel, et, à ce titre, il y aura avantage à la substituer à celle de M. Cauchy ; mais, de plus, outre qu'elle s'appliquera aussi bien aux intégrales doubles, elle permet d'exprimer d'une autre manière que M. Cauchy la condition à remplir par la suite des valeurs de x, supposée fermée, pour que l'intégrale ne soit pas nulle d'elle-même.
« Au lieu d'une condition d'inégalité que doive remplir le résultat de la substitution, dans le premier membre de l'équation qui règle la marche de x, des parties réelle et imaginaire d'une valeur particulière de X, à laquelle correspondent des valeurs égales ou infinies de y, la nouvelle démonstration fournit des conditions d'égalité qui doivent être remplies par quelques-unes des valeurs que prend réellement 5?. »
Le mémoire intitulé : Théorie élémentaire des intégrales doubles et de eurs périodes était précédé de l'introduction suivante.
« La question des périodes des intégrales doubles est résolue depuis 1851 ; j'en ai présenté en 1853 la solution à l'Académie des sciences, qui l'a approuvée l'année suivante, sur le Rapport de MM. Cauchy et Sturm, et mon Mémoire a paru en 1839 dans le Journal de mathématiques. La théorie des intégrales doubles prises entre limites imaginaires aurait donc pu devenir classique depuis longtemps.
« Mais cettethéorie reposait, comme celle quej'ai donnée, à la même époque, des intégrales simples, sur des considérations de géométrie
supérieure qui ont paru exiger, pour être comprises, encore plus d'efforts que celles qui m'avaient servi à établir la théorie des intégrales simples; et les analystes, quoiqu'ils n'aient pas réussi depuis à découvrir un moyen d'aborder la théorie des intégrales doubles, se sont simplement abstenus.
« Il est résulté de là que, relativement aux intégrales doubles, l'enseignement est resté tel qu'il pouvait être en 1840.
((Comme il importe que la jeunesse ne reste pas plus longtemps privée d'un enseignement utile, je crois devoir faire pour la théorie des intégrales doubles ce que j'ai fait, dans le Mémoire précédent, pour la théorie des intégrales simples, la dégager de toutes considérations géométriques, au risque d'en diminuer l'intérêt.
(( Je donnerai pour traiter la question deux méthodes: l'une qui ne sera que l'ancienne présentée sous une autre forme, à l'aide d'un théorème nouveau; l'autre, qui sera celle que Cauchy aurait sans doute lini par trouver, s'il eût vécu quelques ailnées de plus.
(i Le mode adopté par Cauchy pour figurer la marche d'une variable imaginaire ne pouvait pas être imité, dès qu'on avait à considérer seulement deux variables indépendantes. C'est ce qui explique pourquoi ni Cauchy ni les partisans de sa méthode n'ont pu aborder la théorie des intégrales doubles. Toutefois on a pu remarquera la lecture du Mémoire précédent que ce mode de représentation n'a rien d'essentiel, puisqu'il a été possible, sans y recourir, d'exprimer les mômes idées que Cauchy dans un langage analogue.
(( Onverra,parcequi va suivre, quela théorie, de Cauchy pouvait être, en effet, étendue aux intégrales doubles.
(( Ce sera, je crois, retourner en arrière que de substituer l'une ou l'autre des deux méthodes, que je vais indiquer parallèlement, à celle que j'ai donnée en 1833; mais, quand môme la méthode de Cauchy devrait obtenir la préférence, il vaudra mieux avoir aidé ses partisans à en développer l'usage que de laisser indéfiniment à l'écart une question de première importance. »
Je rapporterai ici deux découvertes que je fis à propos du préambule de mon Mémoire relatif aux intégrales doubles.
Il y avait près de vingt années que j'avais donné cette théorie, et depuis vingt ans mes camarades faisaient le silence autour d'elle.
J'avais entendu dire que M. Bertrand avait été chargé par M. Duruy, à l'occasion de l'Exposition de 1867, de faire un rapport sur les progrès de l'Analyse en France, et j'eus la curiosité de le lire.
J'avoue que je restai fort étonné de me voir occuper quatre ou cinq pages de ce rapport.
Après avoir analysé les travaux de Gauchy, de M. Liouville, de M. Hermite, de MM. Puiseux, Briot et Bouquet sur la théorie des fonctions de variables imaginaires, M. Bertrand ajoutait :
« M. Maximilieh Marie, répétiteur à l'École polytechnique, a consacré à la théorie des fonctions imaginaires un grand nombre de Mémoires dirigés dans une voie qui lui est propre. Le but principal qu'il se proposait d'abord a été la représentation géométrique des solutions réelles et imaginaires d'une équation de deux variables. Dans le système adopté par Gauss et par Gauchy, et dont les géomètres ont déduit de si importantes conséquences, une expression imaginaire représente un point, et pour représenter les solutions d'une équation, il faudrait par conséquent imaginer deux surfaces, dont l'une a pour ordonnée la partie réelle, et l'autre le coefficient de yj — i dans l'une des variables, pour le point dont la projection représente la valeur complète de l'autre.
«M. Marie procède tout autrement; il associe, pour les représenter par les points d'une courbe, les solutions dans lesquelles les coefficients de V — 1 dans les deux variables ont un rapport donné d'avance, et chacune d'elles est représentée par un point dont les coordonnées réelles sont obtenues en remplaçant s/ — 1 par -f- !• Ce mode de représentation, qui semble d'abord arbitraire, réunit plusieurs avantages, qui ont déterminé le choix de son auteur et lui ont permis d'en faire un usage utile. Nous ne pouvons mieux faire que de citer, pour le démontrer, le rapport présenté par Gauchy à l'Académie des sciences, sur l'un des mémoires de M. Marie. »
Ensuite venait la reproduction in extenso du rapport de M. Gauchy, puis le rapporteur passait à autre chose.
Je ne pouvais me trouver que très-honoré de l'espèce de parallèle que M. Bertrand, involontairement sans doute, avait établi entre tant d'hommes illustres et moi. Mais j'eusse préféré qu'il eût fait connaître les Mémoires que j'avais publiés de 1858 à 1862, dans le Journal de mathématiques pures et appliquées, sur les intégrales d'ordre quelconque, sur
une méthode pour suivre la marche continue d'une fonction d'une seule variable imaginaire, sur les permutations des valeurs d'une pareille fonction, sur la convergence de la série de Taylor, sur la détermination du point critique où cette série devient divergente, sur la convergence du développement d'une fonction de deux variables, sur la courbure des conjuguées et de leurs enveloppes, enfin sur la théorie des angles imaginaires.
Quant au qualificatif utile, que M. Bertrand appliquait à mes recherches, il n'en existe pas de plus enviable.
Mais la lecture du rapport de M. Bertrand m'apprit qu'il en existait un autre de M. Chasles, sur les progrès de la géométrie, et je crus devoir le rechercher aussi.
Je n'y étais même pas nommé I
M. Chasles avait nommé dans son rapport deux cent cinquante à trois cents géomètres, tant anciens que modernes, et n'avait pas écrit mon nom une seule fois.
Un de mes amis me dit : Vous ne lui avez donc pas envoyé vos mémoires? — Non, fis-je. — Vous n'êtes pas allé le voir? — Je n'y ai même pas songé. Mais mon Mémoire occupe plus de trois cents pages dans le journal de M. Liouville; il est réparti dans cinq tomes correspondant aux années 1838, 1859, 18G0, 1861 et 1862 ; ce n'est pas une violette cachée sous l'herbe. D'ailleurs le ministre, je pense, n'a pas demandé un rapport sur les- travaux des géomètres qui iraient faire leur cour à M. Chasles.
J'avais beau y réfléchir, je ne trouvais pas d'explication au silence gardé par M. Chasles à mon égard.
M. Chasles pouvant seul me fournir celte explication, je lui écrivis le 20 novembre ;
« Monsieur, j'ai l'honneur de vous faire hommage d'un exemplaire de mon Ménioi7^e sur quelques propriétés générales de l'enveloppe imaginaire des conjuguées d'un lieu plan, qui vient de paraître dans le Journal de mathématiques.
« Ce mémoire, adressé par moi à l'Académie des sciences, 161*=' juillet dernier, avait été renvoyé à une Commission composée de vous, de M.Hermite et de M, Bonnet. J'ai eu l'honneur devons adresser quelques jours après une lettre pleine de déférence, où je vous priais de me permettre de vous exposer ce que contenait ce Mémoire et ce qui était nécessaire pour en comprendre les diflerentes propositions.. — Yous ne m'avez pas fait l'honneur de me répondre.
