MÉMOIRE SUR LES PÉRIODES DES INTÉGRALES

« Les solutions réelles par rapport h x et imaginaires par rapport à y d'une équation f{x, y) =0 peuvent être figurées par une courbe dont les ordonnées seraient les valeurs de y, abstraction faite du signe \l — 1 . Cette courbe prendra le nom de con/uguée de la courbe réelle.

0 Si l'on faisait subir à la courbe réelle une transformation quelconque de coordonnées, la conjuguée dont il vient d'être question se retrouverait aisément, car, dans les coordonnées nouvelles d'un quelconque de ses points, devenues toutes deux imaginaires, le rapport des parties imaginaires de y et de a; serait constant et connu à l'avance ; cette condition suffit. On les construira, du reste, en y faisant encore abstraction du signe y — 1, et la solution transformée fournira le même point que la solution ancienne. Réciproquement, les solutions d'une équation f{x^ y) = 0, où le rapport des parties imaginaires de l'ordonnée et de l'abscisse serait constant, pourront devenir en même temps réelles par rapport à x, si l'on fiirige convenablement l'axe des y. A chaque valeur du rapport il correspond donc une courbe, conjuguée de la courbe réelle au même titre que la première; ce rapport sera son coefficient caractéristique .

« Le lieu fourni parles solutions de même coefficient caractéristique, de l'équation y = \m -\- n \l-^ l) x -{- p -\- q sj — 1 est une droite.

f'x- « La droite y — y' := — -p- {x — a?), qui passe au point imaginaire t y' [x, y'], est tangente à la conjuguée de la courbe f{x, y) = 0, qui passe en ce point.

« Le faisceau de droites représentées par l'équation d'une asymptote imaginaire de la courbe réelle, renferme une asymptote de chacune de ses conjuguées.

La courbe réelle est l'enveloppe de toutes ses conjuguées ; elles en

dy peuvent avoir une autre, imaginaire, que fournit l'équation -7-, = réel.

« L'aire delà conjuguée à abscisses réelles est représentée par la même intégrale que l'aire de la courbe réelle. Si celte intégrale, prise

entré les limites assignées, est A -f- B v' — ^, A est l'aire du diamètre conjugué des cordes -parallèles à l'axe des y, B Taire de la conjuguée au-dessus ou au-dessous de son diamètre.

— CG — « L'aire d'une conjuguée quelconque serait représentée par l'intégrale I y'dx\ y' étant l'ordonnée de la courbe rapportée à de nouveaux

axes X et y, dont le second fût dirigé de manière que les abscisses de la conjuguée considérée devinssent réelles; mais l'identité

sin Y'X y^ ydx' =J ' ydx + (^' - Mi^ sin Y'Y,

étendue au cas où les limites et les valeurs intermédiaires de x et de y seraient imaginaires, donne le moyen d'éviter la transformation de coordonnées.

«La partie algébrique qui forme la différence des deux intégrales disparaît lorsque, la conjuguée étant fermée, l'intégrale s'étend à son contour entier; cette intégrale représente alors l'aire intérieure. 11 en résulte que si la conjuguée est fermée, son aire intérieure est une période de l'intégrale ; du reste, toutes les conjuguées fermées, comprises entre les mêmes branches de la courbe réelle, ont même aire. En effet, soient AMB, A'M'B' deux demi-coujuguées voisines qui touchent la courbe réelle aux points A et B, A' etB'; l'intégrale prise en suivant le contour AMB ou A A'iM'B'B aura la même valeur : or la partie imaginaire de cette intégrale représentera, dans l'un des cas, l'aire comprise entre AMB et son diamètre AB, dans l'autre cas, l'aire comprise entre A'M'B' et son diamètre A'B'.

« L'intégrale prise entre deux limites imaginaires correspondant aux points B et B' représente, à la différence près de la partie algébrique, l'aire de la conjuguée àlaquelle appartient le point B, limitée à ce point et au point G où elle touche la courbe réelle, plus l'aire de la courbe réelle limitée au point C et au point C où elle touche la conjuguée à laquelle appartient le point B', plus l'aire de cette dernière conjuguée limitée aux points G' et B'.

(( L'intégrale a autant de périodes réelles que la courbe a d'anneaux fermés ou de branches ayant une aire fermée, et autant de périodes imaginaires qu'il y a de catégories de conjuguées fermées.

i< La période réelle s'engendre par le mouvement du point de contact de l'anneau réel fermé avec la conjuguée à laquelle appartient le point mobile; autant de tours ce point fait sur l'anneau réel, autant il faut compter de périodes accomplies.

« La demi-période imaginaire est complète lorsque le point mobile parti de l'une des branches de la courbe réelle arrive par des valeurs imaginaires à l'autre branche ; autant de fois le chemin qu'il parcourt touche l'une et l'autre branche, alternativement, sans rebroussement, autant il faut compter de demi-périodes.

(t Si <?(a,p, a', P')= 0 est la condition arbitraire choisie pour définir ce chemin, les points où il touche la courbe réelle sont ceux où la courbe <j> {x, 0, y, 0) =01a rencontre; ces points trouvés, il reste seulement à voir si le point mobile passe alors d'une moitié à l'autre de la conjuguée sur laquelle il se trouve, du dessus au dessous du diamètre.

a Les solutions réelles par rapport hx et y, imaginaires par rapport à z d'une équation à trois variables f{x, ij, z) = 0, fournissent une surface conjuguée de la proposée, toutes les autres s'obtiennent en établissant des rapports constants entre les parties imaginaires de z et de x, de z et de y, leurs points se construisent en faisant simplement abstraction du signe sj — 1 dans les valeurs de x, y, z.

<t Les conjuguées d'une surface réelle la touchent chacune suivant la courbe de contact d'un cylindre parallèle à la direction qu'il faudrait donner à l'axe des z pour rendre réelles les abscisses et les ordonnées de chacune d'elles.

{( Les résultats auxquels je suis parvenu dans l'étude des intégrales doubles sont tout aussi complets que ceux que je viens d'énoncer relativement aux intégrales simples ; mais je me bornerai ici à démontrer que toutes les conjuguées fermées, comprises entre les mêmes nappes de la surface réelle, ont même volume intérieur. Ce volume commun sera une période inlaginaire de l'intégrale double.

« Toutes les conjuguées qui ont leurs ordonnées ij réelles en même temps, sont celles qui ont avec la surface réelle une surface diamétrale commune, conjuguée de cordes parallèles au plan des xz ; si l'on change la direction de l'axe des z, elles entrent toutes successivement dans cette catégorie où se trouve toujours la conjuguée dont les abscisses et les ordonnées étaient primitivement réelles ; il suffira donc d'établir le fait en question pour les conjuguées dont les ordonnées sont réelles, ou de comparer l'une d'elles à celle dont les abscisses et les ordonnées sont à la fois réelles.

«Or l'aire de la section faite dans l'une quelconque de ces conjuguées par un plan parallèle au plan des xz, est la période imaginaire A de l'intégrale / zdx, calculée en supposant y constant ; le segment compris

entre deux plans parallèles au plan des xz est / kdy, qui a la môme

valeur, quelle que soit la conjuguée dont il s'agisse.

« Si donc toutes ces conjuguées ont les mêmes limites parallèlement aux xz, tout sera démontré; or cela est évident, toutes ces conjuguées touchent en efiet la surface réelle aux points où elle a son plan langent parallèle aux xz.n

Le lundi suivant, 7 mars 1853, M. Cauchy eut l'obligeance, comme il s'y était engagé, de présenter mon mémoire à l'Académie et de remettre au président mon extrait pour le compte-rendu. Le président chargea MM. Cauchy et Sturm d'examiner mon travail et d'en faire un rapport à l'Académie.

Enfin !

Je traversai ce jour-là le pont des Arts de façon à ne pas inquiéter l'ingénieur sur la durée de son œuvre, s'il était là.

Tout n'était pas fini toutefois. Le jeudi suivant, j'allai à l'imprimerie Bachelier pour corriger l'épreuve, M. Bailleul me dit : a Votre extrait ne paraîtra pas. — Comment I dis-je ; qui a donné cet ordre ? — C'est M. Arago. — Mais pour quel motif? — Je n'en sais rien, je viens de recevoir l'ordre de décomposer, voilà tout ce que je puis vous dire. — Je verrai M. Arago, je vous prie d'attendre de nouveaux ordres. — Ah! mais vous n'avez pas de temps à perdre, nous allons mettre en pages à cinq heures, pour tirer cette nuit. »

11 était trois heures, je dis : « Eh bien, je reviens de suite, je pense que je vous rapporterai l'ordre. » M. Bailleul me répondit en souriant : « Alors tout ira bien. » — On peut penser s'il croyait me revoir.

Je ne fis qu'un saut delà rue du Jardinet à l'Observatoire. Je demandai M. Arago, on m'indiqua son appartement, je sonnai. Un ieune astronome vint m'ouvrir, je le priai de m'introduire près de M. Arago. « 11 est malade, au lit, et ne peut vous recevoir. — J'ai absolument besoin de le voir, pour le compte-rendu. — Veuillez écrire le motif de votre visite, je porterai votre billet à M. Arago. »

J'avais par bonheur un crayon et du papier, j'écrivis, en m'appuyant contre le mur : « M. Marie vient solliciter de M. Arago le retrait de l'ordre qui supprime du compte-rendu l'extrait de son mémoire. »

Le sens et la forme de cette phrase étaient calculés sur ce que je savais de l'esprit et du caractère de l'homme à qui elle allait être présentée. J'attendis avec confiance.

En effet, le jeune astronome revint me dire que M. Arago me priait d'entrer.

M. Arago venait à peine de s'aliter. Sa maladie n'était pas encore connue du public. L'Académie, la France devaient le perdre quelques jours plus tard. Je n'oublierai jamais la scène émouvante que j'eus sous les yeux.

M. Arago occupait une grande chambre dont les murs entièrement nus étaient seulemenl*blanchis. Tout le mobilier se composait de trois ou quatre chaises et d'une couchette dans une alcôve sans rideaux. Deux jeunes gens attentifs et anxieux étaient là, occupés à soigner le vénérable malade.

A mon entrée, M. Arago se souleva brusquement sur un coude et prenant aussitôt la parole, après avoir rejeté de la main gauche en arrière ses longs cheveux, geste qui lui était habituel, il me dit en dardant sur moi son bel œil, encore brillant : « J'ai donné l'ordre de supprimer l'extrait de votre mémoire, parce que je «n'y ai rien compris. C'est extraordinaire, M. Cauchy remplit le compte-rendu de choses qui étonnent l'Europe. Il est membre de l'Académie, il a le droit d'abuser du compte-rendu et ce qu'il y met le regarde ; mais je ne puis pas souffrir plus longtemps ce flux de choses de l'autre monde. Au reste je ne puis pas corriger l'épreuve de votre article, je ne le comprends pas.

— Je viens, dis-je, de me présenter à l'imprimerie pour le corriger.

— C'est très-bien, mais le secrétaire perpétuel de l'Académie doit savoir ce que contient le compte-rendu. — Eh bien ! il contiendra une communication faite par un jeune homme, sous la recommandation de M. Cauchy. — M. Cauchy a-t-il lu votre mémoire? est-ce qu'il le comprend ? — Je le lui ai expliqué et la matière lui est familière, il est question, comme vous avez pu le voir, des périodes des intégrales. Du resle, les intégrales pouvant avoir des périodes imaginaires, c'est dans les imaginaires qu'il faut en chercher l'interprétation. — Pourquoi n'ôtes-vous pas venu m'expliquer votre travail? Je ne refuse mon appui h personne, quand ce qu'on m'apporte a de la valeur. — Je ne savaif pas que vous eussiez pu prendre le temps de m'écouler. — Je prends le temps d'écouter tout le monde et j'entends souvent bien des sottises. »

S'il y avait eu là un tableau et de la craie, j'aurais sauté dessus ; un quart d'heure m'eût suffi avec un homme d'un esprit aussi pénétrant. Mais je vis qu'il n'aurait môme pas été possible de placer utilement ce tableau, si je l'avais eu à ma disposition, car M. Arago, évidemment

fatigué, était retombé sur son oreiller et une planche faisant office de rideau lui cacljait l'intérieur de la chambre.

Je répondis que je regrettais de n'avoir pas osé demander une audience qu'il m'eût été très-agréable d'obtenir, mais qu'il y avait un moyen de résoudre la difficulté, qu'il ne s'agissait que de remettre à huitaine l'insertion de mon extrait.

Je pense que M. Arago avait été sincère. Cependant j'avais voulu en tout cas lui faire une réponse trop nette pour ne pas l'embarrasser, s'il avait eu l'intention de m'écondiiire. Il réfléchit. Probablement il se sentait bien fatigue pour me donner une audience sérieuse. Je réfléchissais aussi de mon côté et je pensais d'une part que huit jours peuvent amener bien des changements, de l'autre que tirer M. Arago d'embarras, après l'y avoir mis, ce serait la victoire. Je lui dis: « Au reste, le général Ponceletet M. Lamé connaissent mes travaux et y donnent leur assentiment, en sorte que si vous ne pouviez pas m'entendre.... — Poncelet et Lamé connaissent vos travaux ? — Oui, je les leur ai expliqués longuement.»— Alors je ne vois plus d'inconvénient à ce que votre extrait paraisse. » Puis s'adresssantàun des jeunes gens qui étaient là: «Donnez, dit-il, un mot pour Bailleul, » et il retortiba sur son oreiller. Le mot écrit m'ayant été remis, M. Arago se souleva encore et dit : «Ah ! mettez qu'on ajoutera au titre : présenté par M. Cauchy. » — Je dis malicieusement : « Ce sera un nouvel honneur pour moi. » — Ce n'était peut-être pas l'avis de M. Arago qui détestait cordialement Cauchy et tout ce qu'il fcfisait. Cependant ma réponse le fit de nouveau réfléchir. Il ajouta: « Mettez ce que j'ai dit. Du reste, c'est une habitude qu'il faudra prendre. Je ne puis accepter la responsabilité de tout ce que les membres présentent. »

. Je remerciai M. Arago, et dix minutes après, j'étais près de M. Bailleul qui fut bien étonné de me revoir. Après avoir lu le billet que je lui apportais, il se leva, fit trois fois le tour de son cabinet, les mains dans les poches de son pantalon, puis trois autres fois le même tour, les mains derrière le dos, puis il me regarda et se rassit en disant: « Alors tout ira bien. ..., si on n'a pas décomposé.» L'idée ne lui était pas venue de donner l'ordre de ne pas décomposer!

Je croyais que M. Cauchy avait compris ce que je lui avais dit en deux séances, je pensais d'ailleurs qu'il aurait lu le résumé que je venais d'avoir tant de peine à faire passer dans le compte-rendu, j'espérais en conséquence qu'il pourrait faire promptement son rapport. Je m'étais entièrement trompé. J'ai déjà dit plus haut, que M. Cauchy écou-

tait très-difficilement, je m'aperçus en retournant le voir qu'il n'avait rien retenu de ce que je lui avais dit et j'eus encore pendant longtemps l'occasion de reconnaître combien il est difficile de faire sortir un homme, même bienveillant, de ses idées. Pendant un an, M. Gauchy me reçut tous les mardis de trois heures à cinq, m'invitant chaque fois à revenir le mardi suivant, et, pendant un an, nous jacassâmes sur mon mémoire et les imaginaires en général, sans pour ainsi dire avancer d'un pas. La seule chose que je gagnai, c'est que s'étant un jour embarqué dans un calcul pour essa'yer de démontrer directement que les conjuguées fermées comprises entre les mêmes branches de la courbe réelle ont même aire, il me dit la semaine suivante qu'il n'avait pas achevé le calcul, mais qu'il voyait bien comment le faire et que le théorème devait être vrai.

A quelque temps de là, l'occasion d'une petite fonction à obtenir dans une institution me fit particulièrement désirer de voir M. Cauchy déposer son rapport. Je lui écrivis pour le prier de le faire, en lui expliquant mon motif. Le mardi suivant, quand j'allai le voir, il me dit qu'il venait d'écrire son rapport, aussitôt ma lettre reçue, et qu'il le déposerait à la prochaine séance. Le lundi suivant, il l'emporta en effet pour se rendre à la séance, je l'attendais dans la salle des Pas-Perdus, il me dit : «Je n'ai pas parlé des tangentes aux conjuguées; au moment d'écrire mon rapport, je ne me suis plus rappelé ce que vous m'en aviez dit. » Cela m'était indifférent, je n'insistai pas. Nous attendîmes M. Sturm qui devait signer le rapport, mais nous apprîmes qu'il ne venj^it plus à l'Académie; nous convînmes que j'irais le lendemain faire ma visite à M. Sturm et que M. Gauchy enverrait ensuite le rapport à sa signature.

Le pauvre M. Sturm était bien malade, il me reçut pourtant et me dit qu'il signerait de tout cœur, s'en rapportant du reste entièrement à M. Cauchy.

Le lundi suivant, j'étais, comme on pense, à l'Académie des sciences. M. Gauchy me dit qu'il n'avait pas demandé l'insertion de mon mémoire dans le Journal des savants étrangers parce que j'en serais plus libre. La séance s'ouvrit et M. Cauchy lut le rapport suivant (8 mai 1854).

RAPPORT DE MM. CAUCHY ET StURM.

« L'Académie nous a chargés, M. Sturm et moi, d'examiner un Mémoire de M. Marie, relatif aux périodes des intégrales simples et doubles. Les intégrales simples considérées par l'auteur sont celles qui peuvent être présentées sous la forme

yUsxds,

s désignant un arc de courbe, et x,.y des fonctions réelles ou imaginaires de s, liées entre elles par une équation caractéristique, algébrique ou transcendante :

Considérons spécialement le cas où l'équation caractéristique est algébrique et de forme réelle ; alors, pour chaque valeur réelle dex. l'équation (i), résolue par rapport à y, fournira une ou plusieurs valeurs réelles ou imaginaires, parconséquent de la formey=M, ou de la forme y = v -\- wi, u, V, w étant des fonctions réelles de x. Cela posé, concevons que, la variable x représentant une abscisse, on construise : 4° la courbe dont l'ordonnée serait représentée par la fonctions; 2° la courbe dont l'ordonnée serait représentée par la somme v -f- 'u>, les axes coordonnés étant ou rectangulaires ou obliques. Ces [deux courbes seront celles que M. Marie nomme la courbe réelle et la conjuguée de la courbe réelle. Si, avant de résoudre l'équation (I), on opère une transformation de coordonnées, en assignant une direction nouvelle à l'axe des y, on substituera ainsi aux variables x, y, deux nouvelles variables x^^ ?/i qui offriront toutes deux, pour une valeur réelle de x et pour une valeur ima-' ginaire de y, des valeurs correspondantes imaginaires, dans lesquelles le rapport entre les coefficients de i sera constant. Réciproquement, si l'on attribue à Xj une valeur réelle, et à y^ une valeur imaginaire qui satisfasse, avec Xj, à l'équation caractéristique transformée, les valeurs correspondantes de x, y, seront généralement imaginaires ; mais le rapport entre les coefficients de i sera constant. De cette observation il résulte qu'à une même courbe réelle, représentée par l'équation (1), correspondent, en nombre infini, des courbes conjuguées, dont chacune a pour coordonnées variables des valeurs réelles de X, y, que l'on obtient en remplaçant i par 1, dans des valeurs imaginaires de X, y, assujetties à la double condition de vérifier l'équation (1),

et d'offrir pour coefficients de i des quantités dont le rapport demeure constant.

« Les courbes conjuguées, définies comme on vient de le dire, jouissent de propriétés remarquables, qui sont exposées et démontrées dans le Mémoire de M. Marie. Citons-en quelques-unes.

« Chacune des courbes conjuguées est généralement tangente à la courbe réelle aux points où elle la rencontre. Par suite, la courbe réelle est une enveloppe des diverses conjuguées.

(t Si une des conjuguées présente un anneau fermé, si, d'ailleurs, on nomme S l'aire comprise dans cet anneau, et s l'arc décrit sur le périmètre de cet anneau par un point qui se meut avec un mouvement de rotation direct autour de l'aire S, le produit de cette aire par i sera généralement la valeur de l'intégrale

r étant le périmètre entier de Taire S, ou ce qu'on peut nommer la période ùnaginaire de l'intégrale

yBsXds.

« Si l'on fait varier par degrés insensibles la forme d'un anneau fermé, appartenant h une courbe conjuguée, en faisant varier l'inclinaison de l'axe des y, l'aire S comprise dans cet anneau restera ordinairement invariable. Cette dernière proposition, dont la démonstration se déduit d'un théorème donné par l'un de nous et relatif aux intégrales curvilignes, suppose toutefois que, l'axe des y venant à changer de direction par degrés insensibles, la valeur de y tirée de l'équation (1) n'atteint pas une valeur pour laquelle la dérivée de / [x, y) relative à y s'évanouisse avec f{x, y).

« Dans la dernière partie de son Mémoire, M. Marie considère non plus une fonction y dex déterminée par l'équation (I), mais une fonction z de deux variables x, y, déterminée par une équation caractéristique de la forme f{x, y, 2) =0. A des valeurs réelles de x, y correspondent, en vertu de cette équation, des valeurs de-, réelles ou imaginaires, par conséquent de la forme z = u, ou de la forme z = y -{- ivi, u, v, w étanl des fonctions réelles de x, y, z. Cela posé, concevons que les variables x, y représentant deux coordonnées réelles, on construise : 1° la surface courbe dont l'ordonnée serait représentée par la fonction u; S'' la surface courbe dont l'ordonnée serait représentée par la somme v -\- w, les axes coordonnés étant ou rectangulaires ou obliques.

Ces deux surfaces seront celles que M. Marie nomme la surface réelle et la conjuguée de la surface réelle. Si, avant de résoudre l'équalion caractéristique, on opère une transformation de coordonnées, en assignant une direction nouvelle à l'axe des z, on substituera ainsi aux variables a:, y, z, trois nouvelles variables ar,, t/j, z^ qui offriront toutes trois, pour des valeurs réelles de x, y et pour une vaietir imaginaire de z, des valeurs correspondantes imaginaires, dans lesquelles les rapports entre les coefficients de i seront constants. Réciproquement, si l'on attribue àajj, ^i des valeurs réelles, et à Zj une valeur imaginaire qui satisfasse, avec x^, y^, à l'équation caractéristique transformée, les valeurs correspondantes de x, y, z seront généralement imaginaires, mais les rapports entre les coefficients de i dans ces dernières valeurs seront constants. De cette observation il résulte qu'à une même surface réelle correspondent, en nombre infini, des surfaces conjuguées, dont chacune a pour coordonnées variables des valeurs réelles de x, y, z que l'on obtient en remplaçant t par 1, dans des valeurs imaginaires de x, y, z assujetties à la double condition de vérifier l'équation caractéristique, et d'offrir pour coefficients de i des quantités dont les rapports demeurent constants.

« Les surfaces conjuguées, définies comme on vient de le dire, jouissent de propriétés remarquables, analogues à celles des courbes conjuguées. Ainsi, en particulier, comme l'observe M. Marie, lorsqu'une surface conjuguée est fermée et limitée en tous sens, le volume V compris dans cette surface et représenté par une intégrale double reste généralement invariable, tandis que l'on fait varier par degrés insensibles, entre des limites quelconques, ou du moins entre certaines limites, l'inclinaison de l'axe des z sur l'axe des x ou sur l'axe des y. D'ailleurs, le produit de ce volume V par i est ce qu'on peut nommer la ■période imaginawe d'une certaine intégrale double.

« En résumé, les Commissaires jugent que le Mémoire de M. Marie présente, sur les périodes des intégrales simples et doubles, des recherches intéressantes qui ont conduit l'auteur à des résultats nouveaux, et qu'en conséquence ce Mémoire mérite d'être approuvé par l'Acaédmie. »

Les conclusions de ce Rapport furent adoptées par l'Académie.

L'audition de ce rapport me fit un plaisir tempéré par des piqûres assez sensibles. Plusieurs phrases m'étaient, comme on dit, restées sur le cœur; je voulus, avant de revoir M. Cauchy, lire attentivement ce que je venais d'entendre.

La lecture ne lit que confirmer ma première impression.

Le rapport était incontestablement bien fait, eu égard à ce que sont en général ces sortes de comptes-rendus, il faisait assez bien comprendre ce que contenait mon mémoire, et était certainement bienveillant; la conclusion en était ce que je pouvais désirer de mieux ; mais trois choses m'offusquaient dans ce rapport.

. M. Cauchy avait introduit dans l'énoncé du théorème &e l'équivalence des aires des conjuguées fermées une restriction absurde. Il est vrai que la faute si elle était aperçue, ce qui était douteux, ne retomberait que sur lui. Mais il avait dit une grosse naïveté dont je pourrais paraître complice; et puis il y avait cette phrase: « Cette dernière proposition, dont la démonstration se déduit d'un théorème donné par l'un de nous,... n — (( SE DÉDUIT » m'a été d'une digestion difficile.

Deux théories relatives à une même question peuvent, en principe, toujours se déduire l'une de l'autre et j'ai en effet montré dernièrement (l872) que l'on pouvait déduire de ma théorie des intégrales [doubles une théorie instituée sur le modèle de celle qu'avait donnée Cauchy pour les intégrales simples.

Mais en disant que le théorème de l'équivalence des aires des conjuguées fermées comprises entre les mêmes branches de la courbe réelle, pouvait se déduire d'un théorème donné par lui, M. Cauchy me parut excéder les limites de ce qui est permis. Durant nos longues entrevues je l'avais vu plusieurs fois essayer cette déduction, mais non pas y réussir. Il m'avait bien à peu près dit ensuite qu'il y était parvenu, mais il ne m'avait pas montré sa démonstration et je doute toujours, si elle a réellement pris corps, qu'elle ait pu être mise en état d'êtro présentée, parce que pour l'établir il aurait fallu commencer par donner une interprétation géométrique de l'intégrale / ydx prise le long

d'un contour défini, ce dont M. Cauchy ne paraît pas s'être jamais préoccupé.

J'ai elTectué en 1872, dans ma nouvelle théorie des intégrales, le rapprochement désiré entre les deux méthodes, mais, jusqu'à preuve du contraire, je me crois en droit de penser que M. Cauchy s'est permis, à mes dépens, dans le passage que je relève, une gasconnade un peu forte.

Quanta cette observation que la démonstration de la constance de l'aire S d'un anneau suppose que, l'axe des y venant à changer de direction par degrés insensibles, la valeur de y tirée de L'équation f{x, y) = 0 n'atteigne pas une valeur pour laquelle la dérivée de f{x,y), relative à y, s'évanouisse avec f{x, y), elle n'avait sans doute pas été faite â mauvaise intention, quoiqu'elle paraisse tendre à faire croire à un certain rapport entre mes conclusions et celles de M. Gauchy, à une certaine dépendance de ma théorie envers la sienne ; mais elle constitue un /a/jsiw un peu fort. En effet la conjuguée à abscisses réelles, qui passe parles points critiques réels du lieu, est précisément celle qui me sert ordinairement de type ; de telle sorte que, même, si je voulais quarrer une autre conjuguée, je commencerais habituellement par en rendre les abscisses réelles, sans me préoccuper de ce qu'elle passerait alors par les nouveaux points critiques du lieu.

En fait l'observation de M. Gauchy, appliquée par exemple à l'hyperbole

ay — b'x' = — a'b\

signifierait que les conjuguées dont les cordes réelles feraient un angle aigu avec l'axe des x, n'auraient pas même aire que celles dont les cordes réelles font un angle obtus avec le même axe, parce que les deux groupes seraient séparés l'un de l'autre par la conjuguée

ay 4- b^x^ — a^b^

dy qui passe par les points du lieu où -^ est infini.

Nous aurions de la sorte deux théorèmes d'Apollonius, le théorème d'Apollonius de gauche et le théorème d'Apollonius de droite !

Quand l'intégrale / y(/ar a plusieurs périodes imaginaires, le lieu

/■( X, y) z=zO comprend bien plusieurs groupes de conjuguées, présentant des aires différentes dans les différents groupes, mais les conjuguées qui ont même aire et qui appartiennent à un même groupe ne sont pas séparées les unes des autres par des points critiques : elles sont comprises entre des branches différentes de la courbe réelle. C'est sans doute parce qu'il n'avait pas bien compris ce point que M. Gauchy, pour traduire ce que je lui avais dit des différents groupes de conjuguées, a imaginé de faire intervenir ses points critiques comme points de séparation.

Quant à cette idée, fondamentale dans la théorie de Gauchy, que la fonction y ne puisse pas prendre une valeur pour laquelle sa dériv.ée

soit infinie, sans que l'intégrale / ydx devienne indéterminée, cette

idée n'est que bizarre. M. Cauchy a fini par se persuader à lui-même que l'expression

V«* — x^'dx

n'a pas de sens ; libre à lui, mais cela prouve seulement jusqu'où peut aller le parti pris.

Enfin le rapport se terminait par une excentricité dans le genre naïf.

Après avoir énoncé le théorème de l'équivalence en volume des conjuguées fermées d'une même surface, comprises entre les mêmes nappes de cette surfiice, M. Cauchy ajoutait : D'ailleurs le produit de ce volume par i est ce qu'on peut nommer la période imaginaire dune certaine intégrale double.

Cette intégrale n'est autre que / / zdxdy et il n'était pas difficile de

la désigner exactement. Mais après avoir imaginé le symbole bizarre

/ yDsxds

pour représenter / y o'ar, M. Cauchy était resté court, quand il s'était

agi de I / zdxdy, et n'ayant rien trouvé pour défigurer cette antique

notation, il s'était tiré d'alfaire en écrivant a une certaine intégrale » au risque de faire retomber sur mdi la responsabilité d'une naïveté un peu forte, car je ne sache pas que quoi que ce soit ne puisse pas être considéré comme la période d'une u certaine intégrale ».

Je ne pourrais pas supporter l'idée que qui que ce fût pensât que je n'aie pas été juste, délicat même envers lui. Aussi me suis-je toujours appliqué, vis-ù-vis de tout le monde, à rester en deçà de mes droits. Mais, par contre, je suis ainsi fait qu'il m'est impossible de revoir les gens qui, à mon sens, m'ont fait une injustice. J'essayai de retourner rue Serpente, jamais je ne pus franchir de nouveau le seuil de la porte de M. Cauchy. Je ne sais s'il fut fâché de ne pas me revoir, je le regretterais aujourd'hui, mais je ne pus pas me vaincre alors; je dirai plus, son rapport me donna dès lors une envie irrésistible de faire une charge ;\ fond de train sur ses théories et de les culbuter s'il était possible.

Il y a bien longtemps de cela et je suis bien éloigné d'aucune idée de vengeance envers un savant que j'admire, malgré son manque absolu d'esprit philosophique et que je considère comme un excellent homme, malgré ses habitudes d'accaparement. Si j'ai poursuivi depuis, sans m'arrêter jamais, mon projet de destruction, le mobile premier de mes

efforts a été sans doute son injustice à mon égard et celle encore plus grande de quelques-uns de ses disciples, mais j'étais mû aussi par la conscience de rendre service, en essayant de débarrasser l'enseignement de conceptions factices et de méthodes entortillées.

J'ai appris il y a quelques années seulement que M. Cauchy avait, peu de temps avant sa mort, donné sans me citer, une démonstration analytique de ce fait évident, d'après ma théorie, que la quadratrice d'une même courbe conserve les mômes périodes, quels que soient les axes de coordonnées auxquels on la rapporte. Je lui pardonne bien volontiers la pauvre soustraction de ce méchant théorème dont l'arrangement lui a peut-être coûté beaucoup de travail.