« Vous avez parfaitement le droit. Monsieur, en tant que personne privée, de ne vous intéresser aucunement à mes travaux.
« Mais quand vous acceptez ofliciellement la fonction diflicile de rendre la justice, j'ai, sans doute, celui de réclamer de vous la part qui me revient légitimement.
« J'ai parcouru ces jours derniers votre rapport au ministre sur les progrès de la géométrie, où mon nom n'est cité à aucun titre, et il m'est impossible d'accepter sans protestation un pareil déni de justice.
« Comment I le plus beau titre de gloire de l'illustre général Poncelet, ce qui le met hors de pairs, est d'avoir introduit en géométrie la théorie des relations d'une conique avec ses supplémentaires, et la théorie générale des supplémentaires ou conjuguées des courbes et surfaces algébriques de tous les ordres n'appartiendrait pas à la géométrie !
« La définition analytique des conjuguées ou supplémentaires, considérées comme lieux des intersections idéales de la courbe ou de la surface proposée avec des suites de droites parallèles n'intéresserait pas ia géométrie 1
« Le théorème général de la permanence de ces conjuguées ou supplémentaires, quelque transformation qu'on fasse subir aux axes, n'appartiendrait pas à la géométrie 1
«Ce théorème que l'une des supplémentaires, réduites à deux droites, d'une ellipse évanouissante bitangente à un lieu / [x, y) = 0, constitue un couple de deux tangentes effectives à une conjuguée assignée de cette t^ourbe / {x, y) = 0, théorème qui fournit immédiatement l'équation générale des tangentes à toutes les supplémentaires ou conjuguées d'une courbe quelconque, qui les donne sous la même forme analytique que les tangentes à la courbe réelle et procure le moyen de les construire par les mêmes règles pratiques, ce théorème n'intéresse pas la géométrie !
« Le théorème analogue relatif aux plans tangents n'intéresse pas non plus la géométrie !
«Ce théorème que le faisceau des supplémentaires rectilignesde l'ellipse évanouissante formée de la réunion de deux asymptotes imaginaires conjuguées d'un lieu /"(x, y) = 0, constitue un faisceau d'asymptotes des supplémentaires ou conjuguées du même lieu f {x, y) =0, ce théorème n\ippartient pas à la géométrie I
«Les supplémentaires d'une courbe ont cette courbe pour enveloppe, mais elles en ont généralement une autre, comme on le reconnaît dans les supplémentaires de l'hyperbole. Cependant, la démonstration de ce théorème général que la seconde enveloppe est le lieu des points des
diverses supplémentaires où — est réel, non plus que la démonstration
du théorème analogue relatif à la seconde enveloppe des supplémentaires d'une surface, n'intéresseraient pas la géométrie!
« La théorie générale de cette seconde enveloppe, qui joue le même rôle que la courbe réelle dans les questions de quadratures et de rectifications, n'est pas du ressort delà géométrie!
((Ce théorème général que les m (m — 1) tangentes. que l'on peut mener à une courbe de degré m, parallèlement à une direction réelle donnée, se partagent toujours entre les deux enveloppes, qui se complètent ainsi l'une par l'autre, ce théorème n'intéresse pas la géométrie !
«Ce théorème que chaque conjuguée ou supplémentaired'unecourbe quelconque a même courbure qu'elle aux points où elle la touche, n'intéresse pas la géométrie !
« Ce théorème que si la formule
v^mi
dx"
a pour valeur r -{■ r' sj — l,enun point de la seconde enveloppe, le rayon de courbure de cette seconde enveloppe, en ce point, est r -\-r
et que celui de la supplémentaire qui y passe est r- , ce théorème
n'intéresse pas la géométrie!
((■Le théorème qui fournit le rayon de courbured'une conjuguée quelconque, en un quelconque de ses points, sous la forme
r -\- 3rt*nr' — 'àan-v — m''/"
OÙ a et n désignent l'un, la tangente de l'angle de la tangente à la conjuguée avec le grand axe de l'ellipse évanouissante dont une des supplémentaires comprend cette tangente à la conjuguée, l'autre, le rapport du petit au grand axe de cette ellipse évanouissante, ce théorème n'appartient pas non plus à la géométrie I
« L'extension de la théorie des supplémentaires au cas où la courbe primitive est rapportée à des coordonnées polaires n'appartient pas non plus à la géométrie !
«Ces théorèmes que la quadrature d'une supplémentaire quelconque d'une courbe, ou la cubature d'une supplémentaire d'une surface sont exprimées par les mêmes intégrales qui donnent la quadrature de la courbe réelle ou la cubature de la surface réelle, ces théorèmes n'appartiennent pas non plus à la géométrie !
«Ce théorème par lequel une intégrale simple prise entre limites imaginaires est ramenée à la somme de trois aires définies, celle d'un segment de l'une des deux enveloppes et celle de deux segments des conjuguées auxquelles appartiennent les limites, ce théorème n'appartient pas à la géométrie !
« Ce théorème de l'équivalence en surface ou en volume des conjuguées fermées d'une même courbe ou d'une môme surface, comprises entre les mêmes branches de la courbe ou les mômes nappes de la surface, théorème qui n'est autre que la plus haute généralisation du second théorème d'Apollonius, que toutes les supplémentaires d'une même hyperbole ont même aire, ce théorème n'appartient pas à la géométrie !
« L'interprétation géométrique des périodes des intégrales simples ou doubles par les aires des anneaux fermés ou les volumes enveloppés par les nappes fermées de la courbe ou de la surface dont une des ordonnées est exprimée par la fonction placée sous le signe / , cette interprétation n'intéresse pas la géométrie !
«La solution géométrique générale du problème des intégrales ultraelliptiques de tous les ordres n'intéresse pas la géométrie !
Si Cette remarque assez simple, sans doute, mais qui grandira peutêtre, que les périodes de l'intégrale rectiflcalrice d'une hyperbole sont les différences entre la somme des longueurs des asymptotes d'une part et les sommes des longueurs des branches de l'hyperbole proposée ou de l'hyperbole conjuguée, d'autre part, ce théorème n'intéresse pas la géométrie !
«Ce théorème que la rectification de la seconde enveloppe des supplémentaires d'une courbe quelconque est fournie par la même intégrale que la rectification de la première enveloppe, ce théorème n'intéresse pas la géométrie!
«Ce théorème que la quadrature de la seconde enveloppe dessupplé-
nientaires d'une surface quelconque est fournie par la môme intégrale double que la quadrature de la première enveloppe, ce théorème n'intéresse pas non plus la géométrie I
« Ce théorème qu'une courbe quelconque, l'une quelconque de ses supplémentaires, l'une quelconque des supplémentaires de celle-ci, et ainsi indéfiniment, présentent, de deux en deux, des anneaux fermés en même nombre et enveloppant respectivement des aires égales, ce théorème n'appartient pas à la géométrie !
«Ce théorème que les quadratricesde deux courbes consécutives de la série précédente présentent les mômes périodes, au facteur v^ — 1 près, n'intéresse pas la géométrie (1)1
« Je tiens, Monsieur, à ne pas préjuger les motifs qui ont pu vous engager à me retrancher ainsi du nombre des géomètres. Je serais étonné que vous n'eussiez pas eu connaissance de travaux dont la publication a duré cinq ans dans le journal de M. Liouville et qui y occupent près de quatre cents pages. Mais c'est, provisoirement, la seule hypothèse que je me permette en une circonstance si extraordinaire.
« Si cette hypothèse est exacte, je crois pouvoir compter assez sur vos sentiments de justice pour qu'une réparation me soit accordée par vous, dans la forme, d'ailleurs, que vous jugeriez convenable d'employer.
«Je serais heureux, Monsieur, que vous voulussiez bien me faire l'honneur d'un mot de réponse. »
M. Chasles ne répondit pas plus à cette lettre qu'à ma précédente, de sorte que la question que je m'étais faite se doublait maintenant d'une autre : pourquoi M. Chasles ne me répondait-il pas?
Je crois avoir trouvé la solution de cette question difficile, mais, au reste, M. Chasles seul pourrait dire si elle est exacte.
En parcourant une dernière fois le rapport, je fus frappé d'un fait tout à fait extraordinaire :
M. Chasles loue en sept pages le général Poncelet de toutes sortes de travaux, et môme d'avoir résolu quelques problèmes, mais les mots coniques supplémentaires ne sont pas venus sous sa plume : le plus beau, titre de gloire du général Poncelet, celui auquel il tenait le plus, est en tièrement passé sous silence dans le rapport de M. Chasles.
Pourquoi? On trouverait peut-être la réponse à cette question dans les reproches fort vifs adressés par le général à M. Chasles, dans le second volume de ses Propriétés projectives.
(1) Ces deux derniers énoncés doivent être un peu modifiés : les périodes de la <]uadrairice do la première courbe d'une des séries, dont il s'agit, se retrouvent bien parmi les périodes des quadratrices des autres courbes de cette série ; mais il s'y ou ajoute généralement de nouvelles à mesure que le degré s'élève.
Quoi qu'il en soit, après avoir supprimé cette partie de l'œuvre de Poncelet, M. Chasies ne pouvait que garder le silence à mon égard.
Croyant que les auteurs des rapports avaient été désignés par l'Académie au ministre, je pensai que je devais adresser ma plainte à l'Académie.
En conséquence j'adressai la lettre suivante à son président :
« Monsieur le président, le Rapport sur les progrès de la géométrie, adressé par M. Chasies au ministre de l'instruction publique, à la suite de la dernière exposition universelle, ne mentionne pas mon nom.
(( Ce fait, dont je n'ai eu que récemment connaissance, devait mesurprendre, puisque les progrès que j'ai pu faire faire à l'analyse procèdent de recherches antérieures d'ordre purement géométrique.
« M. Chasies n'ayant pas cru devoir me donner l'explication que je lui ai demandée au sujet de ce fait anormal, j'ai dû chercher à la découvrir moi-même.
(( Le Bapport ÏQurnit lui-même cette explication en ce qu'il est absolument muet sur le principal titre de gloire du général Poncelet, sur celle de ses conceptions à laquelle il attachait, à juste titre, le plus de prix, parce que c'est elle qui le met hors ligne.
« Le silence gardé à l'égard de l'admirable théorie des relations d'une conique avec ses supplémentaires, obligeait le rapporteur à se taire sur des travaux qui ne constituent qu'un prolongement de cette théorie.
« Je n'ai assurément pas qualité pour prendre, dans le sein de l'Académie, la défense de u mémoire d'un de ses plus illustres membres ; cette défense serait superflue en tout état de cause ; d'ailleurs ce n'est pas au moment où la grande conception du général Poncelet, étendue aux courbes et aux surfaces de tous les ordres, vient de fournir, avec une facilité inouïe, la solution des plus hautes questions de l'analyse, qu'une tentative pour en supprimer jusqu'au souvenir pourrait avoir quelque chance de succès.
« Mais si le général Poncelet est hors d'atteinte, il n'en est pas de même de moi, et4e silence gardé à mon égard par le rapporteur de 1870, me serait trop préjudiciable si l'Académie ne me permettait pas une courte explication des faits.
« Je prie l'Académie de me permettre de soumettre à son jugement impartial les questions indiquées dans la noie ci-jointe.
NOTE AU SUJET DU RAPPORT DE M. CHASLES SUR LES PROGRÈS DE LA GÉOMÉTRIE.
« Le Rapport sur les progrès de la géométrie, adressé par M. Chasles au ministre de l'instruction publique, à la suite de la dernière Exposition universelle, ne fait pas mention du principal titre de gloire du général Poncelet, de celle de ses conceptions à laquelle il attachait le plus de prix et qui le place hors de pairs, parmi les géomètres.
(( Cette omission n'a aucune importance pour la mémoire de Poncelet, dont les œuvres sont dans toutes les mains, en France et à l'étranger; d'ailleurs ce n'est pas au moment où la théorie des relations d'une conique avec ses supplémentaires, étendue aux courbes et aux surfaces de tous les ordres, vient de fournir, avec une facilité inouïe, la solution des plus hautes questions de l'analyse, qu'une tentative pour en supprimer jusqu'au souvenir, si, par impossible, elle devait se produire pourrait avoir quelque chance de succès.
(( Mais si le maître est hors d'atteinte, il n'en est pas de même du disciple et le silence que M. Chasles a dû observer à mon égard, après avoir retranché de l'œuvre de Poncelet la théorie que je n'ai fait que développer, ce silence me serait trop préjudiciable si l'Académie ne me permettait pas une courte exposition des faits.
« J'ai faitvoir que la théorie, donnée par Poncelet, des relations d'une conique avec ses supplémentaires, s'étend aux courbes et surfaces algébriques de tous les ordres, dont les conjuguées, ou supplémentaires, considérées comme lieux des intersections idéales de la courbe, ou de la surface proposée, avec des suites de droites parallèles, se construisent
par points, en remplaçant y — 1 par 1 dans les valeurs algébriques des coordonnées des points de section; et j'ai démontré que les supplémentaires d'une courbe ou d'une surface restent les mêmes à quelque système d'axes que soit rapportée la courbe ou la surface.
<( Ces préliminaires établis, j'ai démontré les théorèmes suivants •- « 1° L'une des supplémentaires, réduites à deux droites, d'un'e ellipse évanouissante bitangente à un lieu f{x, y) = 0, constitue un couple de deux tangentes effectives à une conjuguée assignée de cette courbe f{x^ y)=0; ce théorème- fournit immédiatement l'équation générale des tangentes à toutes les supplémentaires ou conjuguées d'une courbe quelconque, il les donne sous la même forme analytique que les tangentes à la courbe réelle, et procure le moyen de les construire par les mêmes règles pratiques.
« 2° L'une des supplémentaires, réduites à deux plans, d'un cylindre
elliptique évanouissant, bitangent à une surface f{x, y, z) = 0, constitue un couple de deux plans tangents à une conjuguée assignée de cette surface, et ce théorème fournit de même l'équation générale des plans tangents à toutes les supplémentaires ou conjuguées d'une surface quelconque, sous la même forme qui convient à celle des plans tangents à la surface réelle.
« 3° Le faisceau des supplémentaires rectilignes de l'ellipse évanouissante formée de la réunion de deux asymptotes imaginaires conjuguées d'une courbe f{x^ y) =^ 0, constitue un faisceau d'asymptotes des supplémentaires ou conjuguées de cette courbe.
« 4° Lessupplémentaires d'une courbeontcette courbe pour enveloppe, mais elles en ont généralement une autre qui est le lieu des points des
diverses supplémentaires oti -^ est réel.
« 5° De même la seconde enveloppe des supplémentaires d'une surface est le lieu des points de ces supplémentaires où — et — sont réels.
« 6° Chaque conjuguée ou supplémentaire d'une courbe quelconque a même courbure qu'elle au point où elle la touche. « 7° Si l'expression
^+(iy
a pour valeur r -|- / \/— 4 , en un point de la seconde enveloppe, le rayon de courbure de cette seconde enveloppe, en ce point, est/* -|- ^'' et
celui de la supplémentaire qui y passe est ^ , .
« 8° Le rayon de courbure d'une conjuguée quelconque en un quelconque de ses points est
1 — n^J a^r -f- 3a^//r' — 3anV — nV '
a désignant la tangente de l'angle de la tangente à la conjuguée en ce point, avec le grand axe de l'ellipse évanouissante dont une des supplémentaires comprend cette tangente, et n le rapport du petit au grand axe de cette ellipse évanouissante.
« 9° La quadrature d'une supplémentaire d'une courbe et la cubature d'une supplémentaire d'une surface sont exprimées par les mômes intégrales qui donnent la quadrature de la courbe réelle ou la cubature de la surfaceYéelle.
« 10° Une intégrale simple prise entre des limites imaginaires se ra-
mène à la somme de trois aires défmies, celle d'un segment de l'une des deux enveloppes et celles de deux segments des conjuguées auxquelles appartiennent les limites.
« H° Les conjuguées fermées d'une même courbe, ou d'une môme surface, comprises entre les mômes branches de la courbe, ou les mômes nappes de la surface, sont équivalentes en surface, ou en volume; ce qui constitue pour les courbes et les surfaces de tous les ordres l'équivalent du second théorème d'Apollonius.
« 12° Les périodes réelles des intégrales simples ou doubles sont les aires des anneaux fermés, ou les volumes enveloppés par les nappes fermées de la courbe ou de la surface réelle.
« 13° De môme les périodes imaginaires des mêmes intégrales sont les aires ou les volumes enveloppés par les conjuguées fermées de la courbe ou de la surface.
« 14° La rectification de la seconde enveloppe des supplémentaires d'une courbe quelconque est fournie parla môme intégrale que la rectification de la courbe réelle.
a 15° De même la quadrature de la seconde enveloppe des supplémentaires d'une surface quelconque est fournie par la même intégrale double que la quadrature de la surface réelle.
u 16° Une courbe quelconque, l'une quelconque de ses supplémentaires, l'une quelconque des supplémentaires de celle-ci, et ainsi indéfiniment, présentent de deux en deux, des anneaux fermés en même nombre et enveloppant respectivement des aires égales,
« 17° Les quadratrices de deux courbes consécutives de la série précédente présentent les mômes périodes, au facteur \J — 1 près (l).