M. Hermite m'avait prêté le mémoire de M. Puiseux, intitulé Recherches sur les fonctions algébriques, qui a paru dans le tome XV du journal de M. Liouville.

J'ai toujours eu beaucoup de peine à lire les ouvrages de mathématiques : presque tous sont rédigés comme des traités définitifs, dans la forme euclidienne. Or cette méthode, qui a peut-être ses avantages pour les auteurs, en ce qu'elle les dispense d'exposer leurs idées, de les discuter, est absolument insupportable pour les lecteurs qui, sachant bien qu'ils ont sous les yeux une ébauche plus ou moins imparfaite, désireraient bien, avant de s'abandonner, savoir au juste où on veut les conduire et par quel chemin; car encore y a-t-il plusieurs chemins pour conduire à un même but et bien souvent, si le lecteur avait été averti, aurait-il préféré fausser compagnie à l'auteur et ouvrir une nouvelle route, plutôt que d'essuyer une poussière à'x inutiles et le bavardage du guide.

Mais le supplice est encore plus grand lorsque le lecteur rencontre à chaque page des affirmations qui choquent son bon sens, sans que la fausseté, toutefois, en puisse être immédiatement démontrée, et dontlc mélange confus avec des vérités neuves et utiles jette l'esprit dans une continuelle et insupportable perplexité. On essaye de lire et au bout de quelques instants on jette le livre de colère, on le reprend pour tâcher d'arriver à y découvrir celles des erreurs qui ne nuiront pas au résultat définitif et on le laisse de nouveau lorsqu'on rencontre quelque nouvelle énormité.

J'ai eu je ne sais combien de temps le mémoire de M. Puiseux sous les yeux, je l'ai feuilleté je ne sais combien de fois, pour comparer les énoncés et en rechercher les erreurs, mais je n'ai jamais pu le lire, bien que j'y fisse tous mes efforts.

Voici les obstacles contre lesquels je venais buter chaque fois que je reprenais la lecture de cet ouvrage.

Comment se faisait-il qu'il pût suffire de représenter la marche de la

variable, sans se préoccuper autrement de celle de la fonction qu'en l'assujettissant mentalement à la loi de continuité? celle de ses valeurs correspondant à la valeur finale de la variable, que devrait prendre la fonction, partie de sa valeur initiale donnée, serait donc indifférente à connaître?

En quoi une valeur de la variable pouvait-elle être critique si la fonction assujettie à la continuité, à partir de la valeur initiale donnée, ne devait pas atteindre une de ses valeurs singulières au moment où la variable atteindrait cette valeur prétendue critique?

Poser la question de déterminer la région de convergence de la série suivant laquelle se développe une fonction, connaissant la valeur initiale de la variable et ses valeurs critiques, c'était supposer que la nature de la fonction fût indiCTérente à connaître. Mais pourquoi toutes les fonctions imaginables qui deviendraient en même temps infinies ou multiples seraient-elles en même temps développables ou non développables ?

L'une de ces fonctions deviendrait infinie pour une des valeurs critiques de la variable, une autre prendrait deux valeurs égales, une troisième trois, une quatrième cinq valeurs infinies, ce ne serait rien! critique répondrait à tout 1

Comment admettre que la définition de la fonction fût, d'elle-même, assez peu importante pour qu'il pût suffire, pour savoir dans quelles limites elle sefi-ait développable en série convergente, de connaître ces valeurs singulières, critiques ou dangereuses de la variable, qui lui feraient prendre, ou à sa dérivée, des valeurs infinies ou indéterminées? Comment se figurer, par exemple, que les deux séries suivant lesquelles se développeraient, à partir d'une môme valeur quelconque de x, les fonclians y délinies par les équations

y"" — ory + «'-« = 0,

dussent nécessairement, absolument et sans même qu'il y eût lieu à discussion, rester en môme temps convergentes ou divergentes, simplement parce que les dérivées de ces deux fonctions, si complètement différentes, deviennent, par hasard, en même temps, infinies, pour les

mêmes valeurs ± — - de la variable x.

3v/3 Bien plus ! une des valeurs d'une même fonction deviendrait infinie pour une valeur particulière de la variable, une autre double, une troisième simple, elles seraient développables dans les mêmes limites, la valeur critique de la variable empêcherait de passer aussi bien l'une que les autres !

Soit Xq une valeur Se x à laquelle correspondent m valeurs y,, y^,..., ym de y, toutes différentes les unes des autres, et telle aussi que toutes les dérivées de y par rapport à x, aux points [x^, yj, [x^, yi\,.--, L^o' Y «] de la courbe f{x, y) = 0, restent finies, quelque loin qu'on les pousse : les séries

^' ^ Wi.o 1 "^ W)i,o 1.2 "*" •

(fy\ x — x^ /d'y\ {x — xj

^'-'^ UJm ~1~ "^ wl..o "Tï" + • • •

y'''^\J'x]rn,,'~^~ '^ W)n.,,~T:^ ' '"

seront convergentes dans de certaines limites : mais quelle apparence y avait-il, puisqu'elles avaient des coefficients tout différents, que la limite fut la même pour toutes.

N'était-il pas plus probable que chacune de ces séries aurait sa limite propre de convergence, ou que, du moins, elles se rangeraient en quelques groupes dans chacun desquels la condition de convergence resterait la même, tout en variant d'un groupe à l'autre?

D'un autre côté, en quoi au fond consistait la criticité? Pour quelques valeurs de la variable, elle consistait en ce qu'une des valeurs correspondantes delà fonction devenait infinie, pour d'autres, en ce que deux valeurs de la fonction devenaient égales avec la condition que la dérivée de cette fonction fut infinie, enfin pour d'autres en ce que deux ou plusieurs valeurs de la fonction devenaient égales, sans autre condition particulière. En d'autres termes les valeurs critiques de la variable correspondaient aux abscisses des asymptotes parallèles à l'axe des y, des tangentes parallèles à l'axe des y et des points multiples. Quels rapports pouvait-il y avoir entre ces trois classes de valeurs?

Pour les deux premières, on comprenait bien qu'elles fussent rapprochées l'une de l'autre, une asymptote parallèle à l'axe des y étant naturellement comprise parmi les tangentes parallèles à la même direction. Mais en quoi le point double de la strophoïde, par exemple, serait-il assimilable au sommet de cette courbe ou aux points indéfiniment éloignés sur les branches infinies?

Eu quoi consistait en définitive l'obstacle au développement? La série devenait divergente tantôt parce que la fonction devenait infinie, tantôt parce qu'elle prenait plusieurs valeurs égales. Dans cette catégorie se

trouvaient les points de contact des tangentes parallèles à l'axe des y ? Était-ce parce que la dérivée de la fonction y devenait infinie qu'ils ne pouvaient pas cire franchis, ou parce que la fonction y prenait deux valeurs égales?

Comment la convergence pouvait-elle être arrêtée par la présence d'im point double, puisque la fonctiony gardait des valeurs finies ? C'était donc comme capricante que la série devenait alors divergente? Illusoire on l'aurait compris: mais pourquoi divergente?

Chacune de ces questions était grosse de difficultés de tous genres, et je ne les résolus qu'à mesure et avec le temps. Cependant elles n'étaient pas môme posées dans les ouvrages de MM. Puiseux, Briot et Bouquet, il n'y en avait pas une qui parût y faire l'objet du moindre doute, elles se trouvaient résolues sans môme avoir été discutées.

Avec un peu de condescendance pour le lecteur ces messieurs lui eussent facilement évité toutes ces perplexités ; si du reste ils avaient pris la peine de chercher à traduire leurs idées en langage ordinaire, s'ils s'étaient astreints à donner, comme cela devrait toujours se faire, une analyse raisonnée de leurs ouvrages, il est probable que les difficultés de l'exposition leur eussent montré les lacunes, les imperfections de la méthode.

Yoici, il me semble, comment on aurait pu présenter la méthode de Cauchy, sans risquer aucune affirmation douteuse.

Il Le but final à atteindre est la détermination des périodes des intégrales.

« Une période d'une intégrale ne peut être qu'une valeur différente de zéro, que puisse acquérir la somme des éléments de cette intégrale, le long d'un chemin fermé convenablement choisi, s'il en existe de tels.

(( Un pareil reste ou résidu se rencontre, dans des circonstances particulières, dans l'intégrale

cl dans toutes celles qui peuvent s'y ramener par transformation, ou qui la contiennent par décomposition.

« Cette intégrale atteint la valeur finie 2 tt y — I , sans qu'on soit oblige de donner à x que des valeurs infiniment peu différentes de a, et il suffit pour la lui faire acquérir de donner à x toutes les valeurs de la forme a -\- (x -\- ^ \^ — 1 dont les parties a et p soient les coordonnées d'un petit contour fermé, de forme quelconque, embrassant l'origine, m" r. 6

OU, si on laisse a^ -|- p* constant, de donner à x toutes les valeurs que prend

a -j- P (cos cp -|- \J— 1 sin ç),

lorsque 9 varie de 0 à Sir, p restant constant et aussi petit qu'on le

voudra.

> (( Cette propriété de l'intégrale

r dx

rend compte de la période de la fonotion logarithmique. « L'intégrale

{x) dx

en supposant qiie (p (a) ne soit ni nul ni infini, jouit de la même propriété et donne pour résidu

lorsque l'on fait passer a? = g -j- p (cos <p -f \/— 1 sin ç) par toutes les valeurs qu'il prend de 9 = 0 à cp = Stt, parce que, durant l'évolution dear, ^ (a:^) ne varie qu'infiniment peu et peut, par conséquent, être rejeté en avant du signe d'intégration.

« De même une intégrale

> (x) dx

admettra pour périodes fes produits par \/ — 1 de

cp (a) cp'(6) cp(/)

« Au contraire, une intégrale dont la dérivée ne deviendrait pas infinie pour une valeur a de xne pourrait évidemment pas donner de résidu fini, si X ne s'écartait qu'infiniment peu de a, puisque les éléments de l'intégralc'.seraient tous infiniment petits.

« D'un autre côté, une intégrale dont la dérivée contiendrait à son dénominateur une puissance différente de 1, d'un facteur du premier degré, x — a, donnerait un résidu infini ou nul, suivant que l'exposant de cette puissance serait inférieur ou supérieur à 1.

Les périodes des intégrales qui ne rentreraient pas dans le type

r rfx-

cp(x)

9 (x) ne devenant ni nul ni infini pour aucune des valeurs a, b .... /de 07, ne pourraient donc être que les résidus de ces intégrales relatifs à des contours fermés finis. Par conséquent, la théorie des périodes des intégrales exigerait en général d'abord la détermination des contours pouvant donner lieu à des résidus finis, en second lieu le calcul de ces résidus.

« Mais, outre que Ja seconde question devrait être provisoirement écartée, elle pourrait en définitive être supprimée, car chaque contour réduit servirait de définition au résidu correspondant, comme les limites d'une intégrale définissent une valeur particulière de cette intégrale.

«< La question générale des périodes des intégrales se réduirait donc à une classification des contours fermés donnant lieu à des résidus différents.

«1 Or, la cause fondamentale de la nullité ordinaire de la somme des éléments d'une intégrale, le long d'un contour fermé quelconque, devait être que la fonction explicite ou implicite dont le produit par dx constituait un élément de l'intégrale, revenait à sa valeur initiale, en même temps que la variable, sans repasser, il est vrai, par les mômes valeurs, puisque la variable elle-aiême ne repassait pas par les mêmes valeurs, mais sans avoir subi de modifications assez profondes pour que les écarts des valeurs prises par la fonction et la variable, dans l'aller et dans le retour, ne se fissent pas compensation,

« Si la fonction ne reprenait pas sa valeur initiale en même temps que la variable, ou la reprenait après s'être permutée un nombre pair de fois avec d'autres valeurs de cette même fonction, il n'y avait plus de raison pour que la somme des éléments de l'intégrale se trouvât nulle.

« Les contours fermés, par rapport à la variable, auxquels correspondraient des résidus finis, seraient donc ceux le long desquels la fonction changerait de forme.

« D'un autre côté, quel que fût le résidu relatif à un contour fermé, par rapport à la variable, une infinité d'autres contours voisins du premier, plus étendus ou plus rétrécis, donneraient le njême résidu, précisément parce qu'en général la somme des éléments d'une intégrale le long d'un contour fermé, suffisamment rétréci, est identiquement nulle et qu'ajouter ou retrancher un contour additionnel au contour primitif, pourrait toujours revenir à ajouter au résidu primitif le résidu correspondant à ce contour additionnel.

0 Mais deux contours fermés, par rapport à la variable indépendante,

donneraient lieu à des résidus différents si la fonction partant de la même valeur dans les deux cas, pour la même valeur initiale de la variable, ne parvenait pas à la même valeur finale, après l'un et l'autre parcours.

« Les permutations des valeurs delà fonction les unes dans les autres s'opéreraient naturellement, et tout d'une pièce, aux points où la fonction prendrait des valeurs égales, mais elles pourraient aussi se produire le long d'un contour fermé par rapport à la variable, une partie de la fonction s'annulant ici et changeant de signe, une autre s'annulant un peu plus loin et changeant à son tour de signe, etc.

c( Or, pour que de pareilles permutations pussent se produire le long d'un parcours fermé donné, il faudrait que ce parcours enveloppât quelques valeurs critiques, c'est-à-dire auxquelles correspondissent des valeurs égales de la fonction, sans quoi on pourrait réduire à rien le contour considéré, par retranchements successifs infiniment petits, sans traverser un point où un changement brusque pût se produire, ce qui supprimerait toute possibilité d'échange entre deux valeurs de la fonction.

En d'antres termes, chaque valeur a -|- [i y — 1 de la variables étant figurée parle point dont les coordonnées seraient a et p, et, par conséquent, le parcours «p (a, [â) =0 étant figuré par la courbe cp (a, p) = 0, pour qu'une permutation entre les valeurs de la fonction y pût se produire le long de ce parcours fermé «f (a, p) = 0, il faudrait que la courbe <p (a, ^) = 0 enveloppât quelques points [a, b], [a^, èj... correspondant aux valeurs critiques de x.

(c On démontrerait au reste : 1° que si deux contours fermés, partant d'un même point, comprenaient dans ^purs intérieurs les mêmes points critiques, la fonction, partant dans les deux cas de la même valeur initiale, arriverait après chaque parcours à la même valeur finale; 2° qu'aucune permutation ne pourrait se produire entre les valeurs de la fonction le long d'un contour fermé ne renfermant aucun point critique ; 3° que la valeur d'une intégrale / j/dx serait identiquement nulle le long de tout contour ne comprenant aucun point critique; 4° que les résidus de l'intégrale / ijdx correspondant à deux contours

comprenant les mêmes points critiques seraient identiquement égaux. « Ces théorèmes permettraient de réduire tout contour à un groupe de petits cercles enveloppant les différents points critiques compris dans le contour primitif, reliés entre eux par des droites qui seraient successivement parcourues dans les deux sens.

. «Ainsi, un contour MNP enfermant trois points critiques A, B,G pourrait être remplacé par le contour MQ — QQ'Q — QR — RR'R — RS

— SS'S — SU— RQ — QM, soit pour la détermination de la valeur finale de y, après le parcours, soit pour le calcul du résidu de l'intégrale

I ydx, le long de ce contour.

J ^ -ji

« Les sommes des éléments de l'intégrale dans les deux parcours d'une môme droite en sens contraires ne seraient pas nécessairement égales et de signes contraires, puisqu'en général la fonction y n'aurait pas la même valeur dans le parco~^urs direct et dans le parcours inverse.

« Quant aux résidus relatifs aux différents petits cercles, ils seraient infinis pour ceux qui comprendraient des points tels que le produit de y par le binôme formé de x moins Tabscisse critique tendît vers l'infini, finis pour ceux où le même produit tendrait vers une valeur finie, nuls pour ceux où ce produit tendrait vers zéro.

« Le résidu relatif à un contour fermé par rapport à la variable indépendante et le long duquel la fonction reprendrait finalement sa valeur initiale, sans cependant que la somme des éléments de l'intégrale fût nulle, serait évidemment une des périodes de cette intégrale, puisqu'on pourrait reprendre un norribre quelconque de fois ce même parcours et que, chaque fois, l'intégrale s'augmenterait de la même quantité,

« La question des périodes dépendait donc des suivantes : 1° la valeur avec laquelle une fonction multiple part de son état initial, en même temps que la variable, étant donnée, trouver celle qu'elle acquerra, en variant d'une manière continue, lorsque la variable aura suivi un chemin rectiligne donné; 2° la valeur initiale de la fonction en un point du petit cercle qui entoure un point critique étant donnée, trouver sa valeur finale après un tour sur ce petit cercle; 3° trouver le résidu relatif à chaque petit cercle.

« La troisième question étant déjà résolue et les éléments du calcul différentiel devant aisément fournir la solution de la seconde, il ne resterait donc que la première.

« Pour résoudre celle-ci, on recourrait à la méthode suivante : En supposant, ce qui serait toujours permis, qu'aucun des chemins reclilignes qu'il faudrait faire intervenir, ne passât par un point critique, comme la série de Taylor doit rester convergente tant que le module de la différence entre la variable et sa valeur initiale ne dépasse pas le module dQ la différence entre cette valeur initiale et l'abscisse d'un point critique, inconnu il est vrai, mais qui, dans le cas le plus défavorable, serait le plus proche du point de départ, on diviserait le chemin recti-

ligne considéré en parties telles que la différence des abscisses des points extrêmes de chaque partie eût toujours un module inférieur à celui de la différence des abscisses de la première extrémité de celte partie et du point critique le plus voisin de cette première extrémité; et on se servirait de la série de Taylor pour calculer, de proche en proche, la valeur de la fonction en chacun des points de division du chemin rectiligne considéré. »

Il n'y a pas de mauvaises méthodes d'inventioa, ou, du moins, la première est toujours bonne. On aurait donc pu suivre avec intérêt un auteur qui se fût exprimé à peu près comme nous venons de le supposer.

On aurait compris sa réserve relativement aux points délicats, et on aurait senti cependant qu'appliquée à des exemples particuliers la méthode, quelque imparfaite qu'elle fût, quelles que fussent les lacunes qui subsistassent, pourrait cependant permettre d'arriver à des résultats précis et concluants.

Mais passer avec l'auteur par-dessus toutes les difficultés signalées plus haut, n'était possible qu'à la condition de se réduire préalablement à un rôle absolument passif.

La méthode dont nous avons essayé l'exposition n'est pas sortie tout d'une pièce, un beau jour, de la tête de M. Cauchy; elle ne s'est au contraire formée que petit à petit ; le but final même ne s'est présenté que fort tarda l'esprit de l'auteur, et sa méthode n'est que le produit de la fusion artificielle de procédés imaginés successivement dans diflerents buts distincts.

M. Cauchy avait d'abord étudié séparément les deux questions des résidus et de la convergence de la série deïaylor. Ses recherches sur les

/dx — et celles des intégrales de la forme

cp {x) dx

Il n'avait alors aucun moyen de déterminer les périodes d'une intégrale non préparée.

D'un autre côté, il avait sinon trouvé exactement la condition de convergence de la série de Taylor, du moins déterminé une limite en deçi de laquelle elle resterait convergente et, dans les deux questions, se rencontrait la considération des mêmes points critiques, ou à peu près. Ce semblant d'accord pouvait bien suggérer l'idée heureuse de faire concourir les deux théories au but définitif. Mais quoiqu'il n'y ait natu-

rellement qu'à applaudir à de tels efforts, couronnés en définitive d'un véritableet plein succès, malgré de légères erreurs inévitables dans une première ébauche, cependant, à moins que l'admiration, pour être suflisante, ne doive nécessairement dégénérer en fétichisme, il doit être permis de montrer ce qu'il y a de peu philosophique dans le choix d'une méthode si détournée.

L'histoire des sciences comprend de nombreux exemples de théories importantes ayant pris naissance dans l'observation de faits singuliers et anormaux, mais on y voit aussi que ces théories ont continué de végéter à l'état rudimentaire, tant qu'elles ne constituèrent que de simples prolongements des principes puisés dans l'étude de ces faits exceptionnels : elles n'ont pris une véritable importance que lorsqu'une conception plus étendue a permis de faire rentrer l'explication des faits singuliers, observés les premiers, dans la théorie générale de faits vulgaires et qui, à cause de leur vulgarité même, n'avaient pas d'abord attiré l'attention.

Or il est bien facile de voir que la théorie de Cauchy, née, au début, de l'observation de faits singuliers, n'est ensuite organisée qu'en vue de donnera ces faits singuliers une importance de plus en plus envahissante, qui ne leur appartenait pas naturellement.

La loi suivant laquelle s'accomplit un phénomène, ne peut comporter une expression analytique capable d'une formule algébrique qu'autant qu'on a fait choix d'un système particulier de repères. Ainsi l'attribution d'une équation particulière à une courbe suppose le choix préalable d'un système d'axes. Mais ce qu'il y a de fondamental dans un phénomène ne saurait avoir de rapport nécessaire avec ce qu'a de particulier, eu égard au système des repères, le mode actuel de représentation des lois de ce phénomène; et si l'on reconnaissait que la loi du phénomène, rapporté à de certains repères, présente quelques particularités singulières, le procédé d'étude de ce phénomène, pour être judicieux, devrait consister non pas à reproduire, dans le cas général, l'emploi des artifices qui avaient réussi dans le cas singuher, mais au contraire à chercher dans la solution générale du problème, l'explication qui convenait au cas singulier.

Dans l'espèce, l'hypothèse d'une courbe rapportée à deux axes dont l'un, l'axe des y, par exemple, se trouvât exceptionnellement parallèle à l'une des asymptotes de cette courbe, avait donné l'idée de rechercher

si l'intégrale \ ydx , dont l'élément ydx se présentait sous la forme

X X 0, pour une valeur de x infiniment peu différente de l'abscisse de l'asymptote en question, n'acquerrait pas une valeur finie dans un parcours infiniment petit autour de cette abscisse, et il était résulté de celte recherche la notion, sous une certaine forme, des périodes des inté-

grales. C'était bien. Mais il n'y avait pas là motif de rechercher la solution générale du problème dans l'arlifice de petites évolutions autour de valeurs de la variable, qui n'avaient plus de rapports avec les abscisses d'asymptotes parallèles à l'axe des y. Au contraire, il fallait chercher à s'afl'ranchir des conditions particulières dans lesquelles le fait avait été observé d'abord pour en chercher une explication propre à tous les cas.

D'un autre côté, si quelques états particuliers d'un phénomène rapporté à certains repères ne devaient leur manifestation qu'au choix de ces repères, s'il s'en présentait toujours d'analogues, quel que fût le système de repères adopté, s'ils variaient d'un système à l'autre, bien plus, si tous les états consécutifs du phénomène pouvaient devenir à leur tour singuliers, pourvu qu'on choisît un système convenable de repères, ce serait assurément une singulière méthode d'étude du phénomène en question que de prendre justement pour éléments de la discussion ce que chaque système de repères présenterait de particulier.

C'est cependant, et d'une façon exclusive, ce qu'a fait M. Cauchy.

Les points critiques autour desquels tout tourne dans sa théorie, se distinguent des autres par un caractère analytique saillant, à la vérité, mais actuel et subjectif. Par eux-mêmes, ils n'ont rien de remarquable, ils correspondent seulement à quelques états du phénomène étudié qui, en raison de la position du point où l'on s'est placé pour voir, appartiennent, en général, au contour apparent du spectacle. Le point de vue venant à changer, ces points, si remarquables à l'instant même, autour desquels tout allait pivoter, viendraient se confondre dans la masse des autres, il n'en serait plus question ; d'autres points viendraient se substituer à eux dans toutes leurs propriétés, et c'est autour de ces nouveaux points qu'on ferait de nouveaux petits tours.

Il ya plus: M. Cauchy confond dans la masse des points critiques tous ceux oti la fonction prend des valeurs infinies ou des valeurs égales ; c'est-à-dire tous ceux qui correspondent aux abscisses des as}mplotes ou des tangentes parallèles à l'axe des y, des points multiples, de rebroussement, etc.

Or, parmi ces points, les premiers s'évanouissent quand on change la direction de l'axe des y ; ceux de la seconde espèce se déplacent d'une manière continue sur la courbe ; et ceux de la troisième persistent, et c'est justement dans la considération des points de la première espèce, absolument éphémères, que la théorie a pris naissance.

Aussi, par une juste réciprocité, cette théorie a-t-elle été impuissante à reUer la période de l'intégrale

à celle de l'intégrale

dx V .r-

quoiqn'il s'agît, dans l'un et l'autre cas, de la quadrature de la même hyperbole.

Le point critique éphémère, x = 0, d'ailleurs double, avait glissé le long de la courbe, de ses extrémités à ses sommets, et cela avait suffi pour rompre toute possibilité d'assimilation.

Assurément il faudrait bien se servird'une pareille méthode tant qu'on n'en aurait pas de meilleure, mais il semble qu'il soit permis de dire qu'un esprit tant soit peu philosophique ne s'y serait pas arrêté.

Dès en ouvrant le mémoire de M. Puiseux, on tombe sur l'énoncé de ce principe, considéré comme évident, qu'il faut bien se garder de faire passer la variable par un de ses points critiques, sans quoi la fonction deviendrait indéterminée, en ce sens qu'on ne pourrait plus savoir ce qu'elle serait devenue, c'est-à-dire quelle valeur elle aurait prise, lorsque la variable aurait atteint ensuite une valeur déterminée quelconque.

Ces points ne seraient pas seulement critiques, ce seraient de vrais précipices.

Pour les points où la fonction ou sa dérivée deviennent infinies, encore passe. On ne voit pas en effet tout d'abord comment on pouirait suivre la marche de cette fonction au delà d'un pareil point, mais comment la fonction y sçrait-elle affectée d'indétermination parce que le point [x, y] aurait traversé un point multiple du lieu f [x, y) = 0, si les tangentes à la courbe en ce point étaient distinctes?

Comment la continuité était-elle donc entendue dans l'école de Cauchy? un contour polygonal serait donc une ligne continue? un arc de cercle et un arc d'ellipse raccordés par une tangente commune formeraient une ligne continue ! le mouvement d'un corps qui recevrait des chocs brusques successifs serait continu !

La continuité n'exige pas une, deux, trois, quatre conditions, elle en exige une infinité. Pour qu'une fonction varie d'une manière continue, il ne suffit pas qu'elle prenne toutes les valeurs intermédiaires entre deux quelconques de ses valeurs, il faut qu'il en soit de même de toutes ses dérivées à l'infini. Autrement, on a affaire à plusieurs fonctions.

La fonction y étant donc assujettie à la continuité, comme on l'a supposé': quand elle passera par une de ses valeurs multiples, si les valeurs de -j- sont alors distinctes, elle ressortira avec celle de ses valeursax

qui aura sa dérivée en continuité avec la valeur qu'avait cette dérivée au moment où le passage a eu lieu. L'indétermination apparente ne tenait qu'à ce 'qu'on avait négligé toutes les conditions de continuité, en nombre infini, moins une seule.

Il en serait de même si, en un point multiple, les valeurs de la première dérivée de la fonction étaient égales, mais que celles de la dérivée seconde fussent différentes, et ainsi de suite. La fonction ressortirait toujours du prétendu point dangereux avec celle de ses valeurs dont les dérivées d'ordres assez élevés seraient en continuité avec les valeurs qu'avaient ces dérivées au moment du passage.

11 n'y aurait quelque difiiculté que pour celles des valeurs de la fonction dont les dérivées, après être restées confondues jusqu'à l'ordre n, deviendraient en môme temps infinies à l'ordre {n -|- 1). Mais difficulté n'estpas plus indétermination que question n'est solution ; et, d'ailleurs, il est de notion commune en mathématiques que l'indétermination n'affecte jamais que les questions mal posées : on peut toujours la faire disparaître en précisant davantage.

On devait, au reste, s'attacher encore plus à lever l'indétermination, dans ce cas, que dans le cas précédent; caria laisser subsister alors devait équivaloir à l'introduire partout, ou, du moins, en tous les points

où -^ serait réel. En effet, pour la faire naître en un pareil point, il eût

suffi de donner d'avance à l'axe des y une direction parallèle à la tangente au lieu en ce point, d'où résulterait qu'une question déjà traitée, dont on aurait la solution complète, aurait été indéterminée si on avait placé autrement le point de vue ! C'est là de la philosophie de l'autre monde et qui répugne un peu trop.

La difficulté que présente le cas dont il est question n'est du reste pas bien considérable.

Les points dont il s'agit correspondent auxpoints du contour apparent, par rapport à l'axe des x, du lieu dont l'ordonnée serait la dernière dérivée dont les valeurs restent confondues ; la question est donc la

môme, soit que ce soit — ^^ dont deux ou plusieurs valeurs deviennent en

même temps infinies, les valeurs correspondantes de - — ^ restant finies,

mais égales, ou que ce soit simplement -^ dont plusieurs valeurs deviennent en même temps infinies, les valeurs correspondantes de y restant finies, mais égales.

Or, si la fonction doit passer par une de ses valeurs multiples où les

valeurs correspondantes de y deviennent infinies, la difficulté de savoir

ce qu'elle devient ensuite, tenant simplement à ce que l'axe des y avait une direction telle que la vue se trouvât gênée, ce qu'il y avait à faire devait ôtre simplement de changer cette direction et de recommencer le calcul. Le premier exemple venu montre en effet que l'indétermination disparaît alors complètement.

Le cas où y prend une valeur infinie ne devait pas être plus difficile à traiter que les deux précédents.

En effet, lorsqu'une question concrète aura donné lieu à considérer une des variables dénommées, dans un état de grandeur dépassant toute limite, cette môme question, si elle est bien posée, fournira toujours un moj'en desavoir comment la variable considérée revient de l'infini.

L'infini n'est jamais que relatif, il ne se présente que quand on ne veut pas l'éviter : à telle variable qui devient infinie dans les équations qu'on a posées pour traiter la question, il en correspond des milliers d'autres qui auraient pris des valeurs correspondantes finies; c'est à l'opérateur h substituer à propos l'une d'elles à celle qui tombe dans un cas singulier.

Si y devient infini, on étudiera la marche d'une autre variable qui ne devienne pas infinie en même temps que y : par exemple, on étudiera

la marche de -, les variations de - feront connaître sans difficulté celles

dey.

Ce que je viens de dire de la continuité des fonctions suggérait naturellement un doute fort grave relativement i\ l'exactitude de la règle de convergence donnée par M. Cauchy : n'était-ce pas à tort qu'on avait compris les points multiples parmi les points critiques capables d'arrêter le développement? Comme la fonction restait finie, si la série devenait divergente, ce ne pouvait ôtre que pour échapper, sous une forme illusoire, à l'obligation de fournir les différentes valeurs que pourrait prendre la fonction au delà du point multiple.

Mais si cette prétendue obligation pour la série, dans le cas où elle serait restée convergente, de représenter simultanément les ordonnées des différentes branches émergeant du point multiple, n'était qu'une conception chimérique, on ne verrait plus pourquoi la série serait tenue de devenir divergente au delà du point multiple.

Or, si la série restait convergente, elle resterait continue, sa dérivée le resterait également, la fonction représentée par la série ressortirait donc du point multiple avec le coefficient difi'érentiel sous lequel elle y était entrée, par conséquent la série continuerait de ne représenter qu'une seule des valeurs de la fonction.