« 18° Enfin, la méthode des supplémentaires m'avait permis d'étudier les permutations qui peuvent se produire, dans un parcours fini, entre les valeui»s d'une fonction implicite et d'assigner sans ambiguïté, pour des exemples assez nombreux, dont l'un se rapporte à l'équation du folium de Descartes, qui présente quatre points critiques, la condition de convergence du développement suivant la série de Taylor de la fonction étudiée.
a Ces théories ont été présentées à mesure à l'Académie; elles ont été publiées de 1858 à 1862 dans le journal de M. Liouville, où elles occupent près de quatre cents pages.
(' Méritaient-elles une mention dans un Rapp.ort sur les progrès de la ^eomeïne et pouvaient-elles faire quelque honneur à la France ?
« Je prie monsieur le Président de m'accorder le moyen de soumettre cette question au jugement impartial de l'Académie, en autorisant l'insertion de cette note au Compte rendu. »
(!j Voir la note de la page ;23I.
Mais l'Académie était restée étrangère à la nomination des rapporteurs et les rapports eux-mêmes ne lui avaient pas été officiellement communiqués.
En sorte que M. Dumas dut me demander la suppression de tout ce qui pouvait se rapporter à M. Chasles.
Ma note n'eût plus alors contenu qu'un éloge de moi-même, et je la retirai.
Durant ces incidents M. Puiseux était revenu de vacances, mais je ne pus pas le voir de suite parce qu'il tomba presque aussitôt malade d'une petite attaque de pleurésie, qui l'obligea quelque temps à des précautions convenables.
Lorsqu'il fut remis, nous eûmes plusieurs entrevues pendant lesquelles je pus lui expliquer, outre mes deux Mémoires sur la série de Taylor, dont le second avait paru dans les Comptes rendus pendant son absence, mon ancienne théorie des intégrales simples qui l'impressionna beaucoup, celle des intégrales doubles, dont il ne voyait pas l'utilité, parce que, disait-il, il ne leur correspondait pas de fonctions inverses; enfin les principes de ma nouvelle théorie des intégrales simples, doubles ou d'ordre quelconque.
Il me laissait toujours avancer et me demandait même chaque fois du nouveau.
Mais quelque intérêt que je prisse à cette exposition, qu'il paraissait goûter, ce qui en doublait pour moi le charme, néanmoins je tenais à arriver pourma série de Taylor à une solution d'autant plus urgente que le Mémoire, déjà imprimé, allait paraître dans le journal de M. Liouville, circonstance qui eût pu me faire perdre mes droits à un rapport.
Je rappelai à M. Puiseux le but sinon unique du moins prochain de nos entrevues et le priai, s'il avait quelque doute à me proposer relativement à ma théorie de la série de Taylor, de vouloir bien y réfléchir pour m'en faire part, ou, dans le cas contraire, de trancher la question par un rapport dont la présentation, en nous débarrassant d'une préoccupation, nous donnerait plus de liberté d'esprit pour l'examen des autres questions.
M. Puiseux consentit volontiers à ce que nous ne nous occupassions plus que de la série de Taylor, jusqu'à conclusion. Il me demanda seulement de traiter devant lui quelques exemples, se réservant de voir ensuite s'il pourrait lui-même en sortir par d'autres moyens que moi.
Nous traitâmes ainsi ensemble, en plusieurs séances, la question de
la convergence du développement de l'ordonnée du folium de Descartes
y' 4- ic" — 2axy = 0
et celle du développement de la fonction y définie par l'équation
y^ — ary -\- a^x = 0, - •
qui se rapporte à la triseclion de l'angle.
Comme je savais que MM. Briot et Bouquet avaient résolu les mêmes questions, mais seulement par rapporta un point origine choisi et unique, je fis remarquer à M. Puiseux que les solutions que je lui donnais se rapportaient à tous les systèmes de valeurs initiales de x et de y, satisfaisant bien entendu à l'équation en discussion.
M. Puiseux commençait à devenir très-fort sur la théorie des conjuguées et nos entrevues étaient de plus en plus cordiales.
Un cheveu vint rompre cette harmonie.
Je ne sais comment se fait le service du secrétariat de l'Institut, mais M. Puiseux n'avait pas encore reçu le texte de mon Mémoire sur la série de Taylor. Il désirait lire ce Mémoire. Comme il était composé pour le journal de M. Liouville et que j'en avais les épreuves, je lui proposai de les lui porter, sans m'arrêtera l'idée qu'il pût se choquer de renonciation des vérités historiques contenues dans le préambule et, en tout cas, en prenant mon parti, s'il avait cette faiblesse.
La connaissance de ce préambule étant nécessaire pour l'intelligence de ce qui va suivre, je dois le reproduire. Le voici :
« J'ai établi, dans un Mémoire qui a paru en 1861 dans le Journal de ■mathématiques pures et appliquées, que les points où peut être limitée la région de convergence delà série suivant laquelle se développe, d'après la formule de Taylor, une fonction y, explicite ou implicite, sont exclusivement ceux où la fonction ou ses dérivées, àpartir d'un certain ordre, deviennent infinies, à l'exclusion, par conséquent, des points multiples qui ne remplissent pas cette condition. J'ai établi en même temps l'inexactitude de la règle donnée par Cauchy et adoptée depuis, explicitement ou implicitement, par tous Jes géomètres qui ont écrit sur k matière, M. Lamarle, M. Bonnet, M. Tchebychef, M. Puiseux, MM. Briot et Bouquet, d'après laquelle le cercle de convergence passerait par le point critique le plus voisin du point origine. L'erreur que j'ai relevée alors tient à une confusion qui avait été maintenue jusque-là : il ne suffit pas, pour que la convergence de la série de Taylor soit limitée à une certaine valeur de x, que cette valeur soit critique, ou plutôt qu'il y corresponde une valeur critique de y : il faut surtout que y, variant
d'une manière continue avec a:, à partir de sa valeur initiale, arrive à sa valeur critique en môme temps que x, sans que x ait dépassé la limite en question.
« C'est de ce principe que naît la question qui sera résolue dans ce Mémoire.
« Cette question paraissait inabordable, et elle n'a été en effet abordée par personne, malgré l'intérêt qu'elle présente et quoiqu'elle se trouve posée depuis bien longtemps. •
<i La simplicité de la solution que j'en donne s'explique par deux motifs : le premier, que la considération des conjuguées fournit une méthode simple de classification des solutions imaginaires d'une équation à deux variables, et que j'ai depuis longtemps donné des moyens simples et pratiques pour construire ces conjuguées, d'abord comme lieux des intersections idéales de droites réelles, parallèles entre elles, avec le lieu, ensuite au moyen de leurs tangentes, de leurs asymptotes et, au besoin, de leurs courbures; le second, que j'ai antérieurement {Journal de mathématiques, 1861) résolu directement le problème de déterminerai marche continue du point [x,?/], tandisquex= a -)- ^y — 1 suivrait un chemin continu ^ (a, p) = 0.
« La construction préalable des conjuguées avait, dans la question qui va nous occuper, une importance comparable à celle qu'aurait la description topographique d'un pays où l'on voudrait établir une route ; il y avait eu, au reste, interversion de rôles entre les deux questions de la convergence de la série de Taj*lor et de la marche continue du point [x, y}. M. Puiseux avait fait dépendre la seconde de la première, et, au contraire, il serait impossible de savoirs! y est parvenu à sa valeur critique, quand x est arrivé à celle qui la donne, si l'on ne pouvait pas suivre la marche du point [x, y\.
(c Je ramènerai la question de la détermination du point critique où' est véritablement limitée la ré<.'ion de convergence, à celle de la détermination du point d'arrivée d'un point [x, y] se mouvant d'une manière continue, tandis que son abscisse x= a. -\- ^ y/ — 1 varierait suivant une certaine loi, toujours très-simple du reste; mais je ne traiterai pas ici la seconde question, que j'ai résolue il y a dix ans.
« Je nie borne à rappeler que j'ai discuté alors, dans toutes les hypothèses possibles, la marche du pofnt [x, y] à travers les conjuguées des heux
y^ = ^px,
a-y^- ±1 //x^ = zt a-b^,
i/ — '3axy 4- a.'^ = 0,
et y*~|-x* = a*;
que ces discussions n'ont présenté aucune difficulté d'aucune sorte, et qu'elles étaient si bien appropriées à la solution de la question qui va être traitée ici d'une manière générale, que non-seulement j'étais arrivé pour ainsi dire sans méthode à la solution de cette question, relativement aux exemples ci-dessus et aux deux suivants
yr> = (1 -f a;)'« et
mais encore que j'ai pu, dans tous les cas, assigner le caractère distinctif de celle des valeurs de la fonction dont la série donnait le développement.
a Je commencerai par la définition de quelques termes que j'emploie dans un sens nouveau, et de quelques autres que j'ai cru devoir introduire pour simplifier le langage.
(c On a jusqu'ici entendu parpom^ critique le point représentatif d'une valeur de la variable x à laquelle correspondait une valeur infinie ou multiple de la fonction y /j'appelle point critique d'un lieu f{x, y)= 0 le point réel ou imaginaire qui a pour coordonnées la valeur de r à laquelle correspond une valeur critique de y et cette valeur critique de y, c'est-à-dire que, des m points du lieu f{x, y) = 0, de degré m, qui correspondent à une valeur critique de x, j'appelle seulement critique celui dont l'ordonnée est infinie ou dont l'ordonnée a ses dérivées infinies à partir d'un certain ordre ; car ce sont les seuls points multiples d'un lieu qui puissent être considérés comme critiques.
« Je désignerai souvent sous le nom de point origine le point correspondant au système des valeurs de a? et de y à partir desquelles on veut développer y, suivant la série de Taylor.
« Si a^ -f- jâç \l — 1 et a'„ -|" ^0 V — * ^^nt les coordonnées du point origine, et que a-\- b y — 1, a' -}- b' \] — 1 soient celles du point critique où se trouve limitée la convergence de la série de Taylor, l'équation
^-^«+Wo. 1 ^W) 1.2 ^•••
ne peut fournir que les ordonnées des points du lieu f(x, y) == 0, dont les abscisses
satisfont à la condition
mais pour chaque valeur, a -|- (i \/ — 1, àe x, satisfaisant à cette condition, elle ne fournit qu'une seule des m valeurs de y correspondantes.
(c Les points correspondant aux solutions de l'équation
forment plaque sur le tableau. Cette plaque est une partie de la portion du plan recouverte par les points correspondant aux solutions de l'équation
je la désigne sous le nom de i^égion de convergence' relative au point [Xq, yj . C'est le segment du lieu / [x, y) = 0 que représente le segment bien déterminé
de la fonction multiple y.
« La région de convergence est comprise dans l'intérieur d'une courbe qui est le périmètre ou la circonférence de la région de convergence; cette
courbe passe par un point critique [a -\- b y/ — 1, a! -f- b' \j — l],qui en est la limite, et est caractérisée par l'équation
Il pourra m'arriver de désigner le point origine sous le nom de centre de la région de convergence. »
Il me semble qu'il n'y avait rien de violent dans l'affirmation ainsi formulée des droits d'un auteur pertinemment averti de veiller à ses poches.
Comme je venais de porter chez M. Puiseux les épreuves dont il s'agit, je trouvai à la maison la lettre suivante de lui, datée du 12 février, à midi.
« Monsieur, ma matinée de demain se trouve encore prise, à mon grand regret, par une affaire urgente. Vendredi j'aurai mon cours, samedi une autre occupation. Mais si lundi matin vous convenait, vous me trouveriez chez moi de 8 heures à midi.
Votre bien dévoué, V. PUISEUX.
Je me disposais en conséquence à voir M, Puiseux le lundi 17 et à tâcher de terminer ce jour-là, lorsque je reçus le dimanche 16, au soir, la lettre que voici, datée du même jour.
Monsieur, j'ai lu le Mémoire dont vous m'avez envoyé les épreuves; je ne crois pas, après réflexion, pouvoir en faire l'objet d'un rapport à l'Académie. D'abord, le reproche que vous adressez à divers géomètres de n'avoir pas su quelle était la vraie limite de la convergence du développement en série d'une fonction implicite, me paraît peu fondé : il est possible qu'on trouve dans leurs écrits des passages où la distinction sur laquelle vous insistez n'est pas faite assez nettement ; mais c'est qu'elle n'était pas nécessaire dans les questions qu'ils traitaient. La pensée que vous leur prêtez a des conséquences si visiblement absurdes qu'elle n'a pu entrer dans leur esprit. Ainsi en multipliant l'équation f{x, y)=0 par un facteur convenable ç {x, y), on pourrait introduire de nouveaux* points critiques plus rapprochés du point origine que les points critiques primitifs (je parle ici le langage de Gauchy) (1) : comme rien dans cette théorie ne suppose l'équation f {x, y)=0 irréductible (2), il suivrait de l'opinion attribuée par vous à ceux que vous combattez, que l'on pourrait changer les limites de la convergence du développement de y par l'introduction d'un facteur arbitraire dans l'équation qui détermine cette fonction. Cette conséquence est évidemment contraire au bon sens.
Quant à la marche que vous proposez pour suivre les valeurs de y et les distinguer les unes des autres, pendant que x varie d'une manière continue, je vous avoue que plus je l'examine et moins elle me paraît constituer une méthode précise, comme on doit en désirer dans les questions d'Analyse. J'ignore s'il est possible de trouver une solution générale et pratique de la question ; mais dans les quelques exemples que je me suis proposés, il m'a paru que des considérations bien plus faciles que les vôtres conduisaient plus naturellement au but. Ainsi dans le cas de l'équation y^ — dy -{-^x = 0, au gujetde laquelle vous m'avez écrit récemment, j'obtiens très-aisément le résultat que voici :
La variable x = a -\-bi étant représentée, suivant l'usage de Gauchy, par le point dont les coordonnées sont a et b, nommons A et A' les deux points de l'axe des x pour lesquels x = -\-i et 07 = — 1. Représentons d'ailleurs par p -f- qi l'une des valeurs de y qui répondent à la valeur a -f- bi de x : le cercle de convergence pour le développement suivant les puissances de x — a — bi de celle des valeurs de y dont/? + Çi est
(1) J'avais fait cette remarque en 1861.
(2) Au contraire, l'iiypothèse avait été expressément mentionné par M. Pniseux, qui semble avoir prévu l'objection Ôès 18ô(>.
la valeur initiale, passera par le point A ou par le point A', selon que l'indique le tableau suivant :
iP>0 g>0 A
a>0, 6>0 jt>>0 q<0 A
lp>0 q<0 A
lp<0 q>0 A'
Il ne peut y avoir d'autres cas que ceux-là ; par exemple, quand a el b sont positifs, on ne peut avoir à la fois p <0, ^>* 0 (1).
Voilà des règles nettes, comme j'en voudrais avoir pour les diverses équations qu'on peut étudier à ce point de vue : je ne vois pas qu'elles soient fournies par la considération de vos conjuguées, courbes dont la forme n'est pas connue en général d'une manière précise et dont on peut craindre, ce me semble, qu'elles n'offrent des singularités qui mettent vos conclusions en défaut (2).
Pardonnez-moi, Monsieur, de m'ètre exprimé avec cette franchise; mais je ne sais dire que ce que je pense. Ma manière de voir n'est d'ailleurs qu'une opinion individuelle dont vous pourrez appeler à des juges plus éclairés. Permettez-moi d'ajouter que le jour où vos méthodes auront acquis ce caractère de netteté qui me parait leur manquer actuellement, vous me trouverez toujours prêt à rendre justice à vos persévérantes recherches.
Dans la disposition oti vous me voyez, peut-être ne jugerez-vous pas bien utile de venir me trouver demain matin; je n'ai déjà que trop abusé de votre temps et de votre complaisance. Ce sera d'ailleurs absolument comme il vous conviendra.
Je vous prie d'agréer. Monsieur, l'assurance de mes meilleurs sentiments. V. PUISEUX.
P. -S. Je remettrai demain au secrétariat de l'Institut les différents
(1) La solution que j'avais donnée en 18GI,pour cet exemple, et qui se trouve dans le second volume, n'était pas plus compliquée que celle de M. Pui«:eux et était tout aussi nette, mais elle avait de plus l'avantage de faire connaître la valeur finale de x pour chaque valeur de y.
(2) Ce discours m'avait déjà été tenu par M. Bouquet.
Mémoires qui m'ont été envoyés. Quant aux épreuves que vous m'avez adressées, je les ferai remettre chez vous ces jours-ci (1).