Ainsi un motif sérieux de doute venait s'ajouter aux invraisemblances que j'ai signalées plus haut.

Mais il n'y avait pas lieu de songer encore à essayer de résoudre toutes les difficultés que devait présenter la série de Taylor. Car si la règle de convergence de la série était par hasard inexacte, on n'aurait de moyen de le savoir qu'autant qu'on serait en possession d'une méthode directe pour suivre la fonction dans ses variations continues, de manière à pouvoir assigner la valeur à laquelle elle serait parvenue lorsqu'on aurait fait suivre h la variable un chemin donné.

Eu effet, j'ai bien consenti, dans ce qui précède, à appeler, ave€ M. Puiseux, point critique, un point ayant pour coordonnées les parties réelle. et imaginaire d'une valeur de la variable pour laquelle une des formes de la fonction prendrait une valeur infinie, ou pour laquelle quelques formes de la fonction prendraient des valeurs égales. Mais le passage de la variable par un pareil point ne saurait bien évidemment, malgré le signal d'alarme élevé par le maître, offrir aucune particularité critique, qu'autant que la fonction, partie de sa valeur initiale donnée, et assujettie jusque-là à la condition de continuité, parviendrait alors effectivement à une valeur infinie ou multiple et non pas à une valeur finie et simple répondant à la même valeur de la variable.

C'est seulement en eftet le passage de la fonction par une de ses valeurs infinies ou multiples qu'on peut qualifier de critique et non pas le passage de la variable par sa valeur correspondante.

Or pour savoir si un entre autres 'des points critiques pourrait arrêter le développement, il faudrait savoir si la .fonction arriverait à sa valeur critique correspondante, lorsque la variable passerait, par le chemin assigné, de sa valeur initiale à sa valeur critique considérée.

En essayant de fonder d'abord la théorie de la série de] Taylor, afin de pouvoir ensuite confiera cette série le soin de fournir de proche en proche les valeurs successivement prises par la fonction, M. Puiseux avait tenté l'impossible, et cela expliquait les erreurs oii il paraissait être tombé. Ainsi, par exemple, admettre que la série devînt nécessairement divergente au point critique le plus voisin du point de départ revenait implicitement à proclamer que bien que la fonction eût en général, pour la valeur de la variable correspondant à ce point critique, des valeurs simples et finies, en même temps que des valeurs infinies ou multiples, ce serait toujours à une de ces dernières que la série viendrait aboutir. Le fait, quoique singulier, pouvait être vrai, mais il fallait le contrôler, surtout à cause de son invraisemblance. Or M. Puiseux s'était ôté les moyens de le faire.

En résumé, l'ordre des questions avait évidemment été renversé, et pour remettre toute la théorie en équilibre, il fallait d'abord essayer de résoudre directement cette question : Étont données la suite des valeurs

de la variable et la valeur initiale de la fonction, trouver la valeur finale de cette fonction .

Je n'entrerai ici dans aucun développement au sujet de la méthode que j'ai employée pour résoudre cette dernière question. Cette méthode se réduit au fond à substituer à la discussion de la marche de la fonction imaginaire y, celle de la marche de la caractéristique du point mobile.

Le lieu correspondant à l'équation f{x,i/)=Oqui définit la fonction y, étant déjà décomposé en conjuguées de toutes caractéristiques, ayant pour enveloppes réelle et imaginaire deux courbes connues, et aussi faciles à construire que la courbe réelle, au moyen de leurs tangentes, de leurs asymptotes, de leuis cercles osculateurs, etc., pour savoir ce que

serait devenu y = a' -|- ,ft' V — 1 , lorsque x= ol-\- [6 sj — 1 aurait passé

de sa valeur initiale ar^ = «^ -|- p,, y — ^^ ^ ""6 quelconque de ses valeurs, en suivant un chemin donné ^ (a, ^) = 0, il suffirait de savoir à chaque instant sur quelle conjuguée se trouvait celui des points [.r, y] qui était parti du point de départ, sur quelle branche de cette conjuguée il se trouvait et de quel côté il était placé par rapport au point de contact de cette branche avec l'une ou l'autre enveloppe.

Or la question ne comporte jamais de difficultés d'un autre ordre que celles qu'on rencontre dans la discussion des courbes. Toute la différence consiste en ce qu'au lieu d'une seule courbe, la question, par sa nature même, en embrasse une infinité, mais la discussion s'en fait, pour toutes, par l'étude des mômes questions, l'emploi des mômes moyens, la résolution, s'il y a heu, des mômes équations.

La question ne sort en réalité pas des bornes de la géométrie analytique élémentaire. Inabordable pour M. Puiseux, qui ne se servait d'aucune cla'ssification des solutions imaginaires, elle était au contraire, pour ainsi dire, résolue d'avance dès qu'on faisait usage de la classification quej'ai adoptée.

La méthode se compose seulement de quelques règles très-simples pour reconnaître les passages du point mobile, des conjuguées qui touchent la courbe réelle sur celles qui touchent l'enveloppe imaginaire, des conjuguées qui touchent une branche de l'une des enveloppes sur celles qui touchent une autre branche, d'une branche d'une conjuguée particulière sur une branche différente d'une conjuguée infiniment voisine, enfin d'un côté à l'autre d'une branche de conjuguée par rapport au point où cette branche touche l'une ou l'autre enveloppe.

Toutes ces règles étant très-faciles à découvrir, il n'est pas nécessaire d'en parler ici, mais je crois utile de signaler, à propos de la question dont il s'agit, un fait qui prendra peut-être une grande importance au point de vue algébrique.

Deux quelconques des m points réels ou imaginaires, construits comme je les construis, ayant même abscisse et pour ordonnées les m valeurs de y tirées d'une équation algébrique

de degré m par rapport à y, seraient toujours séparés l'un de l'autre, au moins par une conjuguée issue d'un des points critiques, c'est-à-dire d'un point où les dérivées de y par rapport à x deviennent infinies à partir d'un certain ordre. (On verra plus tard que ce sont les seuls points vraiment critiques.)

Cette remarque s'est présentée à moi, d'elle-même, dans la discussion de la marche simultanée des diverses valeurs de y déterminées par les équations que j'ai traitées.

Je n'ai pas de démonstration directe du fait, mais la théorie de Cauchy en lournit une très-simple, dont je lui fais hommage. En effet, d'après cette théorie, pour qu'une permutation puisse s'effectuer entre deux valeurs dey, il faut que le point [a, [â] correspondant h. une valeur

a -f- 1^ V — 1 de ar, aille faire quelques tours autour de l'un des points [«, b], [aj, ô,],etc., qui correspondent aux valeurs critiques a -j- b\J — 1,

«1 + *i V^ — '•' ^^^-1 de a?, et, bien entendu, que la valeur de y qui doit venir àla fin occuper la place d'une autre, ait pris, aux environs du point critique utile, la valeur d'une des formes de la fonction dont les dérivées y deviennent infinies à partir d'un certain ordre. Or pendant les évolutions autour du point critique, nécessaires pour permettre la permutation future de deux valeurs de y, le point [x, y], construit comme je le construis, aura passé sur la conjuguée qui contient le point qui, dans mon système, correspond au point critique de M. Cauchy. Le théorème de M. Cauchy revient donc à dire que les m points d'un même lieu / (x, y) = 0, qui ont même abscisse, sont à chaque instant séparés les uns des autres par une ou plusieurs des conjuguées qui passent par les points critiques. Cette démonstration n'est sans doute pas assez positive pour qu'il soit certain que l'énoncé du fait ne doive subir aucune modification. Mais le fait restera certainement.

J'avais consacré au travail que je viens d'analyser une partie de l'année 1856. J'étais déjà d'ailleurs en possession de plusieurs rectifica-i tions à faire à l'énoncé de la condition de convergence de la série de Taylor , et je pensais pouvoir résoudre les autres questions qui me préoccupaient à son sujet. Je me préparai à ouvrir une nouvelle campagne.

Mais il me fallait d'abord revenir en arrière, car j'ai toujours tenu à

ce que l'ordre de mes publications restât conforme à l'ordre naturel des questions traitées et j'ai souvent différé la publication d'un mémoire que d'autres devaient précéder, mais où je me trouvais arrêté.

Je n'avais dans mon mémoire de 1853, envisagé, au point de vue de leurs périodes, que les intégrales simples et doubles. Mais le procédé qui m'avait réussi pour passer des intégrales simples aux intégrales doubles était de nature à pouvoir servir dune manière générale à passer des intégrales d'ordre m aux intégrales d'ordre (m + I); il n'y avait qu'à le mettre en œuvre et je sentais que j'y réussirais.

Mais je crus bon, pour remettre mon esprit à une allure convenable, de commencer par compléter la théorie des intégrales doubles.

La difficulté élait plus considérable que je ne l'avais cru d'abord, et je ne la levai pas encore entièrement cette fois.

La première question qui se présentait était de définir une intégrale double d'une façon applicable à tous les cas et d'en assigner les limites. Celle-là pouvait se résoudre de la manière suivante à laquelle je m'arrêtai alors.

Les limites de l'intégrale pourraient être deux courbes fermées, tracées sur la surface dont z serait la fonction de x et de ?/, explicite on

implicite, placée sous le signe / , ou, plutôt, deux courbes fermées dont

les coordonnées, réelles ou imaginaires,' satisferaient à l'équation de cette surface ; et le mode de génération de l'intégrale serait réglé par le mouvement d'une courbe mobile qui se déplacerait, en se déformant suivant une certaine loi, de manière à passer de la courbe formant la limite inférieure à la courbe formant la limite supérieure.

Soit/(,r, y, z) = 0 l'équation qui définit la fonction z placée sous le signe d!intégration, les parties a et p, a' et [i', a" et ^" de x, y Qi z étant assujetties aux conditions dans lesquelles se décompose

pour définir une courbe tracée sur le lieu, il faudrait ajouter trois équations à ces deux-là. Si ces trois équations contenaient un paramètre arbitraire a, les cinq équations, pour chaque valeur de a, représenteraient une courbe tracée sur la surface, et si a variait d'une manière continue, la courbe en question décrirait une partie du lieu, partie dont les limites, et par suite celles de l'intégrale, correspondraient aux valeurs extrêmes de a.

Dans cette hypothèse, on pouvait supposer successivement que la courbe mobile parcourût la surface réelle, une seule conjuguée, des conjuguées ayant leurs cordes réelles parallèles à un même plan et sur lesquelles elle passerait successivement, des conjuguées ayant leurs

cordes réelles parallèles i\ toutes sortes de directions, mais sur lesquelles elle passerait encore successivement, sans cesser jamais de se trouver entièrer^ent contenue sur une d'elles; enfin on devait examiner le cas où la courbe mobile se trouverait à chaque instant composée de points appartenant à toutes sortes de conjuguées dont les caractéristiques varieraient d'une manière continue avec les positions de ces points.

Dans le premier cas, l'intégrale représentait naturellement le volume compris entre le plan des xy, la portion de la surface réelle décrite par la courbe mobile et le cylindre projetant cette courbe sur le plan des xy.

Dans le second cas, l'intégrale s'interprétait tout aussi aisément par rapport à la conjuguée contenant la courbe mobile; seulement le cylindre enveloppant le volume considéré ayant alors ses génératrices parallèles aux cordes réelles de la conjuguée en question,' il faudrait <ijouter à ce volume la valeur de l'intégrale simple construite de manière à représenter, si la courbe mobile était réelle, la différence entre les volumes du cylindre précédent et de celui qui projetterait la courbe mobile sur le plan des xy, parallèlement à l'axe des z.

Dans le troisième cas, l'intégrale se compose à chnque instant, sauf des parties complémentaires, représentées par des intégrales simples, analogues à celle dont il vient d'clre question, du volume correspondant à la portion de l'aire de la conjuguée à laquelle appartient la limite inférieure, comprise entre cette limite inférieure et la courbe de contact de cette conjuguée avec la surface réelle; du volume correspondant à la portion de la surface réelle comprise entre' la courbe de contact dont il vient d'être parlé et la courbe de contact de la même surface réelle avec la conjuguée à laquelle appartient la limite supérieure mobile; enfin du volume correspondant à la portion de la conjuguée à laquelle appartient la limite supérieure comprise entre la courbe de contact de cette conjuguée avec la surface réelle et la limite supérieure. C'est du moins l'interprétation qu'on peut donner de l'intégrale lorsque la figure s'y prête, car si les courbes de contact de la surface réelle avec ses conjuguées étaient illimitées, ce mode d'interprétation ne conviendrait plus et il en serait ^ plus forte raison de même, si les conjuguées sur lesquelles se mouvrait la courbe mobile ne touchaient plus la surface réelle.

Quant au dernier cas, qui à la vérité ne présente aucun intérêt au point de vue géométrique, l'interprétation que l'intégrale eût pu alors comporter était trop compliquée pour être d'une utilité pratique.

La question n'était donc pas complètement résolue. D'ailleurs je ne m'étais pas même préoccupé d'étendre aux intégrales doubles le théoréfne de l'indépendance de l'intégrale envers le chemin, les limites

restant les mêmes, théorème que j'avais jusque-là admis, d'après Cauchy, pour les intégrales simples.

Toutefois l'interprétation de l'intégrale double, dans les cas simples énoncés plus haut, permettait de concevoir la génération des périodes réelles ou imaginaires dans des conditions bien plus générales que celles que j'avais considérées d'abord, et cela me suffisait pour le moment.

La théorie des intégrales doubles étant ainsi à peu près complétée, je me mis immédiatement à celle des intégrales d'ordre quelconque, mais sans autre but que d'en déterminer les périodes.

Je reconnus aisément que les sommes d'éléments compris dans la formule

^nP{x,y,...)dxdy..,

resteraient les mêmes, pour tous les systèmes fermés de ^toutes parts, de valeurs de x, y..., F, dans lesquels les parties imaginaires ûqx, y..., F seraient comme des nombres donnés Cj, C2...C„ + i, quelles que fussent ces constantes. C'était tout ce que je voulais savoir.

Si l'ensemble des solutions réelles de l'équation qui déterminait F était limité de toutes parts, l'intégrale aurait pour période réelle sa valeur définie correspondant à cet ensemble de valeurs réelles, et si la même équation comportait des systèmes fermés de toutes parts, désolations imaginaires ayant leurs caractéristiques variables entre certaines limites, la valeur constante de 1 intégrale définie, correspondant à un de ces systèmes, serait une période imaginaire de cette intégrale.

Il s'agissait d'abord de produire ce dernier travail.

J'avais été pendant quelque temps chargé de la direction du journal la Science, après la retraite de M. Blum, et j'avais eu alors le plaisir de rendre quelques services à M. Boutigny d'Évreux, dont les recherches sur les corps à l'état sphéroïdal m'avaient séduit et me paraissent encore donner la seule explication admissible des explosions foudroyantes des chaudières à vapeur. J'étais resté en relations avec ce savant aussi modeste que distingué, et comme il voyait souvent M. Babinet, il me mena chez lui. Je n'ai pas besoin de dire que je trouvai le plus grand charme à la conversation de cet homme d'esprit. Je retournai le voir de temps en temps et je fus ainsi amené à le prier de se ch^arger de présenter à l'Académie des sciences mon mémoire sur les périodes des intégrales d'ordre quelconque.

M. Babinet était curieux de toutes choses, môme d'imaginaires. Avant de se faire à moi, il voulut m'éprouver et me proposa quelques petites questions, assez intéressantes du reste, dont il avait en vain cherché et demandé la solution. En voici quelques-unes :

On fait glisser un cercle dans un autre fixe, de moindre rayon, de manière que le plan du cercle mobile se déplace parallèlement à luimême et que les deux cercles se rencontrent toujours en deux points. On engendre ainsi une surface qui semblerait devoir être comprise entre Jes plans qui contiennent le cercle mobile dans celles de ses positions où il est tangent au cercle fixe. Cependant, si on cherche Téquation du lieu engendré, on trouve que la surface est illimitée et que le cercle mobile a continué son mouvement d'une façon régulière, après avoir perdu ses guides. M. Babinet voulait d'abord savoir comment la chose se pouvait, et en second lieu comment le cercle était dirigé dans son mouvement, lorsqu'il ne rencontrait plus le cercle fixe. — Je lui montrai aisément qu'après que les deux cercles sont devenus tangents, celles de leurs hyperboles conjuguées dont les cordes réelles sont parallèles à la corde jusque-là commune, glissent ensuite l'une dans l'autre, dans les mêmes conditions que les deux cercles, dans la période précédente, et que c'est la conjuguée du cercle mobile qui guide alors le mouvement de ce cercle. Je généralisai ensuite la question en substituant aux deux cercles des courbes quelconques, et je fis voir à M., Babinet que l'explication du fait restait la même dans tous les cas.

Si on donne deux côtés a et é d'un triangle avec l'angle A opposé à l'un d'eux a, et que le triangle soit impossible ; ou si l'on donne les trois côtés d'un triangle et que l'un d'eux soit plus grand que la somme des deux autres, on n'en peut pas moins résoudre le triangle en appliquant les formules de trigonométrie. M. Babinet demandait à quoi se rapportaient les résultats. Je lui montrai qu'ils se rapportaient aux triangles qui auraient pour troisième sommet, dans le premier cas, le point de rencontre du second côlé de l'angle A avec celle des hyperboles conjuguées du cercle décrit en vain de l'extrémité de é, qui avait ses cordes réelles parallèles à ce second côté de l'angle A^ et, dans le second cas, le point de rencontre des hyperboles conjuguées des deux cercles décrits en vain, qui avaient leurs cordes^réelles perpendiculaires à laUgne "de leurs centres. Et je lui fis voir par surcroît que si l'on calculait dans l'un ou dans l'autre cas, à l'aide des formules trigonométriques, la surface du triangle propose, on obtiendrait au facteur v^ — 1 près la surface même du triangle construit par les intersections hyperboliques.

Là-dessus M. Babinet prit mon manuscrit et le porta à l'Académie des sciences. La présentation eut lieu dans la séance du 12 avril 1858.

Voici l'extrait qui parut dans le Compte rendu. J'en ai seulement retranché quelques longueurs.

NOTE RELATIVE AUX PÉRIODES d'uNE INTÉGRALE d'oRDRB QUELCONQUE. .

« MM. Cauchy et Sturm ont présenté à l'Académie des Sciences, dans la séance du 8 mai 1834, un Rapport d'oîi il résulte que, dans un Mémoire déposé par moi le 7 mars 1833, j'ai démontré entre autres choses les théorèmes suivants.:

« 1° Si l'on réunit en un seul groupe toutes les solutions imaginaires d'une même équation /(a:, y) =0, oîi le rapport des parties imaginaires de ?/ et de x serait constant, C, et qu'on construise la courbe dont les points auraient pour coordonnées les valeurs trouvées pour y et X; mais dans lesquelles y — 1 aurait été remplacé par 1 : cette courbe variera de position et de forme avec C, mais si, outre d'autres branches, elle présente un anneau fermé, compris entre deux branches de la courbe réelle, la surface comprise dans cet anneau ne dépendra pas de C, et multipliée par y — 1 elle donnera l'une des périodes imaginaires de l'intégrale ^ ydx.

« 2° Si l'on réunit toutes les solutions imaginaires d'une même équation f[x, y, z) = 0, où les rapports des parties imaginaires de z et de x, ^e z et de y, seraient constants, C et G', et qu'on construise la surface dont les points auraient pour coordonnées les valeurs trouvées pour X, y et z, mais dans lesquelles y/ — 1 aurait été remplacé par 1, cette surface variera de position et de forme avec C et C, mais si, outre d'autres nappes, elle se compose d'une surface fermée de toutes parts, le volume enveloppé par cette surface sera constant, c'est-à-dire ne dépendra de C ni de C, et le produit de ce volume par s/ — 1 sera l'une des périodes imaginaires de l'intégrale V z dx dy.

« Des considérations géométriques simples rendent raison de ces faits. Mais les démonstrations que j'ai proposées ne pourraient pas être reproduites pour les intégrales d'ordre supérieur au second, intégrales dont je ne m'étais en effet pas occupé.

« Je me propose, dans cette Note, d'établir, relativement à une intégrale de l'ordre n d'une fonction d'autant de variables x, y, z,..., u, t,

j F{x,y,z,...u,t)dx.dy.dz...du.dt,

que si l'on groupe les solutions imaginaires de l'équation qui donne implicitement la fonction F, en réunissant toutes .celles oii les parties imaginaires de x, y, z,..., m, t, F seraient comme des nombres constants C,,C,,...,G,„ Cn+i, et que dans chaque système il existe un ensemble de

solutions continues, fermé de toutes parts, qui sera d'ailleurs limité par des solutions réelles, la valeur de l'intégrale prise dans l'intérieur de ces limites sera une quantité constante, qui fournira l'une des périodes imaginaires de l'intégrale générale.

« La recherche d'une intégrale composée, lorsque les variables dont elle dépend ne doivent prendre que des valeurs réelles, peut se ramener à des intégrations successives sans préparation préalable ; mais il n'en est plus de même lorsque ces variables doivent passer par des valeurs imaginaires.

« Dans ce cas, pour définir l'intégrale dont on veut s'occuper, comme chaque variable imaginaire en représente en réalité deux, il faut d'abord réduire le nombre des variables vraiment distinctes à l'ordre de l'intégrale qu'on veut former, c'est-à-dire lier entre elles les parties réelles et imaginaires des variables dont dépend la fonction placée sous le signe sommatoire, par des relations en nombre suffisant pour que celles de ces parties, qu'on pourra alors considérer comme indépendantes, soient en nombre égal à celui qui représente l'ordre de l'intégrale.

« Ces dispositions prises, on ne pourrait génénUement plus faire varier séparément et successivement entre leurs limites respectives les variables dont dépendait Fintégrale. Les éléments qu'on engendrerait ainsi n'appartiendraient plus à la somme qu'on voulait former.

(( Pour rimener à des intégrations successives la formation de l'intégrale proposée, il faudra substituer des variables réelles aux variables imaginaires dont elle dépendait d'abord.

« Une pareille transformation est toujours possible, puisqu'on pourrait en tout cas prendre pour nouvelles variables les parties réelles ou affectées du signe y — 1 des variables primitives; mais dans le cas qui nous occupe, le changement de variables se fera plus aisément.

« Si les parties imaginaires de x, y, z,..., u, t, F doivent être comme Cl, Cj,..., Gn-\, Cn, Cn+i : cn posant

les nouvelles variables indépendantes^', y', z',..., u', t' seront devenues toutes réelles, et l'intégrale proposée pourra s'écrire

j dx'j dy'j dz', ... j du' l F^ {x', y\ z',... u', t')d t,

les limites de chaque intégration devant être déterminées par ces conditions que la variable indépendante et la variable dépendante y soient réelles.

« Cela posé, nous avons h démontrer que l'intégrale resterait la même, quelques valeurs qu'on donnât à Cj, C^;..., C«, Cn+i. Il suffira pour cela de ftiire voir qu'on pourrait faire varier arbitrairement l'un de ces coefficients caractéristiques, Cn par exemple.

« Or, le premier des théorèmies que nous avons rappelés ne signifie autre chose, si ce n'est que la valeur d'une intégrale simple prise entre des limites oîi la variable et la fonction sont réelles, a sa partie imaginaire formée par addition ou soustraction des termes de progressions par différence dont les raisons seraient les moitiés des diverses périodes imaginaires de cette intégrale ; de telle sorte que si les limites varient infiniment peu, ainsi que les valeurs intermédiaires des variables, pourvu que la fonction et la variable à leurs limites restent réelles, la partie imaginaire de l'intégrale ne varie pas.

« Imaginons donc que nous ayons remplacé les variables a;, y, z,,..,u, seulement, par leurs correspondantes x', y' , 2',..., m', et que nous ayons

donné à a;', y\z',..., i/des valeurs fixes : l'intégrale ^ Ydt, prise entre

des limites réelles, d'ailleurs quelconques, par rapport à ^ et à F, aura

pour partie imaginaire une quantité indépendante de rr—-, qui sera par

conséquent toujours la même fonction de x\ y', s',..., w'. Gela posé, cette fonction G étant trouvée, l'intégrale cherchée,

'i C fdx'dy' fdz'... fcdu',

que l'on obtiendra en prenant pour limites de chaque intégration les valeurs de la variable dont la différentielle entre sous le signe / , pour lesquelles l'intégrale précédente serait nulle, ne dépendra évidemment

pas de - — . »

Li/i+i

Ce furent MM. Lamé etHermite qui furent nommés commissaires pour examiner mon travail, mais je ne comptais pas leur demander de rapport, je me réservais pour la série de Taylor.

Aussitôt cette affaire terminée, je me mis à la rédaction de ma méthode pour suivre dans leurs variations les valeurs d'une fonction multiple définie par une équation algébrique entière.

Lorsque ce fut fait, craignant d'abuser de la complaisance de M. Babinet, j'écrivis au président de l'Académie pour demander la parole pour une communication. M. de Sénarmont, qui était alors président, me l'accorda gracieusement dès la séance suivante, le 26 juillet 1858.

Voici l'extrait que je remis pour le compte rendu. J'en ai, comme du précédent, retranché quelques longueurs.

NOTE SUR LA MARCHE DES VALEURS d'uNE FONCTION IMPLICITE DÉFINIE PAR UNE ÉQUATION ALGÉBRIQUE.

« Lorsqu'une fonction peut prendre plusieurs valeurs pour une même valeur de la variable dont elle dépend, mais que cependant il ne correspond à chaque couple de valeurs de la variable etde la fonction qu'une seule valeur de la dérivée de la fonction, les deux variables partant de valeurs initiales déterminées, si elles sont d'ailleurs assujetties à varier d'une manière continue, deviennent des fonctions bien déterminées l'une de l'aufre ; en sorte que, si la marche de la variable a été fixée, on peut se proposer de rechercher ce que sera devenue la fonction, lorsque la variable aura passé de sa valeur initiale à une autre valeur quelconque, en suivant le chemin convenu.

« Cette question, qui a été d'abord posée et traitée par M. Cauchy, n'a jamais, depuis, été "soumise à une autre méthode que celle qu'avait proposée l'illustre maître.

« Cette méthode, cependant, ne paraît pas pouvoir s'adapter à l'é tude des fonctions de plusieurs variables, elle ne conduit qu'à une solution très-imparfaite de la question lorsque le chemin décrit par la variable indépendante n'est pas fermé; enfin elle paraît attribuer une importance trop considérable aux points qui ont pour af/txes les valeurs de la variable pour lesquelles la dérivée de la fonction devient infinie. Ces points se distinguent des autres par un caractère analytique saillant, mais actuel et subjectif; ils n'ont de remarquable que d'appartenir, en raison de la position du point où l'on s'est placé pour voir, au contour apparent du phénomène dont l'équation qu'on étudie traduit la loi. Je me suis proposé d'étudier la question par une méthode plus directe : j'ai traité d'abord le cas oh l'équation proposée ne serait que du second degré par rapport à la fonction, parce que ce cas se rencontre le plus fréquemment dans la pratique, qu'il ne présente aucune difficulté d'aucun genre et que la solution qu'il comporte permet de préjuger celle qui convient aux autres cas.

0 Soit la fonction y = PdbVQ, P et Q étant des fonctions rationnelles de a: : il est évident que le^ deux valeurs de y ne pourront se permuter que lorsque les deux parties réelle et imaginaire de y — P auront successivement changé désigne en passant par zéro, puisqu'on ne donne pas h X de valeur qui annulerait Q ou le rendrait infini. Or la partie réelle de y — P ne peut s'annuler que lorsque x prend une valeur réelle qui rende Q négatif, et sa partie imaginaire ne peut s'annuler que lorsque X prend une valeur réelle ou imaginaire qui rende Q positif; on ne peut donc avoir à se préoccuper que des passages de x par ces trois genres de valeurs.

— lOi —

« On discute ainsi, sans recourir au développement de la fonction en série, toutes les équatiqns qui ne la contiennent qu'au second degré.

« La même méthode pourrait être étendue aux équations de degré supérieur, car deux valeurs conjuguées de y ne pourront se permuter l'une dans l'autre qu'autant que les parties réelle et imaginaire de leur demi-difïérence auront successivement changé de signe en passant par zéro, c'est-à-dire, en désignant par z cette demi-différence, qu'autant que le point [x,z\ aura successivement, d'une part, traversé la conjuguée C = oo de la courbe dont l'ordonnée serait z, et de l'autre, soit passé sur cette courbe en la rasant, soit traversé sa conjuguée G = 0.

« Les passages des deux premiers genres correspondent à des passages du point[a:,?/]surla conjuguée C = oo de la courbe proposée ou sur cette courbe elle-même, mais les passages du point [x^z] sur la conjuguée G = 0 de la courbe dont l'ordonnée serait z, ne pourraient être observés qu'autant qu'on connaîtrait l'équation en z, et il serait illusoire, dans la plupart des cas, de proposer de rechercher cette équation.

« Pour lever les dernières difficultés que comporte la question, on suivra de proche en proche la marche de chacun des points [x,y] sur les conjuguées de la courbe représentée par l'équation proposée.

« Les conjuguées qui touchent la courbe en ses points singuliers sont habituellement les limites de portions du plan occupées par des catégories différentes de conjuguées ; les passages du point mobile [x,y'] sur ces conjuguées devront donc être relevés avec soin, pour qu'on sache toujours à quelle catégorie appartiennent les conjuguées sur lesquelles le point [x, y] s'est transporté.

« Les points de contact des diverses conjuguées avec leurs deux enveloppes réelle et imaginaire les séparent en branches différentes ; les passages du point mobile [x,y] sur l'une ou l'autre enveloppe devront donc aussi être observés avec attention, pour qu'on sache toujours sur quelle branche de la conjuguée à laquelle il appartient, se trouve le point mobile. Je montre qu'il sera toujours facile à chaque passage de savoir s'il a changé ou non de branche.

u J'ai discuté de cette manière l'équation y^ — a^y-{-a^x=^Q. »

— joy —

M. de Sénarmont désigna comme commissaires MM. Liouville, Lamé et Hermite.

Je commençais à y voir un peu pins clair dans la théorie de la série de Taylor, J'étais déjà certain que la convergence de cette série ne pouvait pas être arrêtée par un point multiple où les dérivées des diverses valeurs momentanément égales de la fonction se sépareraient à un ordre suffisamment élevé.

J'étais arrivé à cette conclusion en remarquant qu'une série ordonnée suivant les puissances croissantes de la variable est convergente ou divergente en même temps que toutes ses dérivées et intégrales, sauf, bien entendu, le cas douteux où le rapport des modules de deux termes consécutifs tendrait vers 1.

11 en résultait immédiatement en effet que, si le développement de la fonction était arrêté en un point où s^s dérivées se séparassent à partir d'un certain ordre, les dérivées d'ordres supérieurs de cette fonction cesseraient d'être développables alors qu'on n'aurait rencontré aucun point critique relativement à elles, ce qui eût renversé toute la théorie.

Au reste l'hypothèse était encore plus absurde à un autre point de vue : car en admettant que le développement de l'ordonnée fût arrêté par un point multiple où les tangentes se trouvassent distinctes, le périmètre de la région de convergence passerait par ce point, et quelle que fût celle des branches qui s'y rejoindraient à laquelle on le supposât tangent, il couperait toutes les autres de sorte que chacune de ces autres branches aurait, comme la première, un arc plus ou moins étendu compris dans la région de convergence, et qu'ainsi la série, qui n'a jamais qu'une valeur, représenterait à la fois les ordonnées de toutes les branches qui iraient concourir au point multiple.