J'étais précisément allé porter à M. Puiseux mon acceptation de son rendez-vous, lorsque cette lettre parvint à la maison. J'en trouvai, en rentrant, ma femme et mon fils aîné consternés. Je la parcourus rapidement, et apercevant aussitôt d'abord d'où le coup partait, ensuite quelles armes m'étaient fournies, je dis : Allons dîner et gaiement.
Il était évident que le préambule de mon Mémoire avait causé tout le dommage. Mais sans avoir jeté exprès ce préambule à la tête de M. Puiseux, je n'étais pas fâché qu'il lui fût tombé sous les yeux, parce que la question étant posée, elle ne pourrait pas être éludée.
Il était évident, en outre, que M. Puiseux étant allé consulter M. Bouquet, en avait retiré d'abord l'avis de ne pas faire de rapport, et en second lieu la solution du problème de la convergence de la fonction y déflnie par l'équation
et probablement une méthode pour traiter les autres équations.
Mais outre que ma solution valait mieux que celle de M. Bouquet, elle avait douze ans d'antériorité.
Quant au reproche que j'avais, à ce qu'il paraît, adressé à divers géomètres, les textes de leurs ouvrages m'étaient connus, et s'ils étaient contraires au sens commun, ce que je savais bien, je n'y étais pour rien.
Enfin M. Puiseux, dans son Mémoire, frappé sans doute de l'absurdité que présenteraient ses conclusions, au moment où le lieu en discussion, variant d'une manière continue, deviendrait momentanément réductible, avait précisément et expressément exclu l'hypothèse où le premier membre de l'équation proposée serait décomposable en facteurs, restriction du reste maladroite, car un théorème général doit s'appliquer aux cas particuliers.
Outre ces maladresses, la lettre de M. Puiseux contenait un aveu : il avait lu mon Mémoire, nous avions discuté ensemble quelques exemples où la question se trouvait traitée pour la première fois, tandis que loin d'avoir été entamée par mes adversaires elle avait été considérée par eux comme n'existant pas; enfin M. Puiseux ne faisait aucune objection à l'énoncé de la règle générale que j'avais donnée.
Il apparaîtrait donc clairement que le motif qu'il pouvait avoir de se refuser à faire un rapport consistait uniquement, comme au reste sa lettre l'indiquait suffisamment, en ce que lui et ses amis se trouvant un peu meurtris, il était préférable pour eux que la question fût enterrée.
Toutes ces considérations m'assuraient que M. Puiseux ne sortirait pas vainqueur de la lutte qu'il entreprenait, s'il songeait à y persister.
(I) Ce futur indique qu'elles devaient être chez M. Bouquet.
Avant la fin du dîner j'avais pris mon parti et je dis à ma femme et à mon fils : Je porterai demain matin à M. Puiseuxson rapport tout fait, et s'il ne l'accepte pas, comme sa lettre en est un, je la publierai avec les explications appropriées.
Je réfléchis dans la soirée à mon projet de rapport et je l'écrivis le lendemain matin.
J'acceptais l'excuse présentée par M. Puiseux, pour lui et ses amis, fondée sur ce que leurs recherches ne les avaient pas obligés à traiter la question que j'avais résolue.
Je rappelais que j'avais le premier exclu du nombre des points critiques les points multiples oii les dérivées de la fonction finissent par se séparer sans devenir infinies ; que j'avais le premier posé la question du point d'arrêt parmi les points critiques et que j'avais résolu cette question en 1861 sur divers exemples, dont un, entre autres, celui que fournit l'équation du folium, comporte quatre points critiques, dont deux réels et deux imaginaires.
J'ajoutais que la règle générale que j'avais donnée dans le Compte rendu pour la détermination du point d'arrêt était exacte ; qu'à la vérité la mise en pratique de cette règle pourrait donner lieu à des difficultés, mais, que si l'Académie pouvaitfdésirer une solution plus simple de la question, elle n'en devait pas moins approuver mon Mémoire.
M. Puiseux me reçut avec l'air contraint d'un homme quia à faire des compliments de condoléance; moi je Tabordai avec l'air ouvert d'un homme qui sent qu'il n'en aura pas besoin, et prenant le premier la parole, je dis à M. Puiseux :
« Loin de m'être désagréable; votre lettre m'a fait plaisir, ainsi je ne viens pas m'en plaindre.
« Elle m'a fait plaisir parce que si vous persistiez à ne pas vouloir faire un rapport, elle en constitue un.
« Mais je dois vous dire tout d'abord que je n'accepterais pas votre silence. Vous n'avez pas fait attention qu'il ne s'agit pas seulement ici de mes intérêts et de vos convenances, mais des intérêts du public et de la science.
« Quand un bonhomme quelconque vous adressera, en un ou deux gros cahiers, une discussion d'une courbe ou d'une surface du troisième ou du quatrième degré, vous ne la lirez pas, et vous ferez bien, mais ici il s'agit d'une question de théorie qui préoccupe le monde savant, et vous ne pourriez vous refuser à donner votre avis sur la solution proposée qu'en prétextant d'ignorance ou d'incornpétence, prétextes qui seraient vains ici, puisque votre lettre prouve que vous connaissez la solution et que vous n'avez pas d'objections à y faire.
«Je demande donc un rapport. i^Iais, du reste, je ne demande que la constatation sans phrases de l'exactitude de ma solution et je passerai sur toutes les réserves que vous croirez devoir faire.
« Pour que ma pensée à cet égard soit plus nette, j'ai écrit un projet de rapport tel que je l'accepterais, mais qui contient tout ce que je puis concédei, et je le lui lus (1). »
M. Puiseux le reçut de mes mains, le parcourut de nouveau et, sans me répondre directement, revint sur le reproche que j'avais adressé, notamment à lui et à MM. Briot et Bouquet.
Je lui relus la phrase du préambule de mon Mémoire qui l'avait choqué et lui fis remarquer qu'en ne désignant aucun des géomètres dont je citais les noms, comme ayant explicitement affirmé que le cercle de convergence se trouverait Hmité au point critique le plus proche du point origine, je m'étais certainement exprimé avec la plus grande circonspection, etque au moment detraiterla question de la détermination du point d'arrêt, je n'avais assurément pas outre-passé mes droits en faisant remarquer que l'existence de celte question n'avait pas encore été soupçonnée.
J'ajoutai que d'ailleurs chacun des géomètres que j'avais nommes pourrait à son gré se ranger parmi ceux qui avaient admis implicitement ou explicitement la proposition fausse dont j'avais dû d'abord débarrasser le terrain de la discussion du point d'arrêt, mais que, quant à moi, je ne m'étais pas chargé de dresser les deux catégories!
M. Puiseux, en ce qui le concernait, n'aurait pas mieux demandé que de renoncer à la discussion, de retirer les expressions désobligeantes de sa lettre et de me promettre de faire son rapport. Mais il avait pris des engagements. Il me dit : « J'ai consulté une personne très-compétente, que je puis bien vous nommer, c'est M. Bouquet, eh bien, M. Bouquet m'a dit qu'il n'avait jamais entendu le théorème de Cauchy autrement que vous, que Cauchy ne l'entendait pas comme vous le supposez et que moi-même je n'avais rien dit dans mon Mémoire qui autorisât votre manière d'interpréter l'énoncé en question. »
Ah! dis-je, la question est bien facile à éclaircir. Je n'ai pas lu les Mémoires de Cauchy et je n'en avais pas besoin, puisque j'avais le vôtre qu'il a approuvé. Mais voici ce que vous dites, et je lui citai de mémoire le texte que je lui avais déjà remis sous les yeux dans ma première lettre.
(' Si j'ai dit cela, me répondit-il, il faudra bien que je me range parmi ceux qui ont explicitement commis la faute.» — Nous étions debout près de sa bibliothèque, j'y pris le tome XV du Journal de mathématiques
'\) Je regrette do n'avoir pas pris copie de ce projet, mais M. Puiseux ,doit l'avoir»
et, l'ouvrant à la page que je connaissais bien, je lui montrai la phrase que je venais de lui citer.
Puis, prenant aussi dans sa bibliothèque la Théorie des fonctions doublement périodiques, je lui montrai le texte de MM. Briot et Bouquet, pages 26 et 29.
M. Puiseux me dit : « Oui, je conviens qu'il faut qu'on vous rende justice. Quant à moi, je m'exécuterai, quoique je vous certifie que, depuis 1851, j'ai eu plusieurs fois à appliquer le théorème deCauchy et que je ne l'ai pas fait dans l'hypothèse étroite que, je suis bien obligé d'en convenir, j'admettais en écrivant mon Mémoire, Mais je voudrais bien exempter MM. Briot et Bouquet du même reproche. »
A cet égard, dis-je, je vous laisse toute latitude, pourvu que les bases de mon projet de rapport restent intactes.