Ainsi l'empêchement qu'on supposait devoir exister au delà du point multiple se présenterait déjà en deçà. L'hypothèse était donc absurde : les points multiples où les dérivées de la fonction finiraient par se séparer ne devaient pas être conservés au nombre des points critiques, la série les traverserait sans embarras, comme j'avais déjà été amené à le supposer, en rétablissant la notion vraie de la continuité, et la fonction représentée par la série ressortirait du point multiple avec une valeur dont les dérivées d'ordres assez élevés fussent en continuité avec celles qu'elles avaient auparavant.

D'un autre côté, en suivant la marche des fonctions y définies par les équations

et

y^ — ^axy ^ ar* = 0,

j'avais eu plusieurs occasions de constater que, pour pouvoir se rendre d'un point de départ

à un point critique

Xn — an + bn sj— 1 yn = dn-\-yn\l—i,

il était souvent nécessaire que le point mobile [x, y\ allât prendre son passage au delà d'un autre point critique

Xp = ap-\-bp^\l^^ yp^a'p-]rb'psJ—\,

tel que le module de

(«i'-«o)-f-(^i>-Wv'^

dépassât celui de

K-«o)+(6n-po)\/^;

et j'en concluais d'une façon certaine que la convergence du développement, à partir du point [x^, yj, ne pouvait pas être arrêtée par le point {Xn, y)i], puisque pour pouvoir conduire près de ce point il eût fallu que la série pût conduire au delà du point [xp, yp], ce qui était impossible. Cela étant, la règle de Gauchy était fausse, le développement n'était pas toujours arrêté par le point critique le plus voisin du point de départ.

Je ne savais pas encore si je pourrais déterminer danschaque exemple la véritable limite de la région de convergence ; je ne savais pas davantage si je pourrais caractériser la valeur de y que donnerait la série, autrement qu'en disant avec M. Puiseuxque c'était celle qui était partie du point de départ, mais j'entrevoyais déjà la possibilité de résoudre ces deux questions, au moins dans quelques cas particuliers.

Cela étant, je songeai à publier ce qui était fait déjà et ce que je pourrais faire encore.

Trouver un éditeur, ce problème ne promettait que des solutions

imaginaires. Faire moi-même les frais de l'impression, il y avait incompatibilité. D'un autre côté, je ne voulais plus rien demander au journal de l'École polytechnique. Je m'adressai à M. Liouville par un petit mot dont je n'ai pas gardé copie.

M. Liouville fit mieux que de me répondre, il me fit l'honneur de venir chez moi, la veille de son départ pour Toul, et, ne m'ayant pas trouvé, dit à ma femme de me dire de préparer mon travail pendant les vacances et qu'il l'insérerait dans son journal après la rentrée (l8o7).

Je prenais moi-même des vacances pour la première fois cette année.

A la rentrée, j'avais d'avance trois articles pour M. Liouville. Le premier contenant un résumé succinct de mon premier ouvrage, résumé indispensable à l'intelligence de ce qui suivrait ; le second relatif aux périodes des intégrales simples, et le troisième à la théorie des intégrales doubles. Pendant le temps nécessaire à leur publication, je préparerais les suivants,

La publication de mes mémoires dans le journal de M. Liouville continua effectivement à raison d'un par mois ou par couple de mois.

Bour fut appelé à l'École polytechnique, en qualité de répétiteur de géométrie descriptive, au commencement de 1858. Il suivait mes travaux avec intérêt. Lorsqu'il fut nommé, l'année suivante, professeur de mécanique, il fallut le remplacer comme répétiteur de géométrie descriptive. Il me proposa la candidature à cette place et m'appuya chaleureusement dans le Conseil des études, ainsi que M. Lamé, mais je ne fus pas choisi. Du reste, mon concurrent, M. Rouché, s'était plus occupé que moi de géométrie descriptive.

Cette affaire présenta une particularité singulière : les habiles, pour me faire évincer, imaginèrent que j'étais trop âgé pour la fonction de répétiteur : et c'étaient eux-mêmes qui avarent tout fait pour m'empôcher d'arriver plus tôt I Bour était furieux, il disait : « Au moins, on invente une raison à laquelle on puisse répondre. » — De fait, deux ans après, j'étais encore assez jeune.

C'est en 1859 que parut la Théorie des fondions doublement périodiques de MM. Briot et Bouquet.

J'attendais cet ouvrage avec impatience, depuis qu'il était annoncé, non-seulement pour savoir si les erreurs de méthode et de doctrine que j'avais constatées dans le mémoire de M. Puiseux seraient maintenues, mais aussi dans l'espérance de pouvoir découvrir, dans une exposition probablement plus complète de la théorie du maître, l'origine de ces erreurs.

J'éprouvai sous les deux rapports une déception complète.

Les erreurs restaient bien les mêmes, mais elles n'étaient plus expri-

mées dans les mêmes termes précis dont s'était servi M. Puiseux. De simple, qu'il était auparavant, le galimatias était devenu double. Si le langage de MM. Briot et Bouquet n'avait été picard, on aurait juré que l'intention était normande.

J'étais depuis quelque temps déjà, comme je l'ai dit, certain que les points multiples oîi les dérivés de la fonction finissent par se séparer, avaient été rangés à tort parmi les pointscritiques. Mais j'en avais trouvé une nouvelle preuve : en supposant que les dérivées de tous les ordres de l'ordonnée de la courbe, au point multiple considéré, restassent toutes finies, les séries qui donneraient les ordonnées des diverses branches de cette courbe, développées à partir du point multiple, seraient toutes convergentes dans de certaines limites, or les intervalles correspondant à ces limites ne- pourraient pas instantanément se réduire à rien, lorsqu'on déplacerait infiniment peu le point de départ, lorsqu'on changerait infiniment peu la valeur initiale de la variable, le point multiple se trouverait donc au beau milieu de la nouvelle région de convergence.

Prenons par exemple l'équation

y = x\lï-\-x',

l'origine est un point double, les tangentes à la courbe y sont dirigées suivant les bissectrices des angles des axes; l'équation donne

dx 2VÏ+^'

les dérivées suivantes ne contiendront à leurs dénominateurs que le facteur 1 + a-, aucune d'elles ne sera donc infinie pour x == 0 ; elles auront d'ailleurs chacune -deux valeurs égales et de signes contraires.

Pour X =0,- ^ ==± 1, désignons par ± Ag, ±k^.... les valeurs des

autres dérivées au même point, aucune des quantités A^, A3... n'étant infinie, il existera pour x des valeurs d'un module assez petit pour que la série

soit convergente, et l'on peut, dès lors, affirmer que la limite supérieure du module de a; sera 1, parce que, l'origine étant écartée, il ne reste d'autre point critique que J7= — 1, y = 0.

Ainsi, le centre même de la région de convergence pourrait être un point multiple : il serait tout aussi facile de mettre le point multiple .dans la région de convergence, partout ailleurs qu'au centre :

En effet, reprenons la même équation

et transportons l'origine des coordonnées en un point y = 0, j? = — h, h étant réel, positif et aussi petit qu'on le voudra : l'équation deviendra

y = {x — h) sji — h-\- X,

les dérivées de la fonction, prises à la nouvelle origine, auront toujours chacune deux valeurs égales et de signes contraires ; elles différeront infiniment peu de ceiqu'elles étaient à l'ancienne origine; elles seront donc restées toutes finies, ce qui, au reste, est évident, puisqu'elles ne contiendront à leurs dénominateurs que le facteur 1 — h -\- x; par conséquent, la série

(-ks/î^h+B,x-\-B,f-^ +

suivant laquelle se développera y, sera convergente dans une certaine limite ; mais, d'un autre côté, les coefficients

etc.,

Bi,

diderant infiniment peu de

etc.,

les régions de convergence des deux séries ne pourront non plus différer qu'infiniment peu : en fait, la région de convergence, dans le second cas, sera limitée au point correspondant à x= l — h, parce que ce sera le seul point critique.

Ainsi, la fonction ' sera développable dans un intervalle comprenant un point multiple.

Il étaïc du reste facile de vériûer que la marche du point [x, y], réglée par la série de Taylor, obéirait, au moment du passage par le point double, aux conditions de continuité, telles que je les concevais.

En effet, la dérivée de la série

«lant représentée, dans l'intérieur de la région de convergence, par

elle se réduirait sensiblement à B,, pour x = h, si h était suffisamment petit, mais B, lui-même différerait infiniment peu de + 1, et comme cette dérivée ne pourrait être que + 1, ou — 1, elle serait donc rigoureusement égale à + 1-

Ainsi, en traversant sa valeur multiple, la fonction obéirait à la loi de continuité, dans ses dérivées de tous les ordres.

J'avais également fait, et du reste par des considérations analogues aux précédentes, un progrès important dans la question de savoir si la région de convergence était véritablement bornée au point critique le plus proche du point origine, c'est-à-dire à celui des points critiques dont l'abscisse, retranchée de celle du point de départ, donnerait la différence de moindre module.

Pour mettre l'erreur en évidence, il suffisait de supposer une courbe qu'une de ses tangentes parallèles à l'axe des y coupât ailleurs en un point simple, et de prendre ce point simple pour point de départ : la fonction et ses dérivées restant toutes finies en ce point simple, la série représentative de la fonction resterait convergente dans une certaine limite, et le point critique serait au centre de la région de convergence. Si on déplaçait ensuite infiniment peu le point de départ, la région de convergence se déformerait insensiblement, el le point critique en question viendrait prendre une place quelconque dans l'intérieur de cette région .

La règle de Cauchy était donc fausse.

Je fis à cette occasion une curieuse découverte dans le mémoire de M. Puiseux. Il avait justement considéré le cas que je viens de supposer, à propos de l'équation

en prenant pour x la valeur initiale 2, à laquelle correspondent deux valeurs égales dey et une valeur simple. Il avait naturellement trouvé que la valeur simple était développable, et cependant il avait maintenu la règle de Cauchy !

Gela s'explique, ou parce que ne représentant jamais la fonction et n'en étudiant pas la marche, M. Puiseux n'avait aucun moyen de savoir si X partant de 2 -|- ^5 à étant aussi petit qu'on le voudrait, pour revenir à 2, î/ parti de sa valeur voisine de — 2, qui est la racine simple correspondant à X = 2, ne parviendrait pas à -f- 1, qui est la racine double; ou en supposant qu'il n'eût pas conscience de la continuité nécessaire de la région de convergence, le point de départ se déplaçant lui-même d'une manière continue, hypothèse du reste assez plausible, car M. Puiseux n'eût pas été seul, à celte époque, à penser ainsi.

Enfin, je commençais à me rendre nettement compte du caractère

commun de tous les points vraiment critiques et de la raison pour laquelle la série devenait divergente en l'un d'eux.

L'incertitude devait nécessairement subsister^à l'un et à l'autre égard aussi longtemps qu'on aurait regardé les points simplement multiples, où aucune dérivée de la fonction ne devenait infinie, comme pouvant éventuellement, selon la place qu'ilsoccu peraient par rapport aux autres points critiques et au point de départ, limiter, dans certains- cas, la région de convergence.

En effet, si l'on pouvait, comme l'avait fait M. Puiseux, assigner pour caractère commun à tous les points critiques, la circonstance de l'égalité entre plusieurs valeurs de la fonction, car enfin fallait-il bien caractériser la criticité d'One façon uniforme, d'un autre côté il était impossible d'apercevoir aucune raison pour que la somme des termes de la série dépassât toute limite en un point multiple, tandis qu'il y en avait d'évidentes pour que cela arrivât en tous les autres points critiques.

Au contraire, les points multiples étant écartés, l'explication, en ce qui concernait les autres, se présentait d'elle-même à l'esprit.

En effet, s'il s'agissait d'un point où la fonction elle-même devînt infinie, la série y deviendrait naturellement divergente pour continuer de représenter encore cette fonction.

Et s'il s'agissait d'un point simple ou multiple, où les dérivées de la fonction devinssent infinies à partir d'un certain ordre, comme une série ordonnée suivant les puissarces croissantes de la variable est convergente ou divergente en même temps que toutes ses dérivées et intégrales, la série propre à représenter la fonction deviendrait divergente par raison collatérale, parce que l'une de ses dérivées devrait cesser d'être développable.

Il convient de remarquer à ce propos, pour expliquer comment la

série qui donne y devient divergente en un point où ~ est infini,

quoique y reste fini, que par série divergente il faut seulement entendre une série où le rapport des modules de deux termes consécutifs reste plus grand que 1, et non pas une série dont les termes donneraient une somme infinie ; de sorte que ce que la théorie constate, c'est que, en un

point où-r^ devient infini, la série suivant laquelle se développe y, présente ce caractère de divergence que le rapport des modules de deux termes consécutifs reste plus grand que 1, mais non pas que les termes indéfiniment prolongés donneraient une somme infinie. Il est donc raisonnable d'adAiettre que, dans le cas où y doit rester

fini, quand -j- devient infini, la série qui donne y reste finie tout en étant divergente, le mot divergence n'ayant pas d'ailleurs d'autre sens

que celui de non-convergence, puisque c'est déjà une condition de divergence que le module du terme général ne tende pas vers zéro, quoique, par suite des variations de signes d'un terme à l'autre, la somme dans ce cas puisse parfaitement ne jamais devenir infinie.

Ainsi les points vraiment critiques étaient seulement ceux où les dérivées de la fonction, à partir d'un certain ordre, devenaient infinies, l'ordre zéro correspondant à la fonction elle-même; et la série y devenait divergente soit parce qu'elle eût eu à représenter une grandeur infinie, soit parce qu'une de ses dérivées eût dû dépasser toute limite.

On retombait ainsi sur la règle admise quarante ans auparavant, et dont les travaux de M. Cauchy n'avaient eu d'autre efi'et que d'obscurcir l'évidence ; le terrain était déblayé, et il ne restait plus qu'à traiter les deux seules questions intéressantes que comportât la théorie de la série de Taylor, et dont M. Cauchy n'avait rien dit : 1° déterminer, pour chaque système de valeurs initiales de la variable et de la fonction, celui des points critiques où serait véritablement limitée la région de convergence ; 2° caractériser assez nettement celle des valeurs de la fonction qui aurait été développée, pour qu'on pût, pour chaque valeur de la variable, la discerner au milieu des autres, parmi les racines de l'équation qui définirait implicitement la fonction proposée.

J'étais assuré de pouvoir résoudre ces deux questions, mais pour pouvoir seulement les poser, il fallait avant tout renverser l'opinion accréditée de la coïncidence nécessaire entre le point d'arrêt de la convergence et le point critique le plus proche du point origine, puisque, dans cette opinion, la question même qu'il s'agissait de traiter n'aurait pas existé.

Je rédigeai donc un premier mémoire contenant la réfutation des erreurs dans lesquelles étaient tombés MM. Puiseux, Briot et Bouquet et la définition exacte des points critiques. J'adressai ce mémoire à l'Académie des sciences, mais sans donner de note pour les Comptes rendus.

Je désirais que M. Liouville voulût bien prendre connaissance de ce travail, et je lui écrivis le 7 novembre 1859.

« Monsieur, le théorème de M. Cauchy, que MM. Briot et Bouquet énoncent, page 26 de leur Théorie des fonctions doublement périodiques :

« Pour qu'une fonction soit développable en une série ordonnée suivant les puissances entières et croissantes de la variable et convergente dans un cercle décrit de l'origine comme centre, il faut et il suffit que la fonction soit synectique, c'est-à-dire soit finie, continue, monodrome et monogène dans ce cercle. »

« Ce théorème est complètement inexact.

« Les méthodes de M. Gaucliy me sont tellement antipathiques, que je ne lis jamais des ouvrages de ses disciples que les énoncés.

« Mais celui que je viens de transcrire contredisait plusieurs faits que j'avais observés moi-même, et j'ai voulu savoir quelle était l'idée fausse qui avait égaré M. Cauchy.

« Le galimatias était au moins double, en sorte que j'ai eu de la peine à m'en tirer, mais je crois y être parvenu.

« La lecture de mon mémoire vous sera tellement facile que je ne crois pas, en vous priant d'en prendre connaissance, abuser de votre bonté. »

J'allai voir M. Liouville quelques jours après, et je commençais à lui donner mes preuves de la fausseté du théorème, lorsqu'il me dit : « Mais il est bien certain que rien ne prouve à priori que la convergence soit arrêtée au point critique le plus proche du point origine. On n'en sait rien; il faudrait faire une discussion pour le savoir. Je ne sais pas comment ces messieurs entendent le théorème, mais je n'y vois que la fixation d'une limite en deçà de laquelle on est sûr que la série est convergente ; au delà, il y a doute. ;»

Puis il me dit quelques mots des mémoires de M. Lamarle sur la question, mémoires dont je n'avais jamais entendu parler.

Par suite de cette indication, je crus devoir attendre, avant d'insister pour l'examen de mon dernier mémoire, que j'eusse vu ceux de M. La- . marie.

J'écrivis à ce savant :

,« Monsieur, M. Liouville a bien voulu accepter, pour le Journal de mathématiques, un mémoire de moi, dont quatre articles, qui ont déjà paru, contiennent l'exposition d'une théorie nouvelle des périodes des intégrales simples, doubles et d'ordre quelconque.

« Dans le cinquième article, qui est sous presse, j'étudie la marche d'une fonction implicite d'une variable x = (x -{- ^ y — 1, dont la marche est elle-même assignée par une équation 9 (a, ji) = 0.

« La question avait été indiquée par M. Cauchy et traitée par M. Puiseux, mais ces messieurs se servaient, pour la résoudre, du développement de la fonction, suivant la série de Taylor.

« Cette méthode m'a paru mauvaise par deux raisons, la première, que l'usage pratique de la série de Taylor serait tellement compliqué que ce n'est en quelque sorte qu'un leurre; la seconde, que beaucoup de questions douteuses restaientà traiter relativement à la série elle-même.

« MM. Cauchy et Puiseux se sont en effet trompés en plusieurs points sur les conditions de convergence de cette série ; j'ai pu m'en assurer en traitant directement la question de la marche d'une fonction implicite, iii» p. 8

« J'ai donc fait dépendre la discussion des conditions de convergence de la série de Taylor, de l'étude préalable de la marche de la fonction à développer.

« Comme je parlais à M. Liouville de ces nouvelles recherches, il m'a fort engagé à lire les mémoires que vous avez publiés sur le même sujet ; je n'ai pas besoin de vous dire que j'en ai une grande envie, mais je les cherche depuis trois semaines sans les trouver, et comme M. Liouville a eu la bonté de m'autoriser à me servir de son nom près de vous, je viens, ainsi présenté, vous prier d'avoir l'obligeance de me donner les indications qui me manquent.

« M. Liouville m'a bien dit que vos mémoires ont paru en partie dans son journal et en partie dans les Comptes rendus, mais je craindrais, en faisant les recherches moi-même, d'en laisser échapper quelques-uns. »

Je reçus presque aussitôt après la réponse suivante :

« Monsieur, en réponse à la demande que vous m'avez fait l'honneur de m'adresser, je vous expédie en même temps que cette lettre les trois notes auxquelles M. Liouville a pu faire allusion, et dont voici les titres :

a Note sur l'emploi d'un symbole susceptible d'être introduit dans les éléments du calcul différentiel.

« Note sur le théorème de M. Cauchy relatif au développement des fonctions en série.

« Note sur la continuité considérée dans ses rapports avec la convergence des séries de Taylor et de Maclaurin.

« C'est sans doute la dernière de ces notes que M. Liouville a eue particulièrement en vue. Néanmoins, comme les deux autres s'y rattachent par quelques points, j'ai cru opportun de vous les envoyer toutes trois. Les deux premières ont été insérées dans le tome XI du Journal de mathématiques pures et appliquées^ la troisième dans le tome suivant.

« Si vous rencontrez quelque chose à reprendre dans ceux de mes écrits sur lesquels votre attention va se porter, ne craignez pas de le faire. Je suis partisan de la devise : Amiens Plato, sed magis amica Veritas. Je l'applique quelquefois, estimant d'ailleurs que j'ai plus à gagner qu'à perdre en la voyant retournée contre moi .

« Puissiez-vous, Monsieur, trouver dans mes diverses notes quelque chose qui vous soit utile ou qui du moins vous intéresse.

« Dans l'attente des relations nouvelles qui pourront s'établir entre nous, veuillez agréer, Monsieur et camarade, l'expression de ma considération très-distinguée. »

Gand, ce 31 janvier 1860.

Je parcourus avec empressement les notes que venait de m'envoyer M. Lamarle, mais ce n'est guère que six mois après que j'y découvris ce

qui les rendait intéressantes, en lisant le Mémoire de M. Bonnet surlo même sujet.

Pour bien comprendre ce que je vais dire, il faut tenir compte de l'ordre des dates des publications de M. Lamarle, de M. Bonnet et de M. Puiseuxet de ce que le Mémoire de M. Bonnet, sans qu'il le dît était évidemment destiné à clore la discussion qui avait eu lieu entre MM. Caucliy et Lamarle et à donner la solution du différend.

M. Cauchy avait assigné pour limite à la région de convergence le point critique le plus voisin du point de départ. M. Lamarle ne contredisait pas précisément la proposition de M. Cauchy, mais il demandait, comme supplément d'instruction, qu'on s'assurât que deux au moins des valeurs de la fonction (il ne disait ni ne pouvait dire lesquelles) se permuteraient autour de ce premier point critique. Il n'établissait pas, du reste, que la condition pût n'être pas remplie.

Tout cela était tellement vague, que je n'y avais d'abord pas fait grande attention; d'ailleurs, n'ayant pas sous les yeux les réponses de M. Cauchy, je n'avais pas bien vu le point sur lequel ces messieurs étaient en discussion.

Quant aux raisons que donnait M. Lamarle de rintroduction de la condition nouvelle dont il s'agit, elles étaient nécessairement fort peu claires, parce qu'il ne savait pas et ne pouvait pas savoir autour de quels points critiques les permutations des valeurs momentanément égales de la fonction pourraient se produire, en sorte qu'il n'y avait en apparence rien d'utile à tirer de son observation. J'ignore ce que lui répondait M. Cauchy, mais je suppose qu'il devait se borner à répondre que les valeurs égales de la fonction se permuteraient toujours autour du point critique correspondant.

Je n'avais donc rien tiré de la lecture des Mémoires de M. Lamarle, lorsque, rencontrant M. Bonnet, comme je lui contais mes recherches et mes perplexités à propos de la série de Taylor, il m'offrit de me donner son Mémoire de 1849 sur la question. J'acceptai avec empressement et je lus ce travail avec la même avidité que celui de M. Lamarle.

M. Bonnet ne nommait ni M. Cauchy ni M. Lamarle et ne faisait aucune allusion à leur discussion, mais il reproduisait pour les discutes les deux conditions que M. Lamarle avait imposées au point d'arrêt, d'être le plus proche des points critiques autour desquels deux valeurs de la fonction pourraient se permuter, de sorte qu'on voyait bien l'àpropos de son mémoire.

M. Bonnet supposait deux points critiques autour de l'un desquels aucune permutation ne pourrait se produire, tandis qu'il s'en produirait une autour de l'autre ; il reproduisait les démonstrations de M. Cauchy et de M. Lamarle pour établir que le développement ne pourrait pas, en tout cas, se prolonger à la fois au delà de l'un et de l'autredeces

— lin —

deux points, puis, arrivé au moment de décider lequel [serait le point d'arrêt, il terminait en disant qu'évidemment le second serait toujours plus proche du point de départ que le premier. M. Bonnet donnait ainsi implicitement raison à M. Cauchy, en déclarant superflue la condition introduite par M. Lamarle.

Comme je ne comprenais pas du tout, je me mis à réfléchir.

Je savais bien qu'on avait rangé à tort parmi les points critiques, les points multiples où les dérivées de la fonction se sépareraient à un certain ordre, mais j'étais arrivé à cette conclusion par les raisons de continuité que j'ai rapportées plus haut; je ne m'étais jamais demandé autour de quels points critiques les valeurs momentanément égales de la fonction se permuteraient ou ne se permuteraient pas, je n'avais d'ailleurs pas lu la partie du travail deM.Puiseux qui se rapporte à cette question. La lecture des Mémoires de M. Lamarle et de M. Bonnet fixa mon attention sur ce point.

Je reconnus tout d'abord que les ordonnées des différentes branches partant d'un point multiple où les dérivées de y se sépareraient à un certain ordre, ne pourraient pas se permuter autour de ce point,dans un intervalle infiniment petit par rapporta x, puisque si les valeurs de ia fonction se permutaient, celles de ses dérivées se permuteraient aussi, ce qui ne pourrait arriver, celles d'ordres suffisamment élevés étant séparées par des intervalles finis.

J'arrivai du reste en même temps à la solution de la question si longuement traitée par M. Puiseux : les formes de ia fonction qui pouvaient se permuter entre elles, dans un parcours infiniment petit autour d'un point critique étaient évidemment celles dont les dérivées devenaient infinies au même ordre, car celles dont les dérivées finiraient par se séparer ne pourraient pas se permuter entre elles et celles dont les dérivées seraient devenues infinies avant les autres seraient séparées par cela même. Or, il n'y avait pour les dérivées de ces différentes formes de la fonction que deux issues, se séparer ou devenir infinies, car pour qu'un certain nombre d'entre elles restassent indéfiniment confondues, il faudrait que la courbe contînt autant de branches superposées, c'està-dire que le lieu fût réductible.

C'est par ces considérations que j'arrivai à voir ce qu'il pouvait y avoir de juste dans l'observation de M. Lamarle et à lui donner un sens qu'au reste elle n'avait peut-être pas dans sa pensée : l'observation était juste si elle s'appliquait aux points prétendus critiques, qui ne l'étaient pas réellement, c'est-à-dire aux points multiples où les dérivées de la fonction finissaient par se séparer, sans devenir infinies.

J'écrivis à M. Lamarle le 26 juillet 1860 :

« Monsieur, je dois d'abord vous remercier de l'obligeance que vous avez mise à m'envoyer les articles sur la série de Taylor que vous avez publiés dans le journal de M. Liouville.

« Je les ai lus aussitôt avec avidité, mais je dois vous avouer que je n'y avais rien vu à la première lecture.

« Depuis, mon camarade M. Bonnet m'a communiqué son Mémoire sur la théorie générale des séries, qui a été couronné par l'Académie de Belgique en 1849, et qui contient un travail sur le même sujet.

0 La lecture de ce dernier travail m'a engagé à reprendre celle des notes que vous aviez eu l'obligeance de m'envoyer, et j'y ai trouvé alors ce que je n'avais pas su y découvrir du premier coup,

(i Jusqu'à présent on a toujours cru que la fonction y définie par une équation F {x, y) = 0 ne serait plus développable dès que le module de {x — x^ dépasserait la distance du point initial ar^ au point critique le plus voisin.

« Le fait est complètement inexact, mais l'erreur est universelle.

« Au moins fallait-il s'entendre sur les caractères des points critiques.

« Or ce que j'ai trouvé dans vos Mémoires et ce qui résulte de la comparaison que j'en ai faite aux autres travaux publiés sur le même sujet, c'est que vous seul avez bien vu les conditions pour qu'un point fût véritablement critique.

« Vous imposez à l'amplitude du module de [x — x^^ les deux conditions de ne pas dépasser soit le premier point où la fonction y deviendrait infinie , soit le premier de ceux où elle cesserait de reprendre la même valeur lorsque, dans x, représenté par

r (cos 6 + V — 1 sin ô),

6 varierait de zéro à Sir.

(( Je n'avais pas aperçu d'abord ce que la seconde condition a de profond.

f( Ce n'est qu'en lisant le Mémoire de M. Bonnet et en constatant un désaccord évident, que j'ai voulu savoir comment une chose se trouvait affirmée par vous et niée par d'autres.

« M. Bonnet, après avoir énoncé le théorème de M. Gauchy à peu près comme vous, dit à la page 101 de son Mémoire.

Admettons maintenant que r (c'est le module de a? — x^ atteigne le plus petit des deux nombres R et R' (ce sont les modules des différences à Xq des premiers points où la première et la seconde condition de votre énoncé cessent d'être remplies), c'est-à-dire le nombre R, car évidemment R NE PEUT SURPASSER R', ctc. (Il y a dans le texte R' pour R et R pour R', mais la faute d'impression est évidente.)

« Cette singularité attira mon attention parce que je ne voyais pas pourquoi on eût imposé à x une condition qui n'eût pas pu ne pas

— dis —

Être remplie, ou pourquoi, l'ayant énoncée, on s'en débarrassait ainsi d'un trait de plume.

« C'est ce qui me ramena à vos Mémoires.

« Vous savez comment MM. Briot et Bouquet énoncent le théorème, et je crois que les adversaires de M. Gauchy peuvent s'en tenir à celte dernière édition d'une formule tant de fois remaniée.

« Cet énoncé exige que la fonction reste finie, continue, monodrome et monogène.

» « Je ne dirai rien des premières conditions. La dernière signifie que

dF dF , .

-r- et — ne doivent pas s annuler en même temps. C'est sur cette condition qu'il y a désaccord.

« Or, en fait, cette condition n'est aucunement nécessaire, elle est complètement étrangère à la question.

« Il y a des cas où la série reste convergente au delà d'un point de polygénéité, d'autres où, sans que la polygénéité soit la cause de la divergence, elle coïncide cependant avec elle, ce qui a fait qu'on l'a prise pour cause.

« Or, votre seconde condition fournit justement (sous une forme qu'à la vérité je ne crois pas la meilleure) un moyen de distinguer les deux cas.

« Je crois en conséquence. Monsieur, que vous avez trop généreusement abandonné vos droits devant la réclamation de M. Gauchy, dont vous reproduisez les termes dans votre second Mémoire.

« M. Gauchy pouvait bien réclamer votre condition pour les points où

du dF dF

■j- devient infini ; mais il n'y avait pas droit pour ceux où — et -i-

s'annulent en même temps.

« Les faits au reste le prouvent à •posteriori ^mwq, façon bien évidente, puisque votre condition a été si peu comprise qu'on l'a supprimée des énoncés les plus récents, pour lui en substituer une autre fausse.

« Je vous prie, Monsieur, d'excuser ce qu'il y a en apparence de tranchant dans mes affirmations, je ne pourrais vous détailler ici mes preuves, mais j'espère qu'elles vous plairont lorsque vous les verrez. »

M. Lamarle me répondit aussitôt :

Calais, ce 29 juillet 1860.

« Monsieur et cher camarade,

« Absent de Gand pour plusieurs mois, je reçois à Calais la lettre que vous m'avez adressée au lieu de ma résidence ordinaire. Je vois avec une vive satisfaction qu'une lecture répétée de mes deux notes sur le

théorème de M. Cauchy vous a conduit à reconnaître l'erreur où l'or est tombé généralement, en ce qui concerne la détermination précise des conditions à la fois nécessaires et suffisantes pour la convergence d'un développement en série effectué suivant la formule de Taylor. Je crois saisir assez bien les détails que vous me donnez. Malheureusement je n'ai ici sous les yeux ni mes deux notes, ni les mémoires que vous citez, et mes souvenirs ne sont pas assez précis pour me permettre de hasarder aucune observation sur vos propres remarques. Elles me paraissent exactes et très-bien motivées, voilà tout ce que j'en puis dire. Vous me dites quelques mots d'une concession que j'aurais faite à M. Cauchy. Il me semblait avoir entouré cette concession d'une réserve suffisante pour lui ôter toute portée dangereuse. S'il en est autrement, c'est que l'expression a trahi ma pensée.

« L'intention que vous manifestez de discuter les questions relatives à l'objet dont il s'agit ne peut qu'être encouragée par moi. Je ne doute pas que votre travail n'offre un intérêt réel, et il me sera particulièrement agréable, si, comme je l'espère, il éclaircit un point resté douteux, malgré mes efforts pour le mettre en lumière.

« Je compte aller à Paris avant le mois d'octobre. Si je réalise ce projet, je tenterai de vous voir. Ce sera une excellente occasion d'entrer en rapport plus intime avec vous, et je fcrai ce qui dépendra de moi pour la mettre à profit.

« Veuillez agréer, Monsieur et cher camarade, l'expression affectueuse de mes sentiments les plus distingués.

Pour tenir à M. Lamarle la promesse que je lui avais faite, j'insérai le paragraphe suivant dans mon mémoire, qu'allait publier M. Liouville :

« Ce que nous venons de dire démontre une fois de plus que le développement de la fonction ne peut être limité qu'à l'un des points où soit la fonction, soit ses dérivées, à partir d'un certain ordre, deviennent infinies.

« Ce nouvel énoncé du théorème de M. Cauchy s'accorde avec celui qu'avait donné M. Lamarle dès 1846.

(i D'après M. Lamarle :

« Toute fonction est développable en série convergente suivant la formule de Maclaurin, tant que le module de la variable reste moindre que la plus petite des valeurs pour laquelle la fonction cesse d'être continue ou de prendre mê/iie valeur aux deux limites 6 = 0, 6 = ^t. Hors de là la série devient divergente.

« Lorsqu'en un point multiple du lieu considéré les dérivées de la fonction Unissent par se séparer sans devenir infinies, celte fonction ne saurait, sans violer la loi de continuité, prendre indifleremment une

quelconque des valeurs voisines de l'ordonnée du point multiple : elle n'en peut recevoir qu'une pour chaque valeur de la variable, de sorte qu'elle reprend la môme valeur aux limites 6 = 0, 6 = Sir.

« A la vérité la condition qu'aucune dérivée de la fonction ne devienne infinie, me paraît offrir un sens plus net et devoir être d'un usage pratique plus commode que celle que la fonction reprenne la même valeur aux limites 6 = 0, 6 = 2:1. Mais les deux énoncés s'accordent au fond.

« Celui de M. Lamarle tenait donc compte, dans la mesure convenable, de la présence des points multiples du lieu en question.

« J'ignore pourquoi dans les énoncés plus récents qu'on a proposés du théorème de M. Cauchy, la distinction n'a pas été maintenue. »

Je ferai remarquer en terminant l'historique de cet épisode de la science toutes les singularités qu'on y rencontre.

M. Lamarle présentait une observation juste, mais sans pouvoir en faire une application précise, n'ayant pas étudié les cas dans lesquels pouvaient se produire les permutations dont il parlait.

M. Cauchy repoussait énergiquement les perfectionnements qu'on apportait à sa théorie.

M. Bonnet niait le perfectionnement.

M. Lamarle faisait décerner un prix à M. Bonnet, pour sa négation, par l'Académie de Belgique.

Enfin, pour combler la mesure, M. Puiseux, peu après, constatait qu'aucune permutation ne pouvait se produire entre les valeurs momentanément égales delà fonction, autour d'un point multiple où les dérivées de cette fonction finissent par se séparer, et il maintenait ces points parmi les points critiques! MM. Briot et Bouquet emboîtaient ensuite le pas à M. Puiseux, sans sourciller.

Quant à moi, je n'ai pu faire rendre les armes à mes adversaires qu'en 1872, à l'occasion du rapport de M. Puiseux sur mon mémoire relatif à la détermination du point d'arrêt, parmi les points critiques.

En résumé, mon mémoire se composait de ces remarques que quand une fonction devient infinie, toutes ses dérivées deviennent en même temps infinies : car cette fonction est l'ordonnée d'une courbe qui a une asymptote parallèle à l'axe des y, asymptote dont le coefficient angulaire infini, est la valeur de -^, correspondantà la valeur considérée de x\ et, de même -4- étant infini, -r^ l'est aussi et ainsi de dx dx^

suite; qu'une dérivée d'ordre quelconque d'une fonction, ne peut de-

venir infinie que pour une valeur de la variable qui fasse acquérir au moins deux valeurs égales à la dérivée précédente : car la dérivée qui devient infinie est le coefficient angulaire de la tangente à la courbe qui a pour ordonnée la dérivée précédente ;

Enfin que si une même valeur de x attribue plusieurs valeurs égales à l'ordonnée, en général les valeurs correspondantes de la dérivée sont infinies, que si ces valeurs de la dérivée restent finies, mais égales, en général les valeurs correspondantes de la dérivée seconde sont infinies et ainsi de suite; mais que si la dérivée d'un ordre suffisamment élevé d'une des formes de la fonction se sépare des autres, avec une valeur finie, les dérivées suivantes de la même forme resteront finies et le développement de cette forme de la fonction ne sera pas arrêté par le point multiple considéré, puisque ce point ne serait pas critique pour les dérivées devenues simples et finies de la fonction développée.

C'est ainsi que l'origine des coordonnées est un point critique par rapport à la branche du folium

y^ + x^ — ^axy = 0

tangente à l'axe des y, et ne l'est pas par rapport à la branche tangente à l'axe des x : de sorte que si l'on plaçait le point de départ à gauche de l'origine, sur la branche tangente à l'axe des x, le point d'arrêt ne serait pas l'origine.

Soient en général n valeurs y^^ Vf," yn de y, qui deviennent égales pour X ^ a. Si /) des formes correspondantes de la fonction ont leurs dérivées finies et inégales, le point x= a n'arrêtera le développement d'aucune des p valeurs de y qui, assujetties ;\ la continuité, atteindront, pour X = a^\di valeur commune, sous une de ces p formes, c'est-à-dire avec des valeurs finies et différentes, pour leurs dérivées.

Si q formes de la fonction ont leurs dérivées infinies, le point considéré limitera la convergence de la série pour celles des valeurs de y qui atteindront pour x = «, la valeur commune, sous une de ces q formes; enfin si r valeurs de y ont leurs dérivées confondues il y aura doute, pour les formes correspondantes, et il faudra recourir aux dérivées secondes pour lesquelles on fera les mêmes distinctions et ainsi de suite.

Peu de temps après la publication de ce Mémoire, dans le Journal de mathématiques pures et appliquées, comme j'en causais avec M, Liouville, il me dit que M. Tchebycheff avait avant moi réduit les points critiques aux seuls points où la fonction ou ses dérivées deviennent infinies et m'indiqua le recueil {Jouirai de Crelle, 1844), où je trouverais la note de M. Tchebycheff à ce sujet. Voici comment je reconnus les

droits de M. Tchebycheff, dans une note placée à la suite d'un autre chapitre.

« Je n'avais pas connaissance, lorsque j'écrivais le chapitre vu de mon Mémoire, d'une Note fort courte, mais très-importante, que M. Tchebycheff a insérée en 1844 dans le Journal de Crelle (t. XXVIII, pages 279 à 283).

« Cette Note sur la convergence de la série de Jay/o/' contient à certains égards la bonne solution de la question.

« Le dernier énoncé, fourni à celte époque par M. Cauchy, de la condition de convergence, était ainsi conçu :

« X désignant une variable réelle ou imaginaire, une fonction réelle « ou imaginaire de x sera développable en série convergente ordonnée « suivant les puissances ascendantes de x, tant que le module de x « conservera une valeur inférieure à la plus petite de celles pourles- « quelles la fonction ou sa dérivée cesse d'être finie et continue. »

« M. Tchebycheff propose de dire :

« La série de Taylor

« est divergente ou convergente suivant que le module de z est plus « grand ou plus petit que celui de la valeur imaginaire x qui rendrait « infinie ou discontinue une des fonctions

na-\-x), f'{a-\-x), /"(a + x)...

« En supprimant de cet énoncé l'assertion que la série deviendrait divergente au delà du premier point critique, on trouve la règle que j'ai proposée moi-même et dont je croyais la formule nouvelle.

« Les deux énoncés de M. Tchebycheff et de M. Lamarle sont vicieux, il est vrai, sous un rapport, mais tous ceux qu'on a donnés depuis sont entachés du même défaut ; au contraire ce qu'ils contenaient de rigoureusement exact a été compliqué depuis de conditions qui n'ont, ni de près, ni de loin, le moindre rapport à la convergence de la série.

« Même on en est venu jusqu'à ne plus caractériser les points oh le déreloppement peut être arrêté, que par la seule qualité commune, qui, justement, n'apporte par elle-même aucun obstacle au développement.

« Car s'il faut bien, il est vrai, qu'un point soit multiple, pour être dangereux, ce n'est en aucune façon comme point multiple qu'il est dangereux, mais parce que, suivant M. Tchebycheff, les dérivées de la fonction y deviennent infinies, à partir d'un certain ordre, ou, suivant M. Lamarle, parce que des valeurs de la fonction peuvent se permuter autour de ce point.

« Pour qu'on ait cru (Jevoir changer les énoncés proposés par M. Tchebychelf et par M. Lamarle, il faut qu'ils n'aient été bien compris ni l'un ni l'autre.

« C'est pourquoi je pense qu'il ne sera pas inutile de revenir sur la démonstration de leur entière identité, démonstration que je n'ai qu'indiquée dans le chapitre VII.

(( Ce qui est en question est de savoir si les valeurs de la fonction y, qui diffèrent infiniment peu de l'ordonnée d'un point multiple du lieu f{x, y) = 0, peuvent se permuter entre elles, la variable x ne prenant elle-même que des valeurs infiniment voisines de l'abscisse de ce point multiple, sans qu'aucune des dérivées de la fonction, quel qu'en soit d'ailleurs l'ordre, soit infinie en ce point.

« Il me semble qu'il suffit pour cela d'observer que pour qtie deux valeurs de y se permutent, il faut que toutes leurs dérivées se permutent aussi. Cette remarque est bien concluante en effet; car, de même qu'on ne saurait admettre que deux valeurs de y, correspondant à une même abscisse, mais séparées par un intervalle fini, se permutassent sans que la variable x se fût écartée de sa valeur initiale d'une quantité finie, on n'admettra pas davantage que les dérivées d'ordres supérieurs à celui oîia lieu la séparation définitive, se permutent, sans cette condition; or si elles ne peuvent se permuter, les valeurs de la fonction ne se permuteront pas non plus.

« On peut pousser plus loin cette analyse :

« Si en un point multiple du lieu f{x, y) = 0 quelques dérivées, d'ordre n, se séparent des autres, en prenant d'ailleurs des valeurs distinctes, ces dérivées ne pouvant se permuter, ni entre elles, ni avec les autres, dans un parcours infiniment petit de la variable, il en sera de même des formes correspondantes de la fonction.

« Si, parmi les dérivées d'ordre n', on en trouve plusieurs ayant une même valeur k, d'autres ayant une môme valeur k\ etc., évidemment, sans pouvoir encore rien affirmer de la permutabilité ou de l'impermutabilité entre elles, de celles des dérivées qui, pour une valeur de x infiniment voisine de l'abscisse du point multiple, prennent des valeurs infiniment peu différentes de k, on pourra du moins affirmer qu'elles ne se permuteront pas avec les autres, et par suite conclure dans le même sens et avec les mêmes restrictions pour les formes correspondantes de la fonction.

« Enfin, si quelques dérivées de la fonction restent confondues jusqu'à l'ordre n", et qu'au lieu de se séparer à l'ordre n" -{- 1 elles y deviennent toutes infinies, les formes correspondantes de la fonction seront permutables entre elles, mais non avec les autres.

« Ainsi les formes de la fonction, qui peuvent se permuter entre elles, autour d'un point multiple, sont celles dont les dérivées deviennent in-

finies au môme ordre, après être restées confondues jusqu'à l'ordre précédent.

« Ce sont là sans doute les groupes circulaires que le calcul direct avait révélés à M. Puiseux; en les définissant comme on vient de le faire, il devient superflu de les déterminera l'avance. Que l'équation soit d'ailleurs algébrique ou transcendante, on les retrouvera toujours sans -difficulté. »

Je ne demande aucun prix de vertu pour une restitution si naturelle ; je demande seulement la conversion de deux pécheurs. S'ils lisent la note de M. TchebychefT, ils y verront, je crois, que, dans la crainte de rester en deçà de la justice vis-à-vis de ce savant, j'avais peut-être beaucoup exag^é ses droits, en attribuant à son énoncé le sens littéral qu'il eût dû comporter, si on avait pu l'isoler d'une démonstration qui en réduisait singulièrement la généralité.

En efiet, la notation employée par M. Tchebycheff suffirait déjà à indiquer qu'il n'a dû avoir en vue, dans sa note, qu'une fonction uniforme ou bien déterminée, c'est-à-dire n'ayant jamais qu'une valeur pour chaque valeur de la variable. Car si M. Tchebycheff avait pu entendre par / (z) une racine d'une équation F {y, z) =0, f{a), f'{a),

f {n) auraient bien pu avoir chacune une définition nette, parce

qu'on aurait pu considérer à part une valeur f{a) de y, correspondant k z= a, et désigner par /' (a), f" {a),... les valeurs des dérivées de y au même point [z r=a, y=f{a)] du lieu F (y, z) =0, mais il n'en eût plus été de même de /"(a-j-a:), f'{a-^ x),f" {a-\- x),.... qui entrent dans les calculs de M. Tchebycheff, et qui, pour chaque valeur de X auraient chacune m valeurs, si F {y, z) = 0 était de degré m en y; et la démonstration ne marcherait plus du tout : de sorte que pour que la démonstration de M. Tchebycheff soit acceptable, il faut qu'elle se rapporte exclusivement à une fonction uniforme; mais une fonction uniforme étant l'ordonnée d'une courbe incapable de points multiples, la remarque de M. Tchebycheff ne s'appliquerait alors aucunement à la question qui m'avait donné tant de tracas.

Mais la conclusion de M. Tchebicheff montre encore mieux qu'il n'a eu en vue que des fonctions explicites : il termine en effet son article par ces mots :

(( Ce théorème n'est qu'une très-simple conclusion des découvertes « remarquables de M. Cauchy ; mais il est en partie contraire à la règle u de convergence des séries donné par cet illustre géomètre, dont l'é- « nonce est le suivant :

« X désignant une variable réelle ou imaginaire, une fonction réelle ou « imaginaire de x sera développable en série convergente ordonnée suivant <( les puissances ascendantes de x, tant que le module de x conserve une va'

« leur inférieure à la plus petite de celles pour lesquelles la fonction ou sa dé^ « rivée cesse d'être finie et continue.

« L'insuffisance de cette règle provient, ce me semble, de ce que « M. Gauchy suppose la valeur de l'intégrale définie être développable « en série convergente, lorsque la différentielle, entre les limites de ce l'intégration, peut être développée en série convergente ; ce qui n'a « lieu que dans des cas particuliers. »

Il est bien évident par là que ce qui avait choqué M. Tchebycheff était cette idée, singulière en effet, de M. Gauchy de vouloir condenser tous les caractères de criticité dans la fonction et dans sa première dérivée seulement; et il est tout aussi clair que ce n'est qu'à cette partialité qu'il s'en prend.

Gette hypothèse est d'autant plus probable que Gauchy* lui-même, dans l'énoncé que critiquait M. Tchebycheff, n'envisageait non plus que des fonctions uniformes, sans quoi il eût dit, comme il l'a fait plus tard, « tant que le module tie x conserve une valeur inférieure à la plus petite de celles pour lesquelles la fonction ou sa dérivée cesse d'être finie et continue, ou pour lesquelles la fonction acquiert des valeurs égales. »

M . Tchebycheff, pour mettre en évidence l'erreur de Gauchy, prend l'exemple de la série

qui " est convergente ou divergente suivant que le module de la va- « leur de z est plus petit ou plus grand que l'unité, qui est le module « de la valeur ar= sj — 1, pour laquelle la seconde dérivée et les sui-

a vantes de (1 -|- x^y^ deviennent infinies. » Le choix de cet exemple semblerait contredire ce que j'ai supposé

plus haut, puisque (1 + z^Y est racine de l'équation

Mais il convient de remarquer que les deux racines de cette équation ne se distinguant que par le signe, elles ont pu être confondues parce qu'elles sont naturellement développables entre les mômes limites. Au reste, il eût été difficile de trouver un exemple d'une fonction uniforme qui restât finie, tandis que ses dérivées deviendraient infinies à partir d'un certain ordre; et M. Tchebycheff était bien obligé de prendre son exemple parmi les fonctions multiples, quoique la démonstration de son théorème ne s'y appliquât plus.

Si au lieu d'un cas si simple, M. Tchebycheff avait considéré seulement celui d'une équation du troisième degré en y, non-seulement f{a 4-x) n'aurait plus eu un sens déterminé, de sorte que la démonstration eût été vicieuse, mais le théorème lui-même eût été faux ; il n'eût plus été vrai de dire que « la série de Taylor /" (a -|- z) = /"(a) -j- . .. « est divergente ou convergente suivant que le module de 2 est plus « grand ou plus petit que celui de la valeur imaginaire de x qui ren- « drait infinie ou discontinue au moins une des fonctions f{a-\-x), « f'{a -\-x).... »

Il vaut donc bien mieux, pour le théorème de M. Tchebycheff, que dans la pensée de son auteur, il ne s'applique qu'aux fonctions explicites, auquel cas il est exact, mais auquel cas, aussi, il n'a aucun rapport aux points multiples où les dérivées de la fonction finissent par se séparer sans devenir infinies.

On remarquera encore que la phrase : « Suivant que le module de z est « plus grand ou plus petit que celui de la valeur imaginaire de x qui « rendrait infinie ou discontinue, au mofns une des fonctions f{a -f-x), «/'(a-f- a:)... », montre que M. Tchebycheff n'avait pas remarqué que lorsqu'une fonction devient infinie, pour une valeur finie de la variable dont elle dépend, toutes ses dérivées deviennent en môme temps infinies : or cette remarque peut seule donner la clef de la solution en ce qui concerne les points multiples.

Quant à la phrase qui termine l'article de M. Tchebycheff: « l'insuffi- « sance de cette règle provient, ce me semble, de ce que M. Gauchy sup- « pose la valeur de l'intégrale définie être développable en série con- " vergente, lorsque la différentielle (pour dérivée), entre les limites de u l'intégration, peut être développée en série convergente ; ce qui n'a u lieu que dans des cas particuliers», elle appelle une observation: l'opinion exprimée par M. Tchebycheff est inexacte : toutes les séries qui expriment une fonction, ses dérivées et ses intégrales sont en même temps convergentes ou divergentes, sauf le cas douteux, ou limite, où le rapport des modules de deux termes consécutifs tend vers 1. Mais » rien n'indique que Cauchy ait fait la remarque juste que M. Tchebycheff lui attribue en la critiquant.

En résumé, si le théorème de M. Tchebycheff a le sens que je lui avais attribué en 1861, d'après ce que m'avait dit M. Liouville, il est inexact, comme je l'ai dit alors, parce que le développement d'une fonction implicite ne devient pas nécessairement divergent dès que le module de la variable dépasse le plus petit de ceux des valeurs de cette variable qui rendent infinies les dérivées d'ordre assez élevé de la fonction.

Si au contraire ce théorème a le sens que je serais porté à lui attribuer aujourd'hui, il gagne en exactitude ce qu'il perd en étendue, mais il ne se rapporte plus aux points multiples et en conséquence je

reprends mon droit à la propriété exclusive de ce théorème que les points multiples d'un lieu où les dérivés de la fonction finissent par se séparer, sans devenir infinies, ne sont pas des points d'arrêt éventuel de la convergence du développement de la fonction.

Il serait peut-ôtre désirable que M. Tchebychetf voulût bien éclairer lui-même ce point douteux de l'histoire de la série de Taylor.

Il restait à résoudre les deux questions de la détermination du point d'arrêt, parmi les points critiques, et de la construction de la région de convergence, ou, ce qui revient au même, de la fixation des caractères auxquels on pourrait reconnaître, pour chaque valeur de la variable, celle des valeurs de la fonction qui serait représentée par la série.

Lorsqu'une question est trop difficile, je commence par discuter des exemples qui s'y rapportent.

Mathématiques expérùnenlales! dirait peut-être M. Hermife. — Je ne dis pas non, mais c'est une bonne méthode de recherche. Les figures ont un langage très-saisissant, il n'est que de savoir l'entendre.

Les exemples que je pris présentaient tous les genres de difficultés sauf celles qui tiendraient à l'élévation du degré. Je réussis, pour chacun d'eux, non-seulement à déterminer, quel que fût le point de départ, celui des points critiques qui devait arrêter la convergence, mais encore les caractères distinclifs de celle des valeurs de la fonction qui se trouvait représentée par la série, de manière à pouvoir construire points par points la limite de la région de convergence, c'est-à-dire l'ensemble des points du lieu qui auraient pour abscisses les valeurs de x correspondant aux différents points du cercle de convergence de M. Cauchy, et pour ordonnées les dernières valeurs de y fournies par la série au moment oti elle allait devenir divergente.

Ces exemples se rapportent aux lieux représentés par les équations

ay ay

= 2px

- tt^y -\- a^x =

- daxy + ic» =

On s'occupait beaucoup à celte époque de la série de Lagrange. Bour, qui suivait toujours mes travaux, me dit un jour : « Pourquoi ne traitez-vous pas la question ? » Je lui répondis : « Mais, parce qu'elle n'existe pas. Lagrange adonné une nouvelle forme algébrique aux coefficients de la série de Taylor, mais la condition de conver.gence de

cette série ne dépend pas de la forme algébrique de ses coefficients, elle ne dépend que de leurs valeurs. Si l'Académie s'occupe de cette affaire, elle a tort.

Tout en causant de cela et d'autres choses, Bour me fit sur ma manière de construire le point correspondant à une solution imaginaire, une observation intéressante qui me donna lieu de compléter utilement l'exposition des premiers principes de ma méthode.

Pour moi, la solution ^ = a -j- ^ s/ — 1^ y = a' -f- ^' \l— 4 représente le point

on parvient de l'origine à ce point en décrivant la diagonale du chemin brisé dont les côtés parallèles aux axes seraient a et a et ensuite celle du chemin brisé dont les côtés seraient p et p'.

D'ailleurs quelque transformation qu'on fasse subir au système des axes, la construction du point répondant à la même solution transformée, se fait toujours en décrivant les deux mêmes lignes.

Bour me demandait comment il ne m'était pas venu à l'esprit de construire la solution x = et -\- p sj — 1, y = a -\- p' \/ — 1 en traçant la première diagonale dans le plan, puisqu'elle était réelle, et la seconde perpendiculairement au plan, puisqu'elle était imaginaire. Il me faisait remarquer que, par là, une équation à deux variables représenterait une courbe réelle dans le plan et une surface imaginaire hors du plan; mais que, d'ailleurs, cette surface serait formée des conjuguées dont je me suis occupé, redressées perpendiculairement au plan de la figure et appliquées sur les cylindres droits ayant pour bases les diamètres correspondant à leurs cordes réelles.

Tout cela est vrai, mais je lui opposais des objections qu'il ne sera pas inutile d'indiquer pour prévenir des tentatives qui pourraient paraître fructueuses, parce qu'elles conduiraient à des théorèmes, mais qui, je pense, devraient ensuite être abandonnées comme faites en violation de règles obligatoires.

La première, qui me paraît déterminante, et que met immédiatement en évidence l'embarras où l'on se trouverait d'opérer d'une manière analogue en géométrie à trois dimensions, consiste en ce que rien ne peut autoriser à changer l'espace dont on dispose, à mettre hors du plan ce que l'on demandait de construire dans le plan.

La seconde consiste en ce que le projet proposé violerait la loi de continuité : en effet, les cordes de la courbe réelle, auxquelles font suite les "cordes réelles d'une conjuguée, dans mon système, font avec

les éléments du diamètre commun, à leurs pieds sur ce diamètre, des angles variables, mais assujettis à la continuité, tandis que, dans l'autre système, l'angle resterait variable jusqu'au point où la corde deviendrait tangente à la courbe réelle et serait, h partir de là, invariablement droit. Néanmoins, il faut bien convenir que tous les faits se conserveraient jusqu'à un certain point dans le système que Bour me proposait.

Par exemple, si l'équation d'une droite réelle a des solutions imaginaires communes avec l'équation d'une courbe, les points correspondant à ces solutions, construits comme je les construis, fournissent les intersections effectives de la droite réelle et de la conjuguée de la courbe proposée dont la caractéristique est le coefficient angulaire de cette droite.

Dans l'autre système, l'équation du premier degré, y ^ ax -\- b. représenterait le plan perpendiculaire au tableau, mené par celte droite; de sorte que les solutions communes à deux équations

y = ax-\- b et /"(x, y) = 0

fourniraient les points de rencontre du plan y = ax -\- b avec la conjuguée G =: a du lieu f [x, y) = 0, redressée. '

Tous les résultats pourraient sans aucun doute être transportés, d'une manière analogue, d'un des systèmes à l'autre ; mais leur traduction, dans le nouveau système, ne conduirait pas à des énoncés aussi simples qu'on pourrait s'y attendre à première vue.

Ainsi la surface imaginaire représentée par une équation du second degré à deux variables ne serait pas du second degré. Car les sections faites par des plans perpendiculaires au plan du tableau, menés par le centre de la courbe réelle; n'auraient pas même axe dans la direction perpendiculaire à ce plan du tableau.

Quanta l'objection que je faisais à Bour relativement à l'impossibilité d'étendre son système à la géométrie à trois dimensions, il me répondait gaiement : h Eh bien ! n'avez-vouspas l'hyperspace? »

Tout cela, bien entendu, n'était que matière à causeries; mais ces causeries me suggérèrent l'idée, qui ne m'était pas encore venue, de démontrer directement que le mode de construction des solutions imaginaires, que j'avais adopté, jouissait exclusivement de la propriété de garantir la permanence des points représentatifs de ces solutions, quelques changements qu'on pût faire subir aux axes.

Cette démonstration se trouve dans le premier chapitre du premier volume de cet ouvrage.

Sauf un aperçu, dont il va être question, contenu dans le Traùé des fondions doublement périodiques^ de MM. Briot et Bouquet, on n'avait, m* p. 9

avant que je m'en occupasse, rien proposé relativement à la marche d'une fonction implicite de plusieurs variables ni aux conditions de convergence de la série de Taylor appliquée au développement de cette fonction.

Ces deux questions se rattachant de très-près aux précédentes, je n'en dirai ici que très-peu de mots :

La première se décompose en trois autres, si du moins, comme nous le supposerons, il s'agit d'une fonction de deux variables seulement, car dans le cas d'un plus grand nombre de variables indépendantes les questions à étudier seraient bien plus nombreuses.

Soit f{x, y, z)= 0 l'équation qui définit une fonction z de deux variables indépendantes a: et y: posons, comme toujours,

les six variables a, p, a, p', a", ^" ne seront jusqu'alors liées entre elles que par deux équations.

Si à ces deux équations on en joint trois autres, il ne restera qu'une variable indépendante, a, par exemple, et l'on pourra demander ce que sera devenue chacune des valeurs de z, assujettie à la condition de continuité, lorsque a aura passé d'une valeur initiale a,, à une valeur finale a^. — C'est la première question.

Si les trois équations complémentaires contiennent une constante arbitraire, l'ensemble des solutions des cinq équations représentera, pour chaque valeur de celte constante, un lieu curviligne composé de points pris sur la surface réelle et sur ses conjuguées, et cette ligne se déformera quand la constante variera. On pourra donc demander ce que chaque branche de cette ligne, assujettie à la continuité, sera devenue lorsque la constante aura passé d'une valeur à une autre. — C'est la seconde question.

Enfin, si les équations introduites se réduisent à deux, contenant une constante arbitraire, l'ensemble des solutions des quatre équations représentera, pour chaque valeur de cette constante, une surface formée de points pris sur la surface réelle et sur ses différentes conjuguées. Cette surface §e déformera quand la constante variera et l'on pourra demander ce que chacune de ses nappes sera devenue lorsque la constante aura passé d'une valeur à une autre. — C'est la troisième question.

Les mêmes principes qui m'avaient servi à traiter la question de la marche des valeurs d'une fonction d'une seule variable permettent de traiter d'une manière analogue les trois questions ; je n'ai donc rien à dire de la méthode dont je me suis servi pour les résoudra dans quelques cas simples.

Quant à la question de la série de Taylor, il fallait d'abord la rétablir, MM. Briot et Bouquet l'ayant posée dans des termes par trop vagues et résolue par trop légèrement. Le développement de la fonction z de deux variables x et y est

/</z \ x — x^ (dh\ {x — x,y

j-('Il\ y~yo I ( ^'^ \ (^— ^o)(y— ^o) I

Cette suite, comme étant indéfinie, constitue bien une série, si l'on prend le mot dans son acception la plus générale, mais en réalité elle en fournira autant qu'on voudra iaiaginer de modes d'en grouper les termes; et non-seulement les conditions de convergence de toutes ces séries ne seraient pas identiques, mais même elles ne porteraient pas sur les mêmes groupes de coefficients différentiels.

Ainsi on pourrait regarder le développement comme représentant la somme des valeurs des séries formulées dans les lignes horizontales ; on pourrait grouper les termes suivant les lignes diagonales, etc.

Dans chaque cas la condition, ou plutôt les conditions de convergence dépendraient du mode de groupement des termes.

Il était donc indispensable de poser avant tout la question qu'on avait en vue et de définir la série dont la convergence était mise en question, ou la série des séries dont la convergence était en question.

MM. Briot et Bouquet, en ne faisant à cet égard aucune distinction, cherchaient en réalité la réponse à une question inconnue.

Quant à la solution qu'ils en donnent, elle n'a aucune valeur. Ces messieurs, dans leur théorie des fonctions doublement périodiques, disent, sans autre préambule, ni explication :

« Il est facile d'étendre les théorèmes précédents aux fonctions de plusieurs variables indépendantes. Soit f{x, y, z) une fonction de trois variables imaginaires x, y, z, finie, continue, monodrome et monogène, quand chacune des variables reste comprise dans une certaine portion du plan. Donnons h x, yy z des accroissements h, k, l; la fonction f {x -\- h, y -\- k, z -\- /) est finie, continue, monodrome et monogène, tant que les variables h, k, l restent comprises respectivement dans des cercles de rayons R, R', R", décrits des points x, y, z comme centres.

« Posons

t désignant une variable dont le module est plus petit que l'unité. La fonction /(m, v, w) est une fonction syneclique de t, quand la variable t se meut dans le cercle de rayon 1, décrit de l'origine comme centre ; elle est donc développable, dans cette étendue, en une série convergente ordonnée suivant les puissances croissantes de ?, et l'on a, en désignant par F (t) cette fonction,

Mais on a symboliquement

F" (0 = {hJ)uf-{- kBvf-{- ID4Y, d'où

F«(0)= {k^4-\- AD/4- m./-)".