Et nous nous quittâmes, sur sa promesse à peu près formelle d'une solution conforme à mes désirs,
11 est clair pour moi que M. Puiseux ne demandait pas mieux que de me satisfaire, mais il est clair aussi qu'il avait des engagements contraires, auxquels il n'a pas eu le courage de se soustraire.
N'ayant plus revu M. Puiseux depuis l'entrevue que je viens de raconter, j'ignore entièrement quelspurent être les pourparlers qu'il dut avoir avec M. Bouquet. Mais je puis juger des efforts que dut faire M. Bouquet pour obtenir ma condamnation, par le ridicule qu'il se donna de colporter de maison en maison les épreuves de son Uvre pour prouver, ce qui n'était pas en question, qu'il ne s'était pas servi du Mémoire que je venais de publier dans le journal de M. Liouville, pour résoudre la question de la convergence de la série deTaylor. Il supposait qu'on ne ferait pas attention qu'il avait eu dix ans devant lui pour se servir de celui que j'avais publié en 1861 dans le môme journal.
Quoi qu'il en soit, l'issue de la campagne ne répondit pas aux souhaits de mes adversaires.
MM. Puiseux et Bouquet arrêtèrent ensemble les termes d'un rapport tellement aigre que le public n'en eut pas connaissance, parce qu'il fut supprimé dans son œuf, l'un des commissaires ayant refusé sa signature. Voici comment .:
Confiant dans la parole de M, Puiseux, et aprèslui avoir laissé la quiu-
zainepour s'exécuter, j'allai voir M. Bonnet, qui était un des commissaires, pour me mettre à sa disposition, en cas qu'il eût quelque explication à me demander.
M. Bonnet avait déjà en mains le rapport de M. Puiseux et il me le lut.
M. Puiseux débutait par une absurdité contre laquelle je l'avais cependant bien prémuni : il continuait de ranger au nombre des points critiques les points multiples où les dérivées de la fonction se séparent sans devenir infinies.
Il posait ensuite la question du point d'arrêt, après avoir pris soin de dire qu'on ne l'avait pas traitée plus tôt parce qu'on n'avait pas eu besoin de le faire.
Il se défendait, ainsi que MM. Briot et Bouquet, d'avoir cru que le point d'arrêt fût toujours le point critique le plus voisin du point origine ; puis, passant à l'examen de la question en elle-même, il annonçait que les exemples que j'avais traités pouvaient l'être plus simplement par la méthode ordinaire, mais sans même songer à rappeler que j'avais traité la question dix ans avant que personne l'eût envisagée.
Enfin, après avoir proposé à l'Académie de me remercier de mes communications, il terminait par cette phrase :
« Mais nous ne lui proposerons pas (à l'Académie) d'approuver les méthodes de l'auteur, qui ne nous ont pas paru constituer un progrès réel.»
Comme si l'Académie pouvait se donner le ridicule de juger qu'un théorème n'avait pas été découvert conformément aux règles 1
M. Bonnet avait biff'é cette dernière phrase et quelques expressions blessantes dont le rapport était émaillé.
Mais la guerre étant déclarée, j'aimais autant qu'elle le fût franchement et je dis à M. Bonnet : Laisse-le faire. J'aurai la parole après.
M. Bonnet insista, et je me trouvai obligé de céder, par suite d'une imprudence que je commis. Je dis à M. Bonnet : Je me moque pas mal que M. Puiseux critique mes méthodes. Il me suffira de son rapport pour montrer que les siennes ne s'opposent pas à ce qu'il dise des absurdités. — Comment, me dit M. Bonnet, quelles absurdités?
Je lui montrai alors sur l'exemple y =x \j S. -\- x que M. Puiseux rangeait parmi les points critiques des points qui ne l'étaient pas, savoir l'origine, dans l'exemple en question .
Je me mordis aussitôt la langue, mais la bêtise était faite. M, Bonnet me dit : Ah ! mais il ne faut pas que l'Académie approuve desabsurdités. M. Puiseux changera son rapport, et je me charge de l'obliger à le rendre moins aigre.
Je le laissai faire; de là résulta la seconde édition du rapport, édition que je n'ai pas connue avant la lecture en séance publique.
Voici ce second rapport, qui fut présenté à TAcadémie dans sa séance du 10 mars 1873.
Rapport sur deux Mémoires présentés à l'Académie par M. Maximilien Marie, et ayant pour titres, Vun: « Détermination du point critique où est limitée la région de convergence de la série de Taylorn^ Vautre : « Construction du périmètre de la région de convergence de la série de Taylor )) .
(Commissaires : MM. Bertrand, Bonnet, et Puiseox, rapporteur.)
Lorsqu'une fonction y d'une variable imaginaire x doit satisfaire à une équation algébrique
elle a généralement plusieurs valeurs pour chaque valeur de x. Concevons que X varie d'une manière continue à partir d'une certaine valeur initiale a; choisissons pour la valeur initiale b ÙQy une racine de l'équation
que nous supposerons n'être ni multiple ni infinie, et enfin assujettissons y à varier d'une manière continue avec x. Alors y ne cessera pas d'être une fonction finie et déterminée de, a?, si toutefois on évite de faire prendre à cette variable certaines valeurs critiques dont la définition n'a pas toujours été donnée avec une précision suffisante.
On peut, en multipliant l'inconnue y par une fonction entière de .r, faire en sorte que la nouvelle inconnue ne devienne plus infinie pour aucune valeur finie de x. Cette supposition admise, on a souvent dit que les valeurs critiques de x sont celles pour lesquelles la fonction y devient une racine multiple de l'équation proposée.
Cette définition est exacte en général ; en effet, pour une telle valeur c de iC et pour la valeur correspondante de ?/, on a
dy mais généralement on n'aura pas en même temps
dx
Alors la racijie considérée fera partie d'un groupe de fonctions qui échangent circulairement leurs valeurs lorsque le point M, correspon-
tielles ^, ^ n'étaient nulles ni l'une ni l'autre, non plu» que l'ex-
dant à la variable x (1) , décrit un cercle infiniment petit autour du point C correspondant à c. Lors donc que le point mobile M suivra un chemin passant par le point G, la valeur de y cessera au delà de ce point d'être complètement déterminée; car si l'on déforme un peu le chemin sans en changer les extrémités, la valeur finale de y sera différente, selon que le point M aura passé d'un côté ou de l'autre du point C.
Mais si au point C on avait à la fois
dx ' dy '
il pourrait arriver que la fonction y ne s'échangeât avec aucune autre autour de ce point, et restât par conséquent déterminée, lorsqu'on le franchirait ; c'est ce qui aurait lieu, par exemple, si les dérivées pard^f d^
df pression
dx^ dy^ \dxdy) '
Dans ce cas, la valeur c de a? ne serait pas véritablement critique.
Pour éviter les exceptions que comporte la définition précédente, M. Marie appelle valeurs critiques de x les valeurs qui rendent infinie y ou l'une de ses dérivées. Cette définition nous semble préférable à l'autre, surtout quand on se propose d'étudier les conditions de possibilité du développement de la fonction y par la série de Taylor.
M. Marie s'est occupé spécialement de ce dernier problème, que l'on peut poser comme il suit : Étant données la valeur initiale a de a; et la valeur correspondante b de y, trouver dans quelles limites la fonction y peut être développée en une série convergente ordonnée suivant les puissances entières et positives ùq x — a.
On sait par les travaux de Gauchy qu'un tel développement subsiste tant que le point mobile M, correspondant à x, reste dans l'intérieur d'un cercle, qui a pour centre le point A correspondant à a et qui ne renferme aucun point critique, c'est-à-dire aucun point correspondant à une valeur critique de x.
Mais il convient de faire ici une distinction sur laquelle M. Marie insiste dans son premier Mémoire. Le point M, décrivant un chemin continu à partir de la position initiale A, peut arriver dans une position C
(I) Nous entendons par là, suivant l'usage, le point qui • a pour coordonnées rectangulaires la partie réelle et le coefficient de y/ — i dans la valeur de x.
qui soit critique pour quelques-unes des valeurs de y, que détermine l'équation
et qui ne le soit pas pour les autres. Dans ce cas, la circonférence décrite du point A comme centre avec AC pour rayon ne limitera la convergence de la série que si le point G est critique pour la racine particulière y que l'on considère. 11 ne serait donc pas exact de dire d'une manière générale que la convergence est limitée par la circonférence dont le rayon est la distance du point A au plus voisin de tous les points critiques répondant aux diverses racines de l'équation
Cette distinction n'a sans doute pas échappé à la plupart des géomètres qui se sont occupés de ces questions ; cependant elle n'a pas toujours été formulée assez nettement, et le rapporteur pourrait citer un passage de ses propres écrits d'oii il semblerait résulter que la circonférence de moindre rayon donne toujours la limite de 1^ convergence. Il est vrai que cette interprétation se trouve démentie par un ajitre passage du même Mémoire ; mais enfin on doit reconnaître que, si l'erreur n'a pas existé dans l'esprit de l'auteur, son langage n'a pas été suffisamment correct. Quoi qu'il en soit,' M. Marie a eu raison d'insister sur la nécessité de faire cesser la confusion qui pourrait rester à cet égard dans quelques esprits (1).