Si l'on remplace F" (0) par sa valeur et que l'on fasse ^ = 1, on obtient la série

f{x-\-h,y + Kz-{-l) = f{x,y,z)

ordonnée suivant les puissances croissantes de h, k, l, et convergente dans les cercles de rayons R, R', 11". »

Ainsi, il y aurait deux conditions de convergence, l'une relative à x, indépendamment de y et l'autre relative à y, indépendamment de x.

Cependant, si l'on considérait, par exemple, la fonction z, définie par l'équation

et que l'on supposât y constant, la convergence du développement de z serait évidemment limitée à l'un des points

x = ±ayJi-Ç.

dépendant de la valeur attribuéeà y ; et si c'était x qui restât constant, la convergence serait limitée à l'un des points

dépendant de la valeur attribuée à x.

Bien mieux I si x et y étaient assujettis à la condition

il n'y aurait plus de condition de convergence : la série resterait convergente même pour des valeurs infinies de x et de y, car z, alors, serait une constante et tous les termes du développement s'évanouiraient d'eux-mêmes, à partir du second.

La solution proposée par MM. Briot et Bouquet était donc absurde.

La série qu'il est utile de considérer, dans la pratique, est celle dont les termes sont les sommes des termes homogènes, par rapport à {x — x^ et à (y — y^, du développement général, et c'est celle dont je cherchai la condition de convergence.

La question était facile à résoudre par les considérations suivantes, qui heureusement se présentèrent d'elles-mêmes à mon esprit:

Dès que x Qiy étaient donnés, la série coïncidait identiquement avec le développement par la formule de Maclaurin, de la fonction de a? — a:,, composée des fonctions a? — a:,, et y — y^ = K {x — x^, K désignant le rapport des différences connues y — î/q et x — x^^.

D'un autre côté la relation entre z — s^ et x — x^ n'était autre que l'équation de la projection sur le plan des xzAq la section de la surface [Xy y y z] par le plan réel ou imaginaire

y — y, = Kix — x,);

mais les points critiques de cette projection n'étaient autres que les projections sur le plan des xz des points critiques de la section dans son son plan et ceux-ci n'étaient eux-mêmes autres que les points de rencontre du plan

avec la courbe de contact du cylindre circonscrit à la surface parallèlement à l'axe des z.

Si donc on avait l'intention de donner à K les valeurs comprises dans la formule

K = m -i- \/ — 1 tp (m),

m étant la tangente d'un angle qu'on ferait varier de 0 à «, les valeurs extrêmes de ^ et de y seraient les coordonnées du lieu fourni par les solutions de l'équation du contour apparent de la surface [x, y, z] par rapport au plan des xy, qui satisferaient à la condition

Ainsi la question de la convergence du développement d'une fonction de deux variables se ramenait immédiatement à celle de la convergence du développement d'une fonction d'une seule variable. Le point d'arrêt, dans chaque plan

y — yo=[m-{-Sl^^<f{m)]{x-^x,),

se déterminerait comme le point d'arrêt de la convergence du développement de l'ordonnée d'une courbe plane et la hgne d'arrêt du développement de l'ordonnée z de la surface considérée serait le lieu des points d'arrêt correspondant à la suite des plans

Les différentes branches du contour apparent, par rapport au plan des xy, de la surface [x, y, z] joueraient, dans la question du développement de z, le rôle que jouaient, dans celle du développement de l'ordonnée y d'une courbe plane, les points critiques de cette courbe. On passerait ensuite, du reste, aussi facilement, du cas d'une fonction de deux variables à ceux d'une fonction de trois, puis de quatre, etc., variables.

Une place d'examinateur d'admission à l'École polytechnique devint vacante à la fin de 1861. MM. Haton et Mannheim étaient candidats désignés. Je le devins sans y avoir songé. Voici comment.

Je venais de rendre à M. Bailleul l'épreuve corrigée d'un de mes articles pour le journal de M. Liouville ; le général Poncelet survint, et quand nous eûmes fini avec M. Bailleul, nous sortîmes ensemble. Il m'annonça la vacance et m'offrit la candidature. Cependant comme à cette époque les éléments de mécanique étaient encore demandés aux examens d'admission, il voulut savoir si mes idées s'accordaient avec les siennes sur cette matière et me donna rendez-vous chez lui pour le soir. J'y allai, naturellement, pour avoir le plaisir de causer avec lui, mais sans être encore décidé à rien. J'avais toujours eu en horreur toutes les démonstrations du parallélogramme des forces autres que celle de Galilée ; d'un autre côté je n'avais aucune répugnance pour la

théorie du travail et si j'avais des objections à faire à un enseignement spécial de la cinématique précédant la dynamique, ce n'était qu'au point de vue pédagogique.

Nous étions donc à peu près d'accord et le général me promit un appui énergique. Dans ces conditions-là j'acceptai et me décidai à faire les démarches nécessaires. '

J'écrivis au général Coffînières, qui commandait alors l'École polytechnique, pour poser ma candidature.

J'écrivis à M. Lamarle pour le prier de me recommander à M. Bommard, qui faisait partie du conseil de perfectionnement de l'École.

Je vis aussi M. Reynaud, professeur d'architecture k l'École et directeur des phares. Je lui décrivis le gros œuvre de l'édifice que j'ai élevé et il parut me comprendre.

Je vis encore M. Delaunay, qui me permit de lui expliquer en détail ma théorie et qui en parut satisfait.

Le général Poncelet fit ce qu'il put en faveur de ma candidature et donna même à mon intention un grand dîner, où il réunit, pour leur parler de moi, la plupart des membres du conseil de perfectionnement de l'École. Maisje fus violemment desservi, dans cette réunion, dont naturellement j'étais absent, par MM. Serret et Hermite, et le général, ne pouvant m'assurer un assez grand nombre de voix, reporta tous ses efforts sur la candidature de M. Mannheim .

Les ennemis de M. Haton voulaient conserver mon nom sur la liste de présentation, pour tâcher d'écarter le candidat dont ils ne voulaient à aucun prix, mais on ne m'offrait plus que la seconde place.

Or, cette place ne me paraissait pas enviable, et d'ailleurs je ne voulais pas que mon nom servit à une intrigue. Je retirai ma candidature.

M. Haton, nommé examinateur, donna sa démission des fondions de répétiteur de mécanique qu'il exerçait depuis quelques années. Le général voulut me faire nommer à sa place et réussit cette fois. Mais Bour était furieux contre moi. Il prétendait que ma retraite avait déterminé la nomination de M. Haton.

La veille de la nomination, je dis au général que je voudrais voir Bour en sa présence. Le général porta chez lui sa carte avec un mot par lequel il le priait de le venir voir le soir. Bour ne s'attendait pas à me voir, et d'un autre côté il est assez difficile de donner de mauvaises raisons pour faire étrangler un homftie, quand il est là. Ce pauvre Bour fut pris au piège et n'ayant pas d'objection avouable à faire contre moi, il fut obligé de nous donner sa parole d'agir en ma faveur. H le fît du reste en homme d'honneur, sans arrière-pensée, et réussit. Jusqu'à sa mort qui arriva malheureusement bien peu de temps après, nous vécûmes toujours dans la meilleure intelligence.il me chargea même de le suppléer

à l'École polytechnique, pendant six semaines environ, durant sa dernière maladie.

J'ai dit comment j'avais échoué autrefois dans la recherche des courbures des conjuguées. Voici comment je parvins à résoudre cette importante question.

C'est à l'occasion de mes recherches sur la marche continue d'une fonction implicite et surles conditions de la convergence de son développement que je fis le premier pas dans cette découverte.

Pour mieux me rendre compte de la figure d'une des conjuguées du lieu

j'en avais calculé directement la courbure au point oîï elle touchait la courbe réelle et je l'avais trouvée égale à celle de cette courbe au même point.

Comme la conjuguée, ni par conséquent son point de contact avec la courbe réelle n'avaient rien de remarquable, cette coïncidence me frappa. Je refis l'expérience sur un autre point, le résultat fut le même; je calculai en un point de la courbe

y'' -f- a* = fl*

le rayon de courbure de cette courbe et celui de sa conjuguée, ils se trouvèrent encore égaux. Il était évident que ce devait être là une règle générale : quelle pouvait en être la cause première? Je réfléchis que la vérification du fait, pour le cercle et l'hyperbole équilatère, sa conjuguée, en entraînerait la démonstration générale; car si un cercle avait un contact du second ordre avec une courbe quelconque, leurs conjuguées, issues du point- de contact, devant avoir entre elles un contact du même ordre, si les courbures du cercle et de l'hyperbole sa conjuguée étaient les mêmes, celles de la courbe considérée et de sa conjuguée seraient aussi les mêmes.

Les rayons de courbure du cercle et de sa conjuguée, en leur point de contact étant donc effectivement égaux, comme il est facile de le vérifier, j'en conclus ce théorème général que les conjuguées d'une courbe quelconque ont toujours mêmes courbures qu'elle aux points où elles la touchent.

La facilité de ce premier succès m'engagea naturellement à tenter de nouvelles recherches dans la même voie. La considération de l'une des enveloppes appelait naturellement celle de l'autre, car les courbures des conjuguées en leurs points de contact avec l'enveloppe réelle donnant lieu à une relation si remarquable, il y avait lieu d'espérer que

leurs courbures, en leurs points de contact avec l'enveloppe imaginaire, fourniraient aussi quelque relation intéressante.

Mais la nouvelle question que je me posais, outre qu'elle était bien plus difficile à résoudre, était double en réalité : car il s'agissait d'abord d'obtenir la courbure de l'enveloppe imaginaire des conjuguées d'un lieu quelconque, en un quelconque de ses points, et ensuite la courbure d'une quelconque des conjuguées du lieu, en son point de contact avec cette enveloppe imaginaire. Et il fallait créer des méthodes pour aborder ces deux questions.

Je songeai que si les enveloppes imaginaires de deux lieux avaient mêmes coordonnées en un de leurs points de rencontre et que les deux premières dérivées de y par rapport à x, données par les équations de ces deux lieux, eussent aussi mêmes valeurs en ce point, ces deux enveloppes devraient y avoir même courbure etje m'assurai qu'en effet la

condition que -f- restât réel, c'est-à-dire la condition de cheminer sur dx

l'une ou l'autre enveloppe, complétait bien les conditions nécessaires pour que les deux enveloppes eussent effectivement un contact du second ordre.

Ce point établi, la méthode à employer pouvait consister à établir un contact analytique du second ordre entre le lieu proposé en un point de l'enveloppe de ce lieu et un cercle imaginaire, sauf à rechercher ensuite directement le rayon de courbure de l'enveloppe imaginaire des conjuguées du cercle imaginaire en un de ses points : car si on déterminait les coefficients de l'équation

de façon que cette équation donnât, pour une valeur de x égale à l'abscisse d'un point de l'enveloppe imaginaire d'un lieu, les mêmes valeurs

~~' du d^v pour y, -r^ et -T^j, que donnait déjà l'équation de ce lieu, d'abord le lieu

CLOO (1*jC

{x-df^{y-bf=K-^

passerait par le point considéré de l'enveloppe en question; en outre ce point appartiendrait bien à l'enveloppe imaginaire des conjuguées du lieu

puisque cette équation donnerait en ce point, pour 3^, une valeur

dx

réelle, enfin les enveloppQS des deux lieux auraient bien même courbure, -7-^ ayant aussi même valeur dans l'un et l'autre cas.

Les paramètres a, b, R devant être déterminés par les mêmes formules qui donnent le centre et le rayon du cercle osculateur à une courbe quelconque en un point réel, il n'y avait pas à s'en occuper.

Il ne restait donc qu'à trouver le rayon de courbure, en un quelconque de ses points, de l'enveloppe imaginaire des conjuguées du cercle imaginaire

{x — a — a: sl~\fj^{y—b^b' sl^y = (r + r' V^^)'.

Je cherchai d'abord l'équation en coordonnées réelles de cette enveloi)pe et je trouvai, à mon grand étonnement,

Çx—a—a'Y-\-{y — b--b'f=:{r-\-r')\

L'enveloppe imaginairedes conjuguées d'un cercle imaginaire était donc un cercle et son équation s'obtenait en remplaçant sj — 1 par 1 dans l'équation du cercle imaginaire. Alors la question, effrayante de loin, de la recherche du rayon de courbure de cette enveloppe en un quelconque de ses points, tombait d'elle-même. Ce rayon était trouvé d'avance, il était constant et égal hr -\- r'.

Ainsi pour avoir le rayon de courbure de l'enveloppe imaginaire des conjuguées d'un lieu quelconque, en un quelconque de ses points, il n'y aurait qu'à prendre la valeur de l'expression

au point considéré.

Le calcul de cette expression donnerait un résultat de la forme

r -\- r \/ — 1 et le rayon de courbure cherché serait r -\-r'.

C'était magnifique.

Mais il restait à trouver le rayon de courbure d'une conjuguée en son point de contact avec l'enveloppe imaginaire.

Toutefois, la question se réduisait à trouver le rayon de courbure d'une conjuguée du cercle imaginaire en son point de contact Avec l'enveloppe des conjuguées de ce cercle. Le calcul est un peu long, mais le résultat devait m'en dédommager: on trouve que ce rayon est constant, c'est-à-dire que toutes les conjuguées du cercle imaginaire, quoique très-différentes de forme, ont même courbure aux points où elles touchent leur enveloppe circulaire. Le rayon de cette courbure est

Ce qui précède forme le chapitre ix de mon mémoire, qui parut dans le tome VI delà deuxième série du Jowmal de mathématiques de M. Liouville.

Je n'en étais encore que là en 1861. Je n'avais pas encore trouvé un

moyen d'aborder la recherche du rayon de courbure d'une conjuguée

quelconque en un quelconque de ses points. Il est facile d'apprécier

les difficultés que comportait celte question : la formule du rayon de

courbure d'une courbe en un point réel ne contient pas les coordon-

dy d^y nées du point parce que -^^ ni -^ne changent pas de valeurs quand on

transporte les axes parallèlement à eux-mêmes en un point quelconque et que l'on aurait pu d'avance transporter l'origine au point considéré de la courbe. Mais si dans une équation f{x, y) = 0 on remplace x par X -{- h -\-k \l — 1 et y par y -\- h! -\- k' \J — 1, toutes les conjuguées

changent excepté celle dont la cararctéristique est -„ et cependant —

d^u et -T-^ conservent les mêmes valeurs aux points correspondants. Les dx

coordonnées du point de la conjuguée entreraient elles donc dans la formule du rayon de courbure ? Gela paraissait d'autant plus à craindre que la caractéristique certainement devrait y entrer et que la caractéristique étaitliéeaumoins aux partiesimaginaires des coordonnées dupoint. Cette incertitude m'arrêtait depuis un certain temps lorsque Vidée me vint de généraliser la question et, sans plus m'occuper des coordonnées du point du lieu, de considérer à partir de ce point tous les lieux des points dont les coordonnées, satisfaisant toujours bien entendu à l'équation proposée, varieraient de façon que les accroissements des parties imaginaires de leurs coordonnées restassent dans un rapport constant, et de chercher l'expression générale des rayons de courbure, au point de départ de ces lieux, parmi lesquels serait naturellement comprise la conjuguée qui en émergerait.

Ainsi soient x^ = «o -4- ^o V — 1 et y^ == a'^ + p'^ v — 1 ^^s coordonnées d'un point quelconque d'un lieu et que l'on conçoive toutes les solutions de l'équation du lieu rentrant dans le type

y = «'o + ^W-"i +«' + PGv'— 1

C étant une constante, la suite des points correspondant à ces solutions formera un lieu, qui variera avec C, mais qui se confondra avec la con-

juguée issue du point [x^, yj lorsque G sera égal à —; de sorte que si

l'on pouvait exprimer le rayon de courbure du lieu déflni par une valeur quelconque de C, il n'y aurait ensuite qu'à supposer que C devînt la caractéristique de la conjuguée considérée, pour avoir le rayon de courbure de cette conjuguée; or dans cette manière d'embrasser la question x^ et y^ se trouvaient d'avance éliminés.

En désignant par n le rapport du petit au grand axe de l'ellipse évanouissante

ax et par r-{-r' y— 1 la valeur de

dx'

on trouve pour le rayon de courbure du lieu défini comme plus haut, par la valeur de G,

{r—r') (G^—SCn*) 4-(r+ r') {dC'n—n')'

On arrive à une formule plus simple si l'on prend pour donnée, au lieu de C, la tangente a de l'angle que la tangente au lieu G fait avec le grand axe de l'ellipse évanouissante

dx

On trouve alors

-f- 'ànaY — 3n^ar — nV

VI — nV aV

Cette théorie a été publiée en 1862 dans le tome VU de la deuxième série du journal de M. Liouville.

La solution générale du problème des courbures des courbes imaginaires, bien que complétée de cette manière, ne me satisfaisait toutefois pas entièrement. Je sentais qu'on pourrait en obtenir une meilleure, tirée de la considération directe des angles imaginaires ; maisd'ailleursje voulais fonder, par rapport aux coordonnées polaires, l'équivalent dece qui

avait été fait par rapport aux coordonnées rectilignes, ou du moins retrouver dans l'équation d'un lieu en coordonnées polaires, les conjuguées de ce lieu, et cette question me ramenait à la question des angles imaginaires.

Je rédigeai d'abord ce que je savais depuis longtemps de la théorie des angles imaginaires considérés comme secteurs d'hyperbole équilatère et des triangles imaginaires déûnis par des données réelles. Cette théorie parut au commencement de 4862 dans le tome VII de la deuxième série du journal de M. Liouville, avant la théorie générale des courbures que j'espérais pouvoir améliorer.

Après avoir constitué la trigonométrie imaginaire sur laquelle je ne reviendrai pas ici, je me trouvai en face de cette question capitale:

pourquoi un seul coefficient angulaire, m -\-n\] — 1, qu'on pouvait faire égal à la tangente d'un angle imaginaire, <? + <]' V — 1, correspondait-il à une infinité de directions ?

La réponse à cette question, quoiqu'elle soit loin de se présenter d'elle-même à l'esprit, est pourtant bien simple.

Si au lieu de l'équation

dans laquelle on fait ordinairement R = 1, ce qui est un tort, parce que R aurait pu être imaginaire, on considère l'équation

les rapports kr -\- r' \'— 1 des coordonnées d'un point du lieu correspondant, sont encore le sinus et le cosinus d'un même angle, mais cet angle, placé au centre du cercle imaginaire dont le rayon est r -{- r' sj—i, ne correspond plus à la même inclinaison sur l'axe des x que le même angle, au centre du cercle réel; cela tient à ce que les cercles imaginaires ne sont pas semblables au cercle réel et ne sont semblables entre eux qu'autant que le rapport des parties réelles de leurs rayons soit égal à celui de leurs parties imaginaires.

lien résulte que si on donne un angle <p +^ \l — ^, sans donner le rapport des parties réelle et imaginaire du rayon du cercle au centre duquel cet angle doit être construit, on ne donne qu'un des éléments de la direction correspondante.

Pour avoir toutes les directions qui correspondent à l'angle donné, il faut considérer cet angle comme devant être successivement placé aux centres de tous les cercles imaginaires.

Quant à la représentation géométrique d'un angle cp -j- «f V — *> P^^cé

au centre d'un cercle

^' + 2/' = (^ + r' sF^\)\ on trouve que si l'on construit le point [a?, y] dont les coordonnées, divisées par r -\- r' \f—i, seraient le sinus et le cosinus de l'angle ç -[ ,]; y/ — 1, qu'on le joigne à l'origine, c'est-à-dire au centre du cercle, et qu'on joigne aussi à l'origine le point de contact de la conjuguée à laquelle appartient ce point avec l'enveloppe imaginaire de toutes les conjuguées, c'est-à-dire avec le cercle

l'angle <? + <}' y — 1 6st le double du rapport à (r -j- r'v/ — l)^ de la somme des aires du secteur circulaire, compris entre le rayon couché suivant la direction positive de l'axe des x et le rayon dirigé au point de contact dont il vient d'être parlé, et du secteur de la conjuguée à laquelle appartient le point [x, y] compris entre le rayon précédent et le rayon dirigé au point \x, y], chacun de ces secteurs étant représenté par la formule intégrale qui conviendrait à son expression s'il était réel. Cela posé, si l'on considère simultanément les deux équations

y={m-\-n y/— l)x=: tang (<? -f- ^l/ V* — l) ^ et

y' pour chaque valeur du rapport —, les deux lieux se couperont en deux

pomts symétriques par rapport à l'origine ; mais si - varie, ce seront successivement toutes les droites du faisceau

y = {m-\-n sf—l) x

qui contiendront les deux intersections ; le rayon mené à l'un des points de rencontre, le rayon mené au point de contact de l'enveloppe des conjuguées du cercle et de la conjuguée passant par le point de rencontre, enfin le rayon couché suivant l'axe des x détermineront pour

r' chaque valeur de - deux secteurs, et à chaque instant le double du rapport de la somme de ces secteurs à (r -j- r' sj— 1)2 sera fourni par la

constante 9 -j- <}' y — 1. Ainsi la môme expression numérique de l'angle d'un faisceau de droites avec l'axe des x correspondait effectivement à une infinité d'angles.

Il devenait dès lors facile de donner aux équations en coordonnées polaires la même extension qu'ont reçue les équations en coordonnées rectilignes :

En effet, si dans une équation

on remplace x par p cos w et y par p sin oj, pour retrouver ensuite dans l'équation

f (p cos (0, p sin w) = 0

tous les points réels ou imaginaires du lieu f (j?, y) = 0, il suffirait pour

chaque système de valeurs de p et de w, de concevoir le cercle imaginaire

de rayon p et de construire au centre de ce cercle le secteur dont le

produit par ^ serait le nombre w.

D'ailleurs les solutions de l'équation

/"(p cos 10, p sin oj) = 0

qui donneraient tous les points de la conjuguée G du lieu f {x^ y) = 0 devraient satisfaire à une condition facile à exprimer entre les parties du rayon p égal à r -}- ^' V — 1 et de l'angle w égal à «j. + <j^ sj — 1. Ainsi par exemple pour retrouver dans l'équation

'^ 1 — e cos 0)

la conjuguée à abscisses réelles de la conique fournie par les solutions réelles de l'équation, il faudrait faire p réel et to imaginaire sans partie réelle. Les angles seraient comptés dans des cercles réels, mais ce seraient les doubles de secteurs d'hyperbole équilatère, de rayon 1.

C'est là que se terminait la série de mes Mémoires qui parurent de dSSS à 1862, dans le journal de M. Liouville.

M. Lamarle fit paraître en 1863 une nouvelle édition de son Exposé géométrique du calcul différentiel et intégral, j'y remarquai les passages suivants :

Page 66.

a Théorème. — Toute fonction est développable en série convergente suivant la formule de Taylor ou de Maclaurin, tant que le module de

la variable reste moindre que la plus petite des valeurs pour lesquelles la fonction cesse d'être continue ou de prendre mêmes valeurs (au pluriel) aux deux limites 6 = 0, 6 = 2u. »

Même page, en note.

« Ce théorème a été donné, pour la première fois, par M. Gauchy, sous une forme qui laissait prise à quelque incertitude. Nous avons cru devoir en modifier l'énoncé, pour lui restituer toute la rigueur et toute Isigénéralùéqa'ilcomiiorleiyoirJournaldemathématiques, tomeXI, 1846, et tome XII, 1847). M. Maximilien Marie a rencontré cette même question dans sa Nouvelle Théorie des fonctions de variables imaginaires. Il rectifie ce que les énoncés antérieurs avaient de vicieux et s'accorde avec M. Tchébycheff et moi sur le point principal, d

Page 70.

« Toute fonction est développable en série convergente suivant la formule de Taylor ou de Maclaurin, tant que le module de la variable reste moindre que la plus petite des valeurs pour lesquelles la fonction cesse d'être continue ou de prendre même vaZewr (au singulier) aux deux limites = 0, ô = 27r. Lorsqu'on dépasse la plus petite de ces valeurs, la série devient divergente. »

Même page, en note:

{( Il est bien entendu que la fonction considérée est censée n'admettre pour chaque valeur de la variable qu'une valeur unique, correspondante à une branche distincte et isolée. C'est cette valeur qui, par hypothèse, concourt exclusivement à la formation de tous les coefficients de la série. »

Page 114, en note :

(( On peut varier à l'infini les différenls modes que comporte la représentation géométrique des imaginaires. Nous ne nous occupons ici que d'un seul mode choisi parmi les plus simples et les plus élémentaires ; le lecteur qui voudrait étendre et poursuivre ces recherches peut consulter avec fruit les travaux de M'^ M. Marie, déjà cités en note, page 66. »

Page 124:

(( M. Tchebycheff a proposé en 1844 un autre énoncé dont je n'avais pas connaissance, et qui se trouve reproduit dans le mémoire déjà cité de M. Marie. Voici cet énoncé. (Suivait l'énoncé que j'ai donné plus

haut.) n

Désirant remercier M. Lamarle et en même temps l'avertir des erreurs que contenaient les passages que je viens de, citer, je lui écrivis :

8 août 1863.

«Monsieur, on vient de me montrer le second volume de voire Exposé géométrique du calcul différentiel et intégral, et je m'empresse de vous adresser mes sincères remercîments au sujet des choses flatteuses que vous voulez bien dire de moi et de mes ouvrages.

« Votre bienveillante recommandation ne saurait manquer d'être très-utile aux idées que je défends.

« Voulez -vous me permettre une observation sur un point qui m'a paru laisser prise au doute ?

« Vous avez évidemment destiné la note qui termine la page 70: «Il est bien entendu que la fonction considérée, etc., » à renier l'erreur que j'ai principalement combattue dans le préambule de mon mémoire sur la série de Taylor, savoir, que la série devenait divergente dès que le module de a; — x^ dépassait le moindre des modules de a — a^^, b — x,, etc., a, b, etc., désignant les valeurs de x correspondant aux points dangereux.

« Mais cette note ajoutée après coup, peut-être dans un moment de fatigue d'esprit ou de précipitation, jure avec ce qui précède immédiatement, car la fonction ne pourrait pas manquer de reprendre même valeur aux limites 0 et Sir, si elle n'en avait jamais qu'une pour chaque valeur de x.

«Je vous avais, dans mon Mémoire, imputé l'erreur commune à tous mes devanciers, parce que précisément votre énoncé contenait implicitement l'hypothèse que la fonction considérée fût capable de plusieurs valeurs pour une même valeur de la variable.

«C'est par un motif analogue que j'avais compris M. TchébychelT dans le même procès, bien que son énoncé ne comportât pas une interprétation aussi précise que le vôtre, parce qu'il a donné prise à la critique, en faisant application de son théorème à une fonction radicale.

a J'ai vivement regretté. Monsieur, que vos occupations ou votre état de santé, ne vous aient pas laissé le loisir d'entrer dans une discussion plus approfondie de la matière; si peu de personnes la connaissent et tant de gens en parlent, que c'est un véritable malheur que les personnes vraiment compétentes ne puissent pas aider le public à se guider au milieu d'assertions toutes contraires les unes aux autres.

« Permettez-moi, Monsieur, devons renouveler mes remercîments et de vous assurer de nouveau de mon profond respect.»

Voici la réponse de M. Lamarle :

ni» p. 10

Calais, ce U août 18C3.

« Monsieur, je reçois à Calais, où je suis pour deux mois encore, la lettre que vous m'avez adressée à Gand. Je suis fort embarrassé d'y répondre pertinemment, m'élant défait du seul exemplaire que j'eusse ici, et n'ayant sous les yeux ni mon manuscrit ni votre travail. La confusion que vous me signalez me paraît provenir de ce que, dans la note, je n'avais probablement en vue que les valeurs réelles de la variable, tandis qu'en la rapprochant du texte, il semblerait qu'il s'agît départ et d'autre des valeurs imaginaires. Quoiqu'il en soit, je vous sais grand gré de vos observations ; je vous en remercie et vous prie, au besoin, de ne pas me les épargner; j'en tiendrai bonne note.

«Il n'a pas dépendu de moi d'approfondir et de développer davantage les parties purement analytiques. Le temps et l'espace me manquaient. J'attachais aussi plus d'importance à la partie géométrique, et comme elle exigeait une assez grande extension, j'ai dû me restreindre ailleurs.

Recevez, Monsieur et cher camarade, l'assurance affectueuse de mes sentiments les plus distingués.

Une place d'examinateur d'admission étant de nouveau devenue vacante, j'écrivis à M. Liouville :

26 avril 1864.

«Monsieur, une nouvelle vacance de la place d'examinateur d'admission à l'École polytechnique, me laisse l'espoir d'arriver enfin cette fois et de sortir du provisoire où je végète depuis vingt-cinq ans,

« J'ai pu me faire connaître à l'École, ces deux dernières années, comme répétiteur, et je crois y être apprécié; le général et le directeur des études, j'ai lieu de le penser, me seront favorables.

« Mais, pour ne laisser à leur bienveillance aucun scrupule, je voudrais qu'ils me connussent un peu mieux comme géomètre, s'il m'est permis de prendre ce titre.

«La justice que vous m'avez rendue en me faisant l'honneur d'admettre dans votre journal le résumé de mes travaux, a eu déjà pour moi l'avantage inappréciable d'imposer silence à d'injustes préventions. Certes je vous en conserverai une reconnaissance éternelle.

« Mais cette distinction, à laquelle j'attache le plus haut prix, n'est peut-être pas d'une nature assez significative auprès d'administrateurs purs.

« J'ai donc pensé à vous prier non pas de prendre parti pour moi, ni de faire aucune comparaison entre moi et les autres candidats, mais simplement de vouloir bien me définir comme mathématicien, dans un mot adressé au général Coffinières.

« Le général Poncelet, dont l'avis favorable m'a encouragé à vous adresser cette demande, compte joindre ses prières aux miennes pour' vous la rendre agréable. »

M. Liouville écrivit bien en ma faveur au général Coffinières, mais en laissant à sa recommandation une forme trop modeste pour sa valeur réelle.

M. Liouville aurait pu exercer utilement un empire légitime sur le monde savant; il est regrettable que sa timidité ait laissé la place libre à de moins dignes.

Les honnêtes gens, malheureusement, sont trop souvent disposés à se désintéresser de ce qui se fait autour d'eux. Il leur répugne de se mêler à des tripotages, et l'habitude du droit chemin, en ce q'ui les touche, les dégoûte de suivre les intrigants dans leurs voies tortueuses. Mais il faudrait surmonter ce dégoût. Les hommes faits pour exercer un empire salutaire doivent leurs services à la société.

Tous les travaux que j'avais projetés étant terminés, je me porta, d'un autre côté. J'avais durant dix années de professorat à Auteuil écrit, récrit et parachevé un traité d'algèbre élémentaire qui contenait toute ma doctrine sur le calcul abstrait des grandeurs négatives et imaginaires. Je tenais à faire paraître cet ouvrage, je le proposai à M. Mallet-Bachelier par la lettre suivante :

« Monsieur, je viens vous proposer l'édition d'un cours d'algèbre élémentaire pour les candidats aux Écoles centrale, forestière, etc. Le manuscrit est prêt et l'impression pourrait être terminée pour la rentrée.

« L'ouvrage que je vous propose n'est pas une reproduction de traités déjà trop nombreux et trop semblables les uns aux autres; ce n'est pas un manuel, c'est un traité entièrement neuf, où je me suis attaché à expliquer ce qu'il y a de plus difficile dans la science, ce qu'on ne sait comme'ht dife aux élèves et qu'ils ne parviennent ordinairement,à découvrir qu'avec les plus grands efforts et seulement lorsqu'ils sont trèsintelligents.

«Les autres ouvrages dont je m'occupe et notamment celui que je publie dans le journal de M. Liouville, doivent vous prouver que je ne songerais pas à publier un traité d'algèbre élémentaire si je n'avais rien d'utile à dire.

« Je suis à votre disposition pour les nouveaux renseignements que vous auriez à me demander. (S

M. Mallet agréa ma proposition, de sorte que je cessai toutes nouvelles recherches pendant quelque temps.

Mais je ne délaissais pasjjour cela mes études favorites, puisqu'il s'agis- *sait de fonder la théorie du calcul abstrait des grandeurs négatives et imaginaires, théorie qui devait être la première base d'une méthode d'interprétation des solutions singulières des équations algébriques. D'un autre côté, je ne faisais que poursuivre sur un autre terrain la lutte que j'avais entreprise contre la fatale influence de Técole de M. Cauchy.

Cependantje commençais à apercevoir dans le lointain deux nouveaux buts à atteindre.

J'avais traité sur des exemples assez nombreux la question de la détermination, parmi les points critiques, du point d'arrêt de la convergence de la série de Taylor ; ne serait-il pas possible de parvenir à une solution générale de la question?

D'un autre côté, je savais depuis longtemps que les périodes de la quadratrice de la courbe la plus générale de degré m disparaissent une h une en devenant nulles ou infinies quand il se forme dans cette courbe des points doubles à distance finie, ou quand ses asymptotes vont à l'infini par couples de deux : ne serait-il pas possible d'assigner le nombre maximum des périodes en déterminant le nombre de celles qui auraient persisté dans une courbe devenue plus simple par suite de la formation de plusieurs points doubles ou de la disparition de quelques couples d'asymptotes et rajoutant le nombre de celles que l'on aurait fait disparaître ?

Je commençai par la première question, parce que j'y avais déjà fait un premier pas assez important lors de la publication de l'extrait que j'ai donné de mes mémoires insérés dans le Journal de mathématiques^ à l'occasion de ma candidature à la place d'examinateur d'admission à l'École polytechnique en 1861, J'avais efi"ectivement fait remarquer, dans cet extrait, que ceux des faits que j'avais constatés pouvaient se résumer dans cet énoncé : De toutes les conjuguées qui passent par les points critiques, il y en a deux qui comprennent immédiatement celle où se trouve le point origine; et c'est toujours à l'un des deux points critiques par où passent ces deux conjuguées que la convergenée est limitée, de sorte que pour obtenir le point d'arrêt il n'y a qu'à appliquer à ces deux points critiques la règle que Cauchy avait donnée en termes trop généraux.

Le fait est parfaitement vrai lorsque tous les points critiques sont réels et j'avais cru la loi générale. J'en fis l'objet d'une communication à l'Académie le 22 mai 1865.

Je priai le général Poncelet, à qui j'avais expliqué mon Mémoire, de le présenter à l'Académie. Le général s'attendait à être désigné par le président pour examiner mon trfivail et, suivant la formule usitée, en rendre compte à l'Académie. Il crut devoir se chercher des collègues, et de-

manda, sans m'en avoir parlé, leur concours à MM. Bertrand et Bonnet, qui, sans doute, ne voulurent pas refuser.

L'extrait qui a paru dans les Comptes rendus contenait la reproduc^ lion de la règle que je viens d'énoncer et se terminait par ces quelques mots d'explication :

« La démonstration est établie directement pour le cas où tous les

points critiques, caractériséspar la condition -j^ =oc, appartiennent au

lieu réel. Elle est ensuite étendue, à l'aide déconsidérations très-simples de continuité, d'abord au cas où les coefficients de l'équation/"(ar, y)= 0 qui détinit la fonction y, supposée algébrique, deviennent imaginaires, les points critiques restant toutefois caractérisés

par la condition ~ =ao ; en second lieu au cas où les dérivées de la dx

fonction ne deviennent infinies en certains points critiques qu'à partir

d'un ordre supérieur.

« La démonstration consiste toujours à faire voir que si le point origine [xq, 2/J, à partir duquel on développe la fonction, se trouve sur l'une des conjuguées qui contiennent les points critiques, la convergence ne saurait être arrêtée qu'en l'un des points critiques situés sur cette conjuguée.

«.Cette proposition établie, on en conclura en effet immédiatement que comme la région de convergence restera d'abord limitée au môme point critique, lorsque le point origine commencera à s'éloigner insensiblement de la conjuguée critique qui le contenait d'abord, et que d'ailleurs le déplacement de ce point origine, vers l'une des deux conjuguées critiques voisines, devra finalement avoir pour effet de transporter le point d'arrêt de la convergence en l'un des points critiques situés sur cette conjuguée voisine : nécessairement le déplacement de la limite aura dû coïncider avec le passage du point origine sur l'une des deux courbes définies par l'équation du lieu, combinée avec la condition d'égalité entre les modules des différences entre l'abscisse x du point mobile et les abscisses du premier point d'arrêt et de l'un des points critiques voisins, c'est-à-dire situés sur l'une des conjuguées critiques voisines.

« Premier cas. — Soit [x^, y^ le point origine, situé sur la conjuguée qui passe au point critique A, dont l'abscisse réelle est a : il s'agit de faire voir que la convergence ne saurait être arrêtée en un autre point critique G, dont l'abscisse réelle c différât même beaucoup moins de x,, que a n'en diffère lui-même.

« Or, pour que la convergence fût limitée à l'abscisse c du pointe, il

faudrait que la série pût donner l'ordonnée d'un point infiniment voisin de G sur la courbe réelle ou sur la conjuguée qui passe en G.

« Mais dans cette hypothèse la série, variant d'une manière continue de x = ch.x = XQ, fournirait, pour x = x^, l'ordonnée de la branche issue du point G, ce qui est impossible puisqu'elle fournit déjà celle de la branche qui part du point A.

« Second cas. — La démonstration relative au second cas est fondée sur cette remarque simple, que lorsque les coefflcients , primitivement réels, d'une équation, prennent des accroissements imaginaires d'abord infiniment petits,' la portion réelle de l'enveloppe, qui disparaît instantanément, se transforme aussitôt en enveloppé imaginaire. L'enveloppe totale, complètement imaginaire, du nouveau lieu est en continuité de forme et de position avec l'ancienne enveloppe.

« Troisième cas. — La démonstration relative au troisième cas résulte de ce que l'état singulier que l'on considère peut toujours être considéré comme compris entre des états infiniment voisins rentrant dans le second cas. »

La démonstration que je donnais pour le cas où tous les points critiques seraient réels était inattaquable, et je ne connais aucun exemple qui infirme la règle que je proposais, dans les autres cas.

Toutefois la démonstration que je proposais dans le cas général supposait que la courbe d'équilibre entre deux points critiques voisins ne pût couper ni l'une ni l'autre des conjuguées passant par ces deux points critiques, ce qui paraît douteux.

Je m'en aperçus et je refondis mon Mémoire, mais je n'en étais pas encore très- satisfait, en ce sens, que, sans douter de l'exactitude de la loi que j'avais proposée, je ne voyais pas comment je pourrais répondre aux objections qui pourraient m'être opposées.

Toutefois la démonstration, en ce qui concernait le premier cas ; le plus important de beaucoup, pouvant défier toutes critiques, j'allai voir M. Bertrand et M. Bonnet, tout disposé à abandonner ma solution dans les autres cas, si l'on m'en accordait le bénéfice dans le premier; la solution de la difficulté, dans ce cas, constituant déjà un progrès bien remarquable à une époque où, malgré mes publications antérieures, on admettait encore généralement l'exactitude de la règle de Cauchy, relative au point d'arrêt de la convergence.

M. Bertrand me reprocha, ce dont j'étais bien innocent, de lui avoir fait deniander par le général de se laisser mettre sur la liste des commissaires chargés de l'examen de mon Mémoire et refusa absolument de m'entendre; il me dit : « Nous aurons peut-être passé à côté d'une belle découverte, mais nous en prenons la responsabilité. »

Je trouvai M. Bonnet plus abordable, mais cependant assez prévenu pour ne me laisser aucun espoir d'obtenir de lui un examen sérieux de mon théorème.

En conséquence, je ne m'en occupai plus.

M. Liouville m'avait gracieusement offert de publier mon Mémoire et si le public ne devait pas en avoir un avis motivé, du moins, mes droits resteraient entiers dès que je voudrais les faire valoir.

Mais je me trouvai à ce moment brusquement lancé dans un travail tout nouveau qui m'absorba entièrement de 1865 à 1870.

J'avais reçu, le 18 janvier 1865, d'un de mes anciens élèves, M. Crété, imprimeur à Gorbeil, qui venait de commencer l'impression du Dictionnaire de M. Larousse, un avis me prévenant du fait, pour le cas où il me conviendrait de collaborer à ce grand ouvrage.

La perspective me souriait à tous égards, non pas seulement comme accroissement de ressources, mais aussi comme moyen de répandre mes idées. J'allai voir M. Larousse, et nous nous entendîmes au bout de quelques visites; je commençai à m'occuper sérieusement de son œuvre vers le mois de juillet et je ne me suis guère occupé d'autre chose jusqu'à la guerre.

Outre les articles qui étaient de mon département, j'en ai revisé ou refait une infinité d'autres dont je n'ai pas gardé note, parce qu'ils ne m'appartenaient pas entièrement. Je donnerai quelque jour la liste de ceux dont je tiens à garder la propriété, pour que les jeunes gens qui seraient entrés dans mes idées puissent les retrouver.

M. Larousse interrompit tout travail dès le début de la guerre; comme j'avais à peu près terminé ce que j'avais eu à faire pour lui, je pris congé. Je ne me suis plus dès lors occupé du Grand Dictionnaire que pour la correction des épreuves de mes principaux articles.

Je fus nommé le 4 septembre commandant du 119° bataillon de la garde nationale et quelque temps après désigné par le sort pour la présidence du conseil de guerre du 9® secteur. — Je n'ai pas besoin de dire que je ne songeai guère aux mathématiques pendant le siège.

Je quittai Paris le 26 mars et allai rejoindre à Tours l'École polytechnique, au commencement de mai.

Vers le miUeu de juin, après avoir terminé ce que j'avais eu à faire à l'École, ne voulant pas revoir Paris dans l'état où il devait être, surtout au point de vue moral, j'acceptai de donner mes soins au fils du général Cavaignac qui allait se préparer à entrer à l'École polytechnique.

C'est chez madame Cavaignac, à Ourne dans la Sarthe, où je restai jusqu'au mois de septembre, que je commençai à me remettre au travail. J'y rédigeai à peu près ce qui précède de ce troisième volume.

A mon retour à Paris je m'occupai de mettre en ordre les matériaux qui devaient composer les deux premiers volumes et de rapprocher les morceaux les uns des autres.

C'est en revisant la partie qui concerne les intégrales simples que je fus amené à entreprendre les nouvelles recherches dont il me reste à parler.

Ces recherches se rapportent à deux ordres d'idées. Je m'étais préoccupé, dès 1853, commeje l'ai déjà dit, de déterminer le nombre maximum des périodes de laquadratrice d'une courbe de degré met cette importante question était toujours restée depuis lors présente à mon esprit. Je désirais beaucoup la résoudre. D'un autre côté, ia théorie des intégrales simples et de leurs périodes, que j'avais donnée en 1853, présentait une lacune, en ce sens que l'intégrale prise le long de l'enveloppe imaginaire, n'ayant pas reçu d'interprétation géométrique, aurait dû être calculée directement, ce à quoi je n'avais pas pu pourvoir, et, de plus, laissait prise à cette objection qui m'avait été faite, que si à la vérité les aires définies que j'avais été amené à considérer fournissaient bien des périodes de l'intégrale, la théorie toutefois n'établissait pas qu'il ne pût pas y en avoir d'autres.

Cette objection me touchait peu parce que dans les conditions où elle était présentée, elle n'était pas admissible. En effet, une pareille objection pourrait être avec juste raison opposée à une démonstration par a •\- b qui n'eût pas été précédée d'une suffisante énumération de toutes

les circonstances possibles. Mais une démonstration constituée par une explication rationnelle des faits est parfaitement au-dessus d'objections pareilles : lorsque la cause commune d'une classe de phénomènes a été découverte, le philosophe n'a plus de doutes. Si la cause vient à manquer, il n'en cherche pas l'etFet.

Mais l'application pratique de la théorie à des exemples n'en restait pas moins entourée de grandes difficultés.

En effet, si l'équation d'un lieu particulier, de degré m, présentait des coefficients imaginaires, on pourrait bien en faire rentrer la discussion dans celle de l'équation la plus générale de même degré à coefficients réels, parce que les mêmes fonctions des coefficients, qui fourniraient les périodes delà quadratrice de la courbe réelle, reproduiraient naturellement celles de la quadratrice de la courbe proposée, mais outre que ces fonctions seraient ordinairement impossibles à déterminer, il arriverait souvent que l'équation proposée présentîlt des réductions dont on perdrait le bénéfice en recourant à l'équation la plus générale du même degré.

Je désirais du reste trouver une réponse sans réplique à l'objection qui m'avait été faite, et cette réponse ne pouvait se déduire que de l'examen des cas que je n'avais pas encore considérés.

J'avais à l'occasion de mon Mémoire de 1865 sur la série de Taylor, qui était resté dans les cartons de l'Institut, reconnu ce fait important que si les coefficients d'abord réels d'une équation, venaient à prendre des accroissements imaginaires infiniment petits, l'enveloppe réelle se transformerait instantanément en enveloppe imaginaire, sans changer d'abord qu'infiniment peu de forme et de position.

Cette observation avait une grande importance au point de vue des questions qui m'occupaient, car il en résultait évidemment que les analogues des périodes réelles de la quadratrice de l'ancien lieu se retrouveraient dans les valeurs de l'intégrale prise le long des anneaux fermés de la portion de l'enveloppe imaginaire qui se serait substituée à l'ancienne courbe réelle.

Mais je n'avais pas encore remarqué que les conjuguées tangentes h la nouvelle portion de l'enveloppe imaginaire seraient restées en continuité géométrique avec les conjuguées tangentes à l'ancienne courbe réelle et qu'en conséquence les analogues des périodes précédemment imaginaires sans parties réelles delà quadratrice, se retrouveraient dans les valeurs de l'intégrale prise le long des anneaux fermés de ces conjuguées,,tangentes à la nouvelle portion de l'enveloppe imaginaire.

Au reste, je sentais instinctivement que la théorie de l'enveloppe imaginaire n'était pas complète et que j'aurais besoin de ce que j'en ignorais encore, pour réussir dans les nouvelles recherches qui me préoccupaient.

Par exemple je croyais depuis longtemps que les deux portions de l'enveloppe étaient réciproques, mais je n'avais aucun moyen de le démontrer; et, d'un autre côté, le fait de la transformation instantanée de l'une des enveloppes dans l'autre donnait naturellement lieu à l'espoir de constater entre ces deux courbes des relations intéressantes.

J'étais ainsi sollicité à la fois dans deux sens différents, où les succès obtenus devraient se prêter un mutuel appui, mais où les chances d'échecs paraissaient certaines.

Jamais je ne cherche ce qui me préoccupe le plus ; j'y songe, j'en rêve ou j'y pense, mais je ne le cherche jamais. Toujours j'attends l'inspiration et quand elle ne vient pas, je me débarrasse de la préoccupation qui m'obsède en faisant autre chose.

Poursuivi par l'image de l'enveloppe imaginaire je cherchai un refuge dans les recherches pratiques que je m'étais proposé depuis longtemps d'entreprendre comme préparation à la solution de la question du nombre maximum des périodes.

Pendant l'année i8o3-18o4, où j'avais vu M. Cauchy à peu près tous les mardis, nos conversations avaient roulé, comme on le pense bien, sur toutes sortes de sujets. Un jour M. Cauchy avait amené la conversation sur le nombre probable de périodes de la quadratrice d'une courbe

de degré m. Je lui avais répondu que ce nombre devait être

parce qu'une courbe de degré wz a m (m — d) tangentes parallèles à une direction donnée et que chaque aire représentative d'une période absorberait deux de ces tangentes, entre lesquelles serait compris l'anneau correspondant à cette période. Il me dit : « Oui, ça doit être quelque chose comme cela. »

J'ignore si la formule du nombre maximum des périodes, qu'on a retrouvée dans ses papiers, d'après M. Jordan, était précisément celle-là et si M. Cauchy l'avait écrite pour fixer ses souvenirs. Mais cela me paraît vraisemblable. Je voyais encore à cette époque, pour croire à l'exactitude de la formule que je viens d'indiquer, une raison en apparence plus positive, fondée sur ce que la disparition d'une période devait correspondre à l'évanouissement d'un anneau de la courbe réelle ou d'une de ses conjuguées, c'est-à-dire à la formation d'un point double et que, d'autre part, le nombre des points doubles d'un lieu de degré m

pouvait atteindre — —- lorsque ce lieu dégénérait en m droites.

Mais les exemples que j'avais traités ne vérifiaient pas cette formule.

Je résolus en conséquence d'étudier successivement, sous le rapport qui me préoccupait, les équations du troisième, du quatrième et, si je pouvais, du cinquième degré, de compter dans chaque degré le nombre maximum de périodes et de chercher à apercevoir s'il était possible le»

circonstances qui pouvaient présider à des réductions ou décompositions dont la cause m'échappait.

Le procédé dont je comptais me servir était simple et l'emploi pourrait en être prolongé tant qu'on voudrait, il consistait, pour obtenir dans chaque degré des équations assez simples pour se prêter à une discussion complète, à introduire volontairement des points doubles, en nombre suffisant, dont la présence correspondît à la disparition d'autant de périodes et à compter celles qui resteraient.

Je commençai sur ce plan la discussion de l'équation du troisième degré et celle du quatrième.

Les périodes s'apercevaient dans chaque cas, et on pouvait aisément les compter; mais les résultats ne concordaient pas, parce que je n'avais pas su distinguer des autres les périodes cycliques, dont la disparition correspond à d'autres conditions que la formation des points doubles.

Mais je fus momentanément détourné de ce travail parla découverte, que j'attendais depuis longtemps, de celles des propriétés de l'enveloppe imaginaire que je désirais le plus de connaître.

Celle qui se présenta la première à moi est celle dont je me doutais le moifis, à laquelle je me serais le moins attendu et dont je n'aurais jamais songé à m'occuper, la théorie de la courbure de l'enveloppe imaginaire ne laissant plus rien à désirer depuis longtemps.

Un rapprochement très-simple me fît reconnaître que la développée de l'enveloppe imaginaire des conjuguées d'un lieu quelconque est l'enveloppe imaginaire des conjuguées de la développée de ce lieu.

La démonstration de cette proposition est fondée sur ce que toutes les droites représentées par une équation du premier degré à coefflcient angulaire réel se confondent en une seule et que la normale à l'enveloppe est précisément donnée par l'équation

où le coefficient angulaire est réel.

Les mêmes considérations devaient naturellement m'amener à constater enfin la réciprocité des deux enveloppes, en les regardant l'une comme l'enveloppe d'une droite

et l'autre comme l'enveloppe de la droite correspondante

c'est ce qui arriva en effet peu de temps après.

Enfin ridée me vint un jour de chercher à faire dépendre la valeur

de l'intégralo / ydx prise le long d'un arc de l'enveloppe imaginaire,

des aires des segments correspondant à cet arc et à celui dont les points seraient fournis par les valeurs imaginaires conjuguées des coordonnées de ceux du premier.

Cette idée, en apparence très-détournée, eut un plein succès.

La formule très-simple à laquelle j'arrivai donnait en effet de la manière la plus satisfaisante la solution de la seule difficulté que présentait encore la théorie géométrique des intégrales simples ramenées à des quadratures.

J'avais dès lors les éléments d'une communication importante : je songeai naturellement à M. Liouville ; je lui écrivis :

Avril 1872.

« Monsieur, mes loisirs forcés de l'année dernière m'ont ramené aux mathématiques dont je ne m'occuperai peut-être plus que cette fois, mais auxquelles je compte consacrer quelques années pour arriver à compléter, autant qu'il peut être en moi, l'œuvre de toute ma vie.

« En revoyant ce qui est déjà fait, je suis arrivé à quelques résultats intéressants, dont il vous conviendrait peut-être de faire part à vos lecteurs. Comme il s'agit de choses qui appartiendront plus tard à des chapitres différents, je donnerais à ma communication la forme d'une lettre qui occuperait huit à dix pages de votre journal. Il s'agit de l'enveloppe imaginaire des conjuguées, et voici les théorèmes dont je donnerais la démonstration.

« D'abord une curiosité : La développée de Venveloppe imaginaire des conjuguées d'un lieu est l'enveloppe imaginaire des conjuguées de la développée de ce lieu.

«Ensuite, une proposition que j'avais toujours soupçonnée vraie, sans pouvoir l'établir, et qui est importante : L'enveloppe réelle et l'enveloppe imaginaire des conjuguées sont réciproques l'une de l'autre, c'est-à-dire que si l'on prenait l'équation en coordonnées réelles de l'enveloppe imaginaire des conjuguées d'un lieu, et qu'on cherchât l'enveloppe imaginaire des conjuguées de cette enveloppe, on retrouverait la courbe réelle primitive. /

« En troisième lieu : Les périodes de la rectificatrice de Venveloppe imaginaire d'un lieu, ramenée à l'état réel, sont celles de la rectificatrice du lieu

réel primitif, multipliées par \' — 1.

« Enfin l'intégrale / ydx, prise le long de l'enveloppe imaginaire des

conjuguées d'un lieu, s'exprime très- simplement au moyen de l'aire de celte enveloppe.

« Cette dernière proposition comble heureusement une lacune que j'avais été obligé de laisser subsister jusqu'ici dans ma méthode d'interprétation de l'intégrale / ydx, prise entre des limites imaginaires. En

effet, en désignant par [xq y^, [a^j yj les deux limites de l'intégrale et par [x'q y'o], [x\ y\] les points de contact avec l'enveloppe réelle ou imaginaire des deux conjuguées auxquelles appartiennent les limites, je décomposais l'intégrale en trois parties :

/> x'av'o n x\y\ n xiyi

I ydx, j ydx et / ydx,

dont la seconde représentait bien, comme les deux autres, des aires connues, lorsque les conjuguées passant par les limites touchaient la courbe réelle, mais qui manquaient d'interprétation lorsqu'il s'agissait de l'enveloppe imaginaire. Cette lacune est aujourd'hui comblée.

a Si AqAj est un arc de l'enveloppe imaginaire, A'qA'j l'arc de la même enveloppe qui contient les points imaginaires conjugués de ceux de A^Aj et M^Mj le lieu des milieux des cordes réelles joignant les points imaginaires conjugués de AqAj et de A'^A'^

j * ^/rfx = MoMl»nl»^o — ^ (AoAiaiOo + A'oA'ifl'ia'o) + - (AoAiaiflo— A'oA'io'jrt'o) \/^.

« Par exemple, s'il s'agissait du lieu

l'enveloppe est, comme je l'ai montré dans votre journal, le cercle

C'est la courbe AoA,.

— 4?8 — (( L'enveloppe conjuguée est

C'est A'oA'i.

(( Quant au lieu des points milieux des cordes qui joignent les points conjugués de l'un et de l'autre enveloppe, c'est le cercle

«L'intégrale / ydx prise le long de l'enveloppe imaginaire des conjuguées du lieu

est donc, pour un tour entier,

2„r' - 1 TT [{r + ry + {r - rj] + 1 u [{r -f r'f -{r- rf] V=î

ce à quoi Ton devait s'attendre et ce que j'avais annoncé dans votre journal, comme une chose qui devait être, mais sans songer d'ailleurs à en donner une démonstration directe,

« Voilà ce que je voudrais vous proposer aujourd'hui :

« Je m'occupe en ce moment de recherches sur le nombre maximum des périodes de la quadratrice d'une courbe algébrique de degré donné, et sur les circonstances dans lesquelles ces périodes s' évanouissent en devenant nulles ou infinies.

La question est résolue dès maintenant pour les courbes du troisième ordre (je le croyais alors), et j'avais presque terminé pour les courbes du quatrième, lorsque mon attention s'est portée sur les questions dont je viens de vous entretenir. La méthode est du reste très-simple et n'exige que peu de développements, mais je pense aller au moins jusqu'aux courbes du cinquième ordre. Il me faudra donc encore un certain temps pour achever. Si vous acceptez la communication que je vous propose aujourd'hui, je vous parlerai plus tard de ces nouvelles recherches.

«Vous aviez eu l'obligeance de m'offrir il y a quelques années l'hospitalité de votre journal pour le Mémoire que j'ai adressé en dernier lieu à l'Académie des sciences, et où je déterminais définitivement, d'une manière générale, celui des points critiques du lieu f (ar, y) =0 où devait s'arrêter la convergence du développement de y en série. D'autres soins m'avaient détourné de mes études, et ce mémoire est resté

inédit. Je pourrai, si vous le voulez, vous le flonner après les deux autres; mais j'ai besoin de le revoir. Je pense le décomposer en deux, dont une partie aurait pour objet la Construction de la région de convergence, c'est-à-dire de l'enveloppe des points dont l'ordonnée reste développable. Le lieu

est une portion du lieu f{x,y) = 0, mais quelle portion en est-ce? Cette question était mélangée, dans mon Mémoire, avec l'autre, et je crois qu'il convient de la dégager.

« Voilà pour le moment, Monsieur, les travaux que j'entrevois et auxquels je me livrerai avec plus d'ardeur si vous pensez pouvoir en accepter les résumés pour votre journal. »

M. Liouville n'hésita pas à me donner une sorte -de blanc-seing portant invitation à M. Gauthier-Villars, de recevoir ce que je lui remettrais pour le Journal de mathématiques. En conséquence, je rédigeai aussitôt le mémoire en forme de lettre à M. Liouville, dont je lui avais parlé* il parut dans le numéro d'octobre 1872.

Ce travail achevé, je m'étais remis à mes recherches sur le nombre des périodes de la quadratrice de la courbe la plus générale de degré m et bien qu'encore éloigné delà véritable solution, j'entrevoyais déjà que j'allais avant peu parvenir soit à la confirmation de mon opinioA ancienne, soit à une solution nouvelle appuyée de preuves plus décisives que les indications irop vagues qui m'avaient fait supposer exacte

m{m — i) la iormule ;; .

Je songeais à adresser à l'Académie des sciences le mémoire où j'allais donner cette solution, mais l'Académie avait laissé sans réponse mon Mémoire de 1865 sur la détermination du point d'arrêt de la convergence de la série de Taylor et je n'éprouvais aucunement le désir d'encombrer ses cartons de copies de monologues non écoutés.

J'écrivis au président le 9 mai 1872, pour réclamer l'examen de mon mémoire.

Le président, M. Paye, ordonna le renvoi de ma lettre à la commission. Huit jours après, j'allais à l'Académie des sciences pour entendre lecture de la décision adoptée par MM. Bertrand et Bonnet : ils n'avaient pas songé à s'occuper d'en prendre une. Je rencontrai dans la salle des Pas-Perdus M. Bonnet qui me demanda des nouvelles de ma santé, sans faire allusion à ma réclamation. Je la lui rappelai. Il me dit ; «Mais, qu'est-ce que tu veux? — Je veux, lui répondis-je, que vous fassiez le rapport ou que vous vous déclariez incompétents. » Il me proposa de faire adjoindre M. Puiseux à la commission. J'acceptai à la condition que M, Puiseux donnerait préalablement son consentement et s'engagerait en outre à lire mon Mémoire, pour en faire l'objet d'un rapport, s'il y avait lieu.

Il fut convenu que M. Bonnet ferait à M. Puiseux la propositiork d'entrer dans la commission et de se charger de l'examen de mon Mémoire. Je sus, le lundi suivant, par M. Bonnet, que M. Puiseux avait accepté. Mais M. Bonnet me dit : «Il n'y a plus qu'une petite difficulté : ton Mémoire, qui était resté chez Bertrand, y a été brûlé. » Je lui répondis que j'en avais une copie et que j'en enverrais un nouvel exemplaire .

Mon Mémoire de 1865 ne me satisfaisait pas entièrement, mais il contenait la solution explicite du problème dans le cas oii tous les points critiques seraient réels et où la valeur de la variable au point origine serait aussi réelle, et je voulais au moins que le rapport tranchât la question pour ce cas, de beaucoup le plus intéressant.

Mais dès que je me mis à recopier mon Mémoire, je m'aperçus aisément que je pouvais singulièrement l'améliorer et que la règle que j'avais

donnée pour le cas pratique que je viens de signaler, pouvait, en en modifiant un peu les termes, ôtre étendue à tous les autres.

L'Académie a bien garde de s'émouvoir du plus ou moins de retard apporté à la solution des questions pendantes ; mais je tenais à ne pas la l'aire attendre et je me trouvai en état de luijadresser le 10 juin mon nouveau Mémoire accompagné de l'extrait suivant, contenant, sans démonstration, l'énoncé de la règle définitive pour déterminer lé pointd'arrêl.

Détermination du point critique ou est limitée la région de convergence </.' la sème de Taylor.

« Soient f(y, x) = 0 l'équation qui définit la fonction y, que l'on veut développer, et x^ = a, -{- fi^ y/— i, y^ = «'„ + fi'o V— 1 le système de valeurs de x et de y, à partir duquel on veut développer y ; on déterminera le point critique cherché d'après la règle suivante :

(( On construira les courbes formées des points [x, y] correspondant aux solutions de l'équation f{x, y) = 0, où a? serait de la forme

la partie réelle de x variant ainsi seule. On sait que je représente la solution

X = 0L-\- ^\/^^i ,y = oi'-\- .^V"^l

par le point fx = a -|- ^, y = a -f ^'.J

« Ces courbes partageront le plan en bandes, et les points critiques qui seront à considérer seront seulement ceux qui se trouveront contenus dans les deux bandes comprises entre la courbe sur laquelle se trouvera le point origine [ar^, yj et les deux courbes voisines, dans un sens et dans l'autre.

« Soient

X= an-\- bn V — 1 et y = a'n-\- h'n V — ^

les coordonnées d'un des points critiques remplissant cette condition, et p son degré de multiplicité : on fera varier x de On -f bn y — ^ à an -\- %\] —i, et l'on suivra dans leur marche continue les p points qui partiront du point critique.

« Si aucun de ces p points ne vient tomber sur la branche de la courbe caractérisée par l'équation

^ — a + 1^0 V^— 1 à laquelle appartint le point origine, le point critique en question ne sera pas à considérer.

« On prendra, parmi les points'critiques qui resteront, celui dont , l'abscisse retranchée de «o -\- p^ \J — 1 donnera la ditférence de moindre module. La série sera convergente pour toute valeur de x, telle que le module de x — Xg se trouve plus petit que le module trouvé, et divergente pour toute autre valeur.

« La mise en pratique de cette règle se simplifiera singulièrement lorsque l'équation f {x, y) = 0 aura ses coefficients réels, et que Xy sera réel. »

Cet extrait parut avec une note rédigée par l\in des secrétaires perpétuels, et ainsi conçue :

« Ce Mémoire est la reproduction de celui qui a été adressé à l'Académie le 20 novembre 1865, et qui a été détruit, avec les papiers de M. Bertrand, dans les incendies allumés par la Commune : cette nouvelle copie sera transmise à M. Bertrand. »

La Commune, les incendies, ni M. Bertrand ne me regardaient autrement qu'en ce que M. Bertrand aurait bien pu trouver en sept années le moment de reporter mon Mémoire au secrétariat, où c'était sa place. Mais la note laissait supposer que j'eusse présenté mon nouveau Mémoire comme la reproduction textuelle de l'ancien, ce qui d'abord n'était pas, et ce qui en outre eût été une mauvaise action de ma part, car la responsabilité de MM. Bertrand et Bonnet aurait été bien plus grave s'ils avaient refusé d'examiner une étude aussi nette, aussi précise et aussi complète que celle que je venais d'adresser à l'Académie.