Cette remarque faite, M. Marie s'est proposé de traiter la question suivante ;
Une équation
étant donnée, et une fonction particulière y étant choisie parmi celles
que détermine l'équation, assigner le rayon du cercle de convergence
correspondant à une valeur initiale donnée de x. On voit aisément que ce problème se ramène à celui-ci : Étant donnés deux points A et B correspondant à des valeurs « et i
de X, étant donnée de plus, parmi les racines de l'équation
(1) Dans le préambule de son travail, M. Marie signale plusieurs auteurs comme n'ayant pas connu la vraie limite de la région de convergence ; à notre avis, on peut tout au plus leur reprocher des inexactitudes de rédaction qui s'expliquent par cetto circonstance, que la limitation précise de la convergence était inutile aux recherches de ces géomètres. Quant a MM. Briot et Bouquet, que M. Marie comprend dans ses critiques, nous n'avons aperçu dans leurs Ouvrages aucun passage qui y donnât prise.
celle qu'on regarde comme la valeur initiale de y, assigner, parmi les racines de l'équation
celle qui est la valeur finale de y, en supposant connu le chemin par lequel le point mobile correspondant à la variable x est allé de A en B. La solution générale de ce problème dépasse sans doute les forces actuelles de l'Analyse, et les procédés qu'on peut imaginer pour le traiter ne sont pratiquement applicables qu'à des équations d'une simplicité exceptionnelle. La méthode que M. Marie propose de suivre, et qu'il a effectivement appliquée à plusieurs exemples, repose sur un mode de représentation des imaginaires qui lui est propre et qui consiste à considérer les valeurs
a; = a -{- ^2, y = a -|- [âV, satisfaisant à l'équation
comme répondant à un point réel, ayant * -f ^ pour abscisse et a -f- ^' pour ordonnée. Il arrive ainsi à représenter la marche des solutions imaginaires d'une équation
à l'aide d'une suite de courbes réelles auxquelles il donne le nom de conjuguées. Il fait connaître diverses propriétés de ces lignes, et c'est par une discussion fondée sur leur forme et leur situation qu'il cherche à établir la correspondance entre les valeurs initiale et finale de la fonction.
Vos Commissaires n'ont vu là ni une solution complète du problème, ni un moyen de l'aborder plus facilement : quelques-uns des exemples particuliers auxquels l'auteur applique sa méthode ont été traités par l'un de nous à l'aide du mode de représentation ordinaire de la valeur X, et il nous a semblé qu'on arrivait ainsi plus simplement et plus naturellement au but.
Pour justifier notre manière de voir, il faudrait entrer dans des développements qui donneraient à ce Rapport une étendue exagérée. Nous nous bornerons donc à proposera l'Académie de remercier M. Marie de ses Communications, dans lesquelles il insiste avec raison sur des distinctions qui n'avaient pas été faites avec assez de précision, tout en déclarant que les méthodes de l'auteur ne nous paraissent pas avoir une supériorité réelle sur celles dont les géomètres ont jusqu'ici fait usage.
L'audition de ce Rapport ne me causa pas d'abord d'impression désagréable. J'étais prêt à m'en déclarer satisfait et j'allai même dans le premier moment jusqu'à prier M. Bonnet de remercier de ma part M, Puiseux, mais je me repris à temps.
N'ayant pas en effet parfaitement entendu les dernières phrases, je réfléchis qu'avant de m'engager je ferais bien de lire le texte avec attention.
Cette lecture, sans m'irriter gravement, changea néanmoins mes impressions. La première partie me satisfaisait, surtout au point de vue du résultat acquis pour la science, mais j'y remarquai, ce que je n'avais pu faire à l'audition, la manière au moins étrange dont M. Puiseux se servait de ses propres écrits pour établir le fait que j'avais eu tant de peine à lui faire entrer dans la tête.
Si un pareil procédé était admis, on se tirerait toujours aisément d'affaire, quelques choses qu'on eût antérieurement publiées ; car il y aurait toujours bien au moins un mot, une syllabe ou une lettre de l'ancien texte qui pût trouver place dans le texte rectifié et servir, par sa présence, à attester A. M. D. G. que ce texte ancien était irréprochable dès l'origine.
J'avais accepté d'avance l'entorse qui devait être donnée aux textes exprimant l'opinion de mes adversaires relativement à l'identité du point' d'arrêt et du point critique le plus proche du point origine ; mais je ne l'avais acceptée que motivée sur ce que la question du point d'arrêt avait pu être laissée de côté par eux, en raison de la nature de leurs recherches.
Toutefois j'aurais aisément passé sur ce détail. •
Mais mon ultimatum était entièrement méconnu dans la dernière partie du Rapport. Non-seulement le Rapport n'indiquait pas qu'après avoir posé la question du point d'arrêt, je l'avais d'abord résolue dix ans auparavant, sur des exemples déjà^compliqués, avantd'en donner la solution générale, plus ou moins facile à mettre en œuvre, que mon Mémoire avait eu pour but de démontrer, mais il donnait à entendre que cette même question du point d'arrêt, simplement réservée d'abord, dans l'école de Gauchy, mais traitée ensuite, depuis plus ou moins longtemps, était déjà résolue, par des procédés plus simples que les miens, à l'aide de la représentation ordinaire de la variable x.
J'avais au reste fortement insisté, près de M. Bonnet, pour que la méthode innommée de M. Bouquet, pour traiter la question du point d'arrêt, ne fût pas admise, avant sa déclaration à l'état civil, avant sa naissance même, à se faufiler aux lieu et place d'une méthode âgée déjà
de douze ans. Je ne pouvais donc pas me Iroiiver bien satisfait du rejet de mes observations.
Toutefois l'artifice était si grossier que j'aurais volontiers laissé au public le soin d'en faire justice.
Ouant aux conclusions du Rapport, bien qu'elles ne visassent que le chnngement proposé par moi dans la définition des points critiques, Ignorant d'ailleurs entièrement les usages de l'Académie, j'en demeurais assez satisfait, à cause des remerciements.
Enfin, j'aime peu la guerre, quoique, quand on m'y oblige, j'en porte aisément le théâtre sur les épaules des autres, ce qui m'est toujours facile, parce que j'ai d'avance eu soin non-seulement de ne me donner aucun tort, mais encore d'offrir à mes adversaires toutes les occasions d'en assumer le plus possible.
J'étais donc tout disposé à reprendre la suite de mes travaux sans plus m'occuper du Rapport de M. Puiseux. Mais je ne fus pas laissé libre de m'abandonner moi-même.
Ce fut d'abord l'abbé Moigno qui vint me mettre la puce à roreille : « Comment, me dit-il, pas même l'approbation de l'Académie 1 des remerciements ! le minimum minimorum l »
Mes amis me dirent : a On vous dépouille, vous ne pouvez vous laisser faire. »
Je me décidai à répondre.
Dès que j'avais eu connaissance de la première édition du Rapport, j'étais allé trouver M. Liouville pour le mettre au fait et il m'avait donné pour M. Gauthier-Villars l'ordre que voici :
(( Recevez et imprimez pour le Journal de mathématiques'le Rapport de M. Puiseux et les réflexions que M. Marie y joindra. »
Avec cet ordre en poche, j'avais pu laisser courir mon adversaire, j'étais bien sûr de le rattraper, s'il était besoin. Et puisqu'il était besoin, il ne me restait qu'à tailler ma plume.
Le texte qu'on va lire n'est pas celui que j'avais donné à l'impression; M. Liouville en effet, ayant pris connaissance des épreuves, me demanda quelques modifications auxquelles je devais en tout cas consentir, sa responsabilité se trouvant engagée avec la mienne, mais auxquelles je me résolus instantanément, sur cette réflexion que ce qui resterait de ma réponse, approuvé par M. Liouville, aurait plus de force que ce que j'avais d'abord écrit, non approuvé par lui.
Voici cette réponse :