J'écrivis au président le 19 juin :

(( Monsieur le Président, MM. Bertrand et Bonnet pourraient se plaindre à bon droit d'un, mauvais procédé de ma part si je laissais subsister une erreur contenue dans la noie qui accompai^ne l'extrait de mon Mémoire dans le compte rendu, erreur qui a été causée, je le reconnais, par l'emploi que j'ai fait d'une expression vicieuse dans ma lettre d'envoi écrite à la hâte et à laquelle je n'attachais aucune importance.

a En vous disant que je vous adressais un nouvel exemplaire de mon Mémoire, je n'entendais pas dire une reproduction textuelle.

« Je devais cette rectification à MM. Bertrand et Bonnet parce que jo ne doute pas que j'eusse obtenu un plus prompt examen de mon travail s'il avait contenu une solution aussi nette de la question.

« Mon ancien Mémoire ne contenait cette solution que pour le cas où tous les points critiques seraient réels. J'y donnais pour les autres cas une méthode pour obtenir la solution relative à chaque exemple.

« C'est en récrivant mon Mémoire que je me suis aperçu que la solution que j'avais donnée du premier cas pouvait s'étendre à tous les autres. »

M. Puiseux avait été, dans l'intervalle, officiellement adjoint à la commission. Pour m'assurer que tout était en état, je priai M. Bonnet, le lundi suivant, de me présenter à M. Puiseux.

M. Puiseux ne fit aucune difficulté de prendre de nouveau en ma présence l'engagement que j'avais demandé, et un premier rendez-vous fut convenu entre nous à quelques jours de distance.

J'étais satisfait de l'issue de la négociation conduite par M. Bonnet, parce qu'avec M. Puiseux la discussion serait sérieuse et porterait.

Une première entrevue me suffit pour lui expliquer la théorie delà série de Taylor, telle que je l'ai résumée dans la réponse que j'ai dû lui faire plus tard dans le Journal de mathématiques, et, après avoir ainsi posé la question, je lui en donnai la solution conforme à la règle que j'avais fait insérer dans les Comptes rendus.

M. Puiseux admit à mesure tous les principes que je lui énonçais, les démonstrations que je tirais de ces principes et finalement la règle que j'avais donnée dans le compte rendu. J'aurais pu me trouver satisfait et demander, dès cette première séance, qu'un rapport consacrât bientôt notre entente et l'exactitude de ma théorie.

Évidemment j'aurais obtenu ce résultat, si je l'eusse voulu.

Mais je ne m'étais pas, en 1863, présenté en solliciteur à MM. Bertrand et Bonnet ; j'élais venu leur imposer une théorie contraire à leur manière de voir.

M. Puiseux avait été substitué à ces messieurs et, dans leur pensée intime, sinon dans la sienne, il devait être mon exécuteur. Si au lieu du rôle de sacrificateur, il devait jouer en définitive celui d'agneau pascal, je n'avais pas à m'en préoccuper.

D'ailleurs, outre que M. Puiseux est plus jeune que moi, ses travaux, relatifs à la question qui nous occupait, comme, au reste, relativement à toutes celles qui se rapportent au môme ordre d'idées, n'étaient que ceux d'un élève intelligent, d'un traducteur méthodique ; et si M. Puiseux ne s'apercevait pas de lui-même de la diflerence des positions stratégiques occupées par nous deux, je n'avais pas, quant à moi, l'intention de traiter avec lui de clerc à maître.

Pour profiter de ses bonnes dispositions, ou de l'obligation où il se trouvait de reconnaître l'exactitude de ma théorie, il m'eût fallu laisser subsister, à mon préjudice, une équivoque dont je pouvais d'autant moins m'arranger que je savais pertinemment depuis longtemps, que l'on cherchait, en donnant une nouvelle couleur aux anciens textes et en prétextant de vices de rédaction, à faire croire qu'on n'avait jamais dit que le point d'arrêt de la convergence fût le point critique le plus proche du point origine, de façon à conserver des titres à l'infaillibilité.

Je ne doutais pas de la bonne foi de M. Puiseux, mais je ne voulais pas plus être frustré inconsciemment que consciemment.

Si le rapport avait suivi notre première entrevue, il eût constaté que j'avais déduit de principes connus une méthode pour déterminer le point d'arrôt de la convergence, lorsque les difficultés de calcul ne viendraient pas faire obstacle. Ce résultat ne pouvait pas me satisfaire.

Au moment où la conversation allait prendre fin, je dis à M. Puiseux que j'avais été aussi heureux qu'étonné de le voir admettre mes principes, mais que pour que nos positions restassent bien nettes, je croyais devoir l'avertir qu'il avait émis des opinions contraires aux miennes, et je lui indiquai les deux points sur lesquels nous étions en désaccord : conservation parmi les points critiques des points multiples où les dérivées de la fonction finiraient par se séparer, sans devenir infinies, et limitation de la convergence au point critique le plus proche du point origine.

M. Puiseux me répondit que ce que je lui avais expliqué lui avait paru clair; qu'il était bien possible qu'il se fût trompé; qu'il y avait trop longtemps qu'il ne s'occupait plus de ces questions pour se rappeler bien exactement les opinions qu'il avait émises en 1851 ; que sa manière de voir avait pu changer depuis lors; qu'en effet, dans les applications qu'il avait eu l'occasion de faire, il s'était servi des mômes principes sur lesquels nous venions de tomber d'accord ; mais que s'il existait une divergence entre son opinion ancienne et celle qu'il avait acquise depuis, il voudrait s'en assurer et, pour cela, relire son ancien Mémoire.

Pour préciser encore mieux le point du débat, je lui écrivis deux ou trois jours après, le 2 juillet :

« Monsieur, lors de notre dernière entrevue, je vous parlai de méinoire de vos Recherches sur les fonctions algébriques, publiées en 1850 dans le Journal de mathématiques pures et appliquées.

J'ai voulu m'assurer que ma mémoire, au bout de dix ans, ne m'avait pas trompé.

Vous dites bien en effet, page 407, en parlant de celle des valeurs de

la fonction M définie par l'équation u^* — u4-z=0qui, pourz= -^,

se réduit à ^, que

« Dans les mêmes limites (c'est-i-dire tant que le module de z =

restera moindre que r), la fonction Uj pourra se développer suivant

les puissances entières de z — — ^. » Ce qui est évident suivant moi,

puisque, d'une part, les dérivées de u par rapport à z, au point origine

- =: -A-, u= 4 . étant toutes finies, il fallait bien que u pût ;

développer dans de certaines limites; et que, de l'autre, la série ne cor

portant que les deux limites

L 'Sa' vsJ L 3V3' v.J'

si le développement n'était pas immédiatement 'arrêté à celle qui correspondait à la valeur initiale de la variable, il ne pouvait plus l'être qu'à l'autre.

Nous sommes parfaitement d'accord à cet égard, mais vous dites, pages 378 et 379:

(( On voit clairement par ce qui précède quelle est celle des racines de l'équation f (u, z) = 0 dont la formule t donne le développement : la série qui en est le second membre fournit la valeur^ pour z = y, de celle des racines qui se réduisant à b, pour z = c varie d'une manière continue avec z, en supposant que le point Z aille de G en T, sans sortir du cercle a, c'est-à-dire en supposant que la distance CZ reste toujours moindre que la plus petite des distances GA, G A', GA", etc. »

On ne verrait guère par là quelle serait la valeur de u que donnerait le développement, c'est-à-dire qu'en supposant [même qu'on eût calculé les valeurs de u qui correspondent à z = y, la règle ne permettrait aucunement de discerner celle que le développement fournirait, mais cette question, que j'ai résolue en 1862 dans le Journal de mathématiques pures et appliquées, n'a pas trait à ce qui nous occupe aujourd'hui. Vous ajoutez:

(( La formule ne peut s'appliquer qu'aux valeurs de y telles que le module de (y — c) soit inférieur à cette plus petite distance ; la notation tp (y) n' même un sens déterminé qu'à cette condition . »

L'assertion contenue dans ces dernières phrases est en contradiction

évidente avec ce que j'ai cité précédemment, puisquesi Mj (défini comme

il a été dit plus haut) peut se développer de z = — -hz = — —-. celle

des trois fonctions u qui se réduira à

pour

h et k étant finis, mais tels qu'ils tendent en même temps vers zéro, pourra évidemment se développer de

car les coefficients delà série ayant varié aussi peu que l'on voudra, lorsque le point origine aura passé de

les limites assignées par la condition de convergence, si elle pouvait être obtenue directement, n'auront pu varier non plus qu'aussi peu qu'on le voudra.

Il résulte de là qu'il n'y a en général aucune raison pour que la con^ vergence soit arrêtée au point critique le plus voisin du point origine. C'est ce que j'avais établi, en -1861, dans le Jommal de mathématiques pures et appliquées.

Ce point éclairci, comme je crois qu'il doit l'être maintenant, je vous demande la permission de revenir sur un autre point, sur lequel j'ai été étonné de me trouver d'accord avec vous.

Vous avez admis, sans contestation, que les points critiques fussent seulement ceux où les dérivées de la fonction deviennent infinies à partir d'un certain ordre. C'est la règle que j'ai établie, en 1861, dans le Journal de mathématiques, mais je n'en ai pas vu trace dans votre Mémoire de 1850. J'y vois, au contraire, en un grand nombre d'endroits, que vous admettez comme points critiques tous ceux pour lesquels la fonction devient infinie ou prend des valeurs égales.

Si je me trompe sous ce rapport, je vous serais obligé de me le montrer.

Jusque-là, je tiens d'une manière toute spéciale à mon théorème,

qui me permet d'établir directement que la série devient divergente,

c'est-à-dire infinie, au delà d'un point véritablement critique; tandis

du que, dans l'hypothèse où les points doubles, où -j: aurait des valeurs

finies et distinctes, seraient regardés comme pouvant arrêter la convergence, il faudrait interpréter le mot divergente par le mot capricante; il faudrait supposer que la série devient divergente pour ne pas devenir indéterminée, pour ne pas se mettre dans son toi^t.

Ces explications m'ont paru nécessaires. Monsieur, avant notre première entrevue, dont, je l'espère, vous rapprocherez le terme autant qu'il sera en vous, non pas pour moi, mais pour ne pas laisser trop

longtemps en suspens le monde savant au sujet d'une théorie aussi importante que celle de la série de Taylor. »

M. Puiseux ne m'ayant pas répondu, je lui récrivis le il juillet :

« Monsieur, je comprends que le principe qui sert de base à la démonstration de la règle que j'ai donnée relativement à la convergence de la série de Taylor puisse soulever quelques doutes dans votre esprit.

Désireux de reconnaître le dévouement avec lequel vous avez bien voulu accepter la mission d'examiner mon travail, j'ai cherché si je ne pourrais pas vousépargner une perte de temps et des recherches difficiles en vous fournissant de ce principe une démonstration directe. J'y suis heureusement parvenu.

Ce principe consiste en ce que pour qu'un point critique

[Xn = tta-^bn sj — il Ijn = Cl'n + b^ \l — \]

soit le point d'arrêt de la convergence, il faut que si x part de sa va-.

leur initiale x^ = a^ -{- p^ V' — ^ ? sans avoir cessé de satisfaire à la condition

(« -<r -f- (;^ -,^o)^ < («0- anf +{?>, - bnY-,

y, qui sera parti de sa valeur initiale 7/q= a'o-|- p'^ y — l, arrive alors

à sa valeur infinie oumulliple a'n -}- 1>'„ \/ — \; et que le fait analogue ne puisse pas se présenter pour un autre point critique

[xp = op -\- bp \/—

' yp

a'p -f b'psj — l\y

tel que (a^, — «^ ) 2 -|- (Po — bp)^ se trouve moindre que

C'est là ce qu'il s'agit d'établir directement. Supposons que les points critiques

k=«i+*,\/— » , yi=a\-\-b\\l—\l [x^=a^-^b,\J—l , y,=a',-i-b\\/—l], ... [xp = ap-{-bp\J—l, t/p = a'p-\-b'p\'—l]

aient été rangés dans un ordre tel que

croisse avec n, il faudra d'abord considérer le point [ar,,yj. Admettons que ce point ne satisfasse pas à la première des deux conditions contenues dans l'énoncé du principe, et que, cependant, il soit le point d'arrêt, nous allons rencontrer une contradiction. En effet :

— dC8 —

Vous regarderez sans doute comme évident que, dans l'hypothèse admise, si le point origine [xq, î/o] se déplaçait d'une manière continue, le point [x\, yj resterait d'abord le point d'arrêt, et que s'il devait tôt ou tard être remplacé par un autre point critique [x„, y„ ], l'échange n'aurait en tout cas lieu qu'au moment où l'inégalité

cesserait d'être satisfaite.

Cela posé, soient C, A,, A,i les points correspondant, dans le système de représentation adopté par M. Cauchy, aux valeurs

«0 "^" Po v/ — 1 J «1 -r P V — ^ 5 «'( + p« V — 1 de x et supposons que l'on fasse varier l'origine [x^. //J de manière que le point correspondant hx^,, ou le point dont les coordonnées seraient les variables «„ et p^ décrive la droite GAj de G en Aj : ce point [«q, pj ne rencontrera pas la perpendiculaire élevée au milieu de Aj An , il restera donc toujours plus voisin de A, que de A n; par conséquent le point d'arrêt ne cessera pas d'être en [x^, yj, ou d'être le point critique correspondant à A^ ou ;\ x^.

Mais alors le rayon du cercle de convergence s'annulera lorsque x^ sera arrivé à Xj. Cependant la première condition énoncée dans le principe n'étant pas remplie par le point [Xj, ?/i], lorsque x^ sera parvenu kx^, y n'aura pas pris la valeur critique y^, mais une autre non critique, correspondant à x^, de sorte qu'aucune des dérivées y par rapport à x, au nouveau point origine, ne sera infinie et qu'il laudra bien que y soit développable, dans de certaines limites, h partir de cette nouvelle origine. Ainsi, d'un côté, ?/ ne devrait pas pouvoir se développer, et de l'autre il devrait le pouvoir.

Si donc la première condition énoncée dans le principe n'est pas satisfaite par le point [Xj, ?/,], ce point ne sera pas le point d'arrêt.

Il faudra alors considérer le point \x^, y^], mais le même raisonnement permettra d'établir que s'il ne satisfait pas encore à la première des deux conditions énoncées, il ne sera pas non plus le point d'arrêt; et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on arrive au premier point critique satisfaisant à la première des deux conditions de l'énoncé.

Quant à celui-là, il satisfera à la fois aux deux conditions et ce sera le point d'arrêt.

II me semble que cette démonstration lèvera tous les doutes que vous pourriez avoir et vous dispensera d'autres recherches. Il serait possible que vous vous arrêtassiez aux difficultés que présente

la question de savoir ce que devient la fonction y, assujettie à la continuité, lorsque x varie de «^ + PoV'— ' ^ «« + Po V"~l ^^ ^^ art + ^n y/— 1 à On + Po v/— 1 ? j'aï douné, en 1861, dans le Journal de mathématiques, une méthode pour la solution des questions de ce genre, et c'est cette méthode que j 'emploierais de préférence ; mais je ne vois pas la nécessité de soulever, à propos de la question restreinte de la convergence de la série de Taylor, de telles difficultés, dont l'examen exigerait de votre part le sacrifice d'un temps Irop considérable, et vous détournerait de vos travaux personnels, chose à considérer, non-seulement pour vous, mais aussi pour tous ceux qui les apprécient. J'accepterais donc que vous regardassiez la question comme résolue théoriquement par la possibilité d'employer la méthode que vous avez indiquée pour calculer de proche en proche la valeur fmale de la fonction, au moyen de son développement, en évitant, de station en station, tous les points critiques.

Cette méthode ne pourrait pas servira passer du point critique examiné

^■,i = (In 4- (^>i \ — 1 , y>t --^ a'n + '^'« V i

:m point correspondant à la valeur de x,

puisque le développement serait arrêté dès le point de départ. Mais elle pourrait être employée à passer inversement àQ x = an-\- %\j — 1 à X = an -{- bu\J — 1 j ce qui suffit théoriquement.

La question étant ainsi simplifiée, permettez-moi, je vous prie, d'in sister pour vous en demander une solution, dont la promptitude aurait pour moi, indépendamment de la satisfaction morale, une grande importance.réelle. »

xM. Puiseux me répondit le 13 juillet :

(( Monsieur, j'ai reçu vos deux lettres et je regrette de ne pouvoir y répondre d'une manière catégorique : je vois s'affaiblir de plus en plus l'espoir que j'avais de trouver, avant les vacances, le temps nécessaire pour étudier vos travaux et rentrer dans un ordre d'idées auquel je suis devenu bien étranger. Mais la nécessité de terminer, avant mon départ, la Connaissance des temps de 1874, les examens du baccalauréat, la correction des compositions du concours général, tout cela ne me laisse pas un moment de loisir. Je me vois donc forcé de remettre au mois d'octobre une élude qui m'aurait vivement intéressé.

Je vous ferai remettre, ces jours-ci, le manuscrit que vous m'avez confié, sauf à vous le redemander à mon retour. »

Je lui écrivis de nouveau le 14 :

« Monsieur, je vous remercie pour mes imaginaires de l'intérêt que vous voulez bien leur porter, je regrette que des occupations impérieuses ne vous laissent pas le loisir nécessaire pour vous en occuper en ce moment, nous attendrons donc au mois d'octobre.

Toutefois j'ai plusieurs prières à vous adresser. J'accepterai la restitution de la copie de mon Mémoire que je vous ai laissée, parce que je pourrais en avoir besoin, mais ne pourriez-vous demain, en allant à l'Institut, ou, du moins, avant votre départ de Paris, réclamer au secrétariat la copie qui doit s'y trouver. Je serais heureux que vous l'emportassiez en vacances, parce que vous y trouveriez peut-être, à un moment donné, une distraction et un plaisir.

Voici l'objet de ma seconde demande : j'espérais pouvoir donner bientôt mon Mémoire à M. Liouville et l'adresser aussitôt après l'impression, avec celui qu'il va publier au mois d'août, à la Commission du prix Poncelet, qui ne peut admettre au concours que des ouvrages imprimés, mais les vacances passées, l'année sera bien avancée. Je pense que, pour tourner la difficulté, je demanderai à* l'Académie l'autorisation de faire imprimer dans ce but au moins un extrait de mon Mémoire, sans être privé, pour cela, du bénéfice de votre rapport auquel je tiens particulièrement. Voulez-vous me dire si, en ce qui vous concerne, vous verriez à mon projet quelque inconvénient.

Je m'occupe en ce moment de la construction du périmètre de la région de convergence, c'est-à-dire du contour de la portion du plan recouverte par les points réels ou imaginaires que représente l'équation

comparée à l'équation f{x, y)^0 dont elle provient.

D'un autre côté j'ai les éléments nécessaires pour arriver à la formule du nombre des périodes de l'intégrale quadratrice d'une courbe de degré m. J'adresserai probablement les deux Mémoires à l'Académie avant la fin des vacances.

Je compte prier le président de vouloir bien renvoyer ces deux Mémoires à la Commission qui a reçu mon Mémoire sur la série de Taylor, c'est-à-dire à vous-même, puisque MM. Bertrand et Bonnet ne veulent pas s'en occuper. Voulez-vous accepter ce nouveau fardeau ?

Enfin, particulièrement, voulez-vous me permettre de vous donner

pendant les- vacances quelques nouvelles de ces travaux et, pour cela, me faire savoir oîi je pourrais vous écrire. »

M. Puiseux quitta Paris sans me répondre,

M. Bourget me faisait depuis longtemps l'honneur de s'intéresser à mes travaux. Je lui avais parlé du progrès que je venais de faire dans la théorie de la série deTaylor et en en causant avec M. Bouquet, il lui avait <litque je démontrais l'inexactitude du théorème de Caucliy. M. Bouquet lui avait répondu que si je croyais à l'inexactitude de ce théorème, c'était moi qui me trompais.

J'allai chez M. Bouquet, que je voyais depuis longtemps à l'École, mais à qui je n'avais jamais parlé.

Après lui avoir indiqué l'occasion de ma visite, je lui demandai comment il entendait le théorème sur la convergence delà série de Taylor. 11 m'énonça très-exactement mes opinions à cet égard et comme, après l'avoir prié de prendre dans sa bibliothèque la théorie des fonctions doublement périodiques, je lui faisais remarquer la distance qui séparait les principes énoncés dans son livre de ceux qu'il venait de formuler, il me dit: « Nous nous sommes mal exprimés, mais la preuve que nous n'avons jamais entendu dire que le point d'arrêt fût le point critique le plus proche du point origine, c'est que justement, dans notre nouvelle édition, nous traitons la question de la détermination du point d'arrêt parmi les points critiques, » et il me montra les épreuves de la nouvelle édition de son livre, où la question était traitée en effet.

Je répondis qu'il arrivait un peu tard, la question ayant été traitée par moi, il y avait plus de dix ans, dans le Journal de mathématiques. Il me dit : a Je ne savais pas que vous vous fussiez occupé de cette question.

— Comment, dis-je,la posez-vous? — Nous cherchons le point critique où s'arrête la convergence du développement suivant la série de Maclaurin. — Moi, ce n'est pas ainsi que je traite la question : étant donnée l'équation qui lie la fonction y à la variable a;, je cherche, pour un système quelconque de valeurs initiales de j; et de y le point où s'arrêtera la €onvergence, et je détermine les conditions d'inégalité dont le changement de sens correspondrait au transport de la limite de la région de convergence d'un point critique à un autre, de façon qu'on puisse assigner pour chaque système [x^, yo] de valeurs initiales de a; et de y celui des points critiques où sera limitée la région de convergence.

Puis j'en vins à lui parler de la solution générale de la question que j'avais adressée à l'Académie des sciences, et dont j'avais donné la démonstration à M. Puiseux. Il me dit : « Je voudrais, pour une pareille

question, une solution telle qu'il n'y eût qu'un calcul plus ou moins long à faire pour connaître le point d'arrêt. Par exemple, le théorème de Sturm exige de longs calculs, mais au moins on est certain qu'en iaisant ces calculs on arrivera à un résultat. Vous, vous renvoyez à la construction de courbes, mais la construction d'une courbe c'est la bouteille à l'encre, n

Je lui objectai qu'une solution de la nature de celle qu'il demandait était inespérable, en raison de la nature de la question, mais qu'il exagérait évidemment la difficulté de la construction d'une courbe algébrique.

Puis je lui dis : « Et les intégrales doubles! y voyez-vous quelque chose ? » Il me'répondit de bonne foi : « Non 1 je n'y vois absolument rien. — Je m'amuse, lui dis-je, à y accommoder la méthode de Cauchy. Cela marche assez bien. »

Mon Mémoire sur quelques propriétés générales de l'enveloppe imaginaire des conjuguées d'un lieu plan ne devant pas paraître de quelque temps dans le journal de M. Liouville, je jugeai à propos d'en adresser une copie à l'Académie, ce qui eut lieu le 1" juillet. J'en donnais un aperçu dans l'extrait suivant pour le compte rendu.

Note sur quelques propriétés générales de l'enveloppe imaginaire des conjuguées d'un lieu plan.

«Les conjuguées d'une courbe plane f{x,y) = 0^ou les courbes que le général Poncelet désignait sous le nom de supplémentaires de la courbe réelle, ont cette courbe réelle pour enveloppe ; elles en ont souvent une autre composée des points imaginaires du lieu f{x,y)=0

où — est réel.

dx

« La considération de l'enveloppe imaginaire s'impose d'elle-même dans les recherches de Géométrie pure, dans la théorie des intégrales simples, dans celle des permutations des valeurs d'une fonction multiple, dans celle de la marche continue d'une fonction dont la variable varie suivant une loi donnée, enfln dans la théorie de la convergence de la série de Taylor. Les propriétés remarquables dont elle jouit m'ont paru pouvoir intéresser l'Académie.

« 1 .- L'enveloppe imaginaire des conjuguées d'une courbe fi^i y) = 0 6st, par sa définition même, le lieu des points imaginaires de contact des tangentes au lieu total f{x, y] = 0, dont les coefficients angulaires sont réels.

« Les m (m — i) tangentes parallèles à une direction réelle donnée, que Von peut mener à une courbe de degré m sont donc toutes les tangentes que Ion peut mener parallèlement à cette direction, tant à la courbe donnée qu'a

l'enveloppe l'inagi'naire de ses conjuguées. Les deux courbes sont sous ce rapport supplémentaires.

«■6. L'enveloppe imaginaire touche l'enveloppe réelle en ses points d'inflexion et réciproquement.

« 3. Elle a pour asymptotes les asymptotes à coefficients angulaires réels du lieu proposé, c'est-à-dire que, si le calcul a donné une asymptote telle que

y=mx-[-p -\-q \^ ,

q pouvant être nul, l'équation

y = mx -\-p-^q

représentera réellement une asymptote à l'enveloppe imaginaire.

«4. Du reste, si -p- a la valeur m en un point ar = a -j-PV — ', dx

yz=.â -\-^p' \/ — 1 de l'enveloppe imaginaire, la tangente à cette enveloppe en ce point sera représentée par

a 5. Si

y = mx -\- tp (m) ± V 'f ("0 est l'équation générale des tangentes à la courbe réelle,

y = mx -\- o (tu) ± V — 4* ("0

représente réellement les tangentes à l'enveloppe imaginaire, de sorlc que quand les deux enveloppes coexistent elles sont réciproques l'une d'j l'autre.

« 6. J'ai démontré autrefois {Journal de mathématiques, 1862) que si

dyY-]i

l'on désigne par r -f- r'\J — 1 la valeur de l'expression ^— en un

point de l'enveloppe imaginaire, r -}-r' est le rayon de courbure de cette enveloppe en ce point; voici une proposition nouvelle assez remarquable sur le lieu des centres de courbure de l'enveloppe imaginaire : Lu développée de tenveloppe imaginaire des conjuguées d'un lieu est l'enveloppe imaginaire des conjuguées de la développée du lieu^ et réciproquement.

<( 7. L'enveloppe imaginaire des conjuguées de ['hyperbole est l'hyperbole de mêmes axes, changés de réel en imaginaire, et réciproquement. Mon Mémoire sur les périodes des intégrales simples et doubles, que l'Académie a approuvé dans sa séance du 8 mai 1854, sur le rapport de MM. Cauchy et Sturm, contenait la démonstration de ce fait que la période imaginaire de Vintégrale rectificatrice de l'hyperbole est, au facteur y — 1 p^^ès, la différence des longueurs totales de V hyperbole supplémentaire et des asymptotes communes {Journal de mathématiques, 1839). J'ai reconnu plus tard {Journal de mathématiques, 1861) que la période réelle de la même intégrale est la différence des longueurs totales de V hyperbole proposée et de ses asymptotes. Il m'a suffi pour cela de constater que les intégrales rectificatrices des deux hyperboles supplémentaires ont les mêmes périodes changées de réelle en imaginaire, et réciproquement. Cette dernière relation est générale. Les intégrales rectificatrices de l'enveloppe réelle et de l'enveloppe imaginaire d'un même lieu ont toujours les mêmes périodes, au facteur y — 1 près.

«8. J'avais ramené autrefois (Journal de mathématiques, 1859) l'intégrale / ydx, prise entre des limites imaginaires [x^, y^], [Xi, yj, appartenant à des conjuguées tangentes à la courbe réelle, à la somme de trois aires, celles des segments de ces deux conjuguées correspondant aux arcs compris entre les points limites et les points de contact avec la courbe réelle, et celle du segment de la courbe réelle correspondant à l'arc compris entre les points de contact avec les deux conjuguées passant par les limites.

« La même décomposition s'appliquait bien encore à l'intégrale lorsque les points limites appartenaient à des conjuguées tangentes seulement à l'enveloppe imaginaire; la partie intermédiaire de l'intégrale

était la valeur de l'intégrale ydx, prise le long de l'enveloppe imaginaire, entre les points de contact de cette enveloppe avec les conjuguées passant par les points limites. Mais cette partie intermédiaire n'avait pas reçu d'interprétation et n'aurait, par conséquent, pu être appréciée que dans le cas très-rare où l'on aurait connu la forme analytique de

l'intégrale indéfinie / y dx, dont il s'agissait précisément de se passer.

<( Je viens de lever cette dernière difficulté, en sorte qu'on pourra

maintenant, dans tous les cas, obtenir la valeur d'une intégrale ydx,

avec une approximation aussi grande qu'on le voudra, par excès et par défaut, au moyen des formules de quadrature approchée, comme on calculait autrefois tc.

<! Soient AB un arc de l'enveloppe imaginaire, Aa et Bb les ordonnées

des points A elB; AaBi = Sraiie du seyaient correspoiiclaiilà l'arc AB; A'B' l'arc de la même enveloppe formé des points imaginaires conjugués de ceux de AB ; k'a' et H'b' les ordonnées de A' et de B'; S' l'aire du segment A'a' B'6'; CD le lieu des milieux des cordes joignant les points imaginaires conjugués de AB et de A'B'; Ce et Drf les ordonnées de G et

de D ; enfin S^ l'aire] du segment CcDi : la valeur de l'intégrale / ydx,

prise le long de l'arc AB, sera

ydx = 2S,- i (S 4- S') 4- ^ (S - S') \/:

M. Chasles se trouvant au nombre des commissaires nommés pour examiner ce Mémoire, je lui écrivis le 8 juillet :

« Monsieur, j'ignore à quelles circonstances je dois l'honneur de voir votre nom parmi ceux des commissaires désignés pour rendre compte à l'Académie du Mémoire sur quelques pi'opriétés générales de l'enveloppe imaginaire des conjuguées d'un lieu plan, que j'ai déposé dans la séance de lundi dernier, mais je saisis avec empressement l'occasion qui m'est oflerte de soumettre mes travaux à votre appréciation, si vous m'y encouragez, t

Vous dites quelque part dans votreA/ierfM Aî6Yon(^we.-«Ilserait à désirer que l'on cherchât à mettre en parallèle les courbes dont les ordonnées,pourune même valeur de l'abscisse, se déduiraient l'une de l'autre, en remplaçant y — 1 par 1. »

Je n'avais pas connaissance de votre vœu lorsque j'ai commencé mes recherches en 1841, mais je crois l'avoir exaucé et au delà.

Vous ne pensiez sans doute pas en 1837 que le sujet d'études que TOUS proposiez aux géomètres pût, après avoir embrassé la recherche des tangentes, des asymptotes et de la courbure des courbes indirectement représentées en coordonnées imaginaires dans l'équation de la courbe primitive, conduire encore à une interprétation simple des périodes des intégrales simples, doubles, ou d'ordre quelconque ; à la réduction d'une intégrale prise entre des limites imaginaires aux aires de segments correspondant à des arcs définis des courbes sur lesquelles vous appeliez l'attention ; à l'étude de la marche continue d'une fonction dont la variable progresserait par valeurs imaginaires suivant une loi quelconque; à l'étude des permutations qui se produisent, dans les mêmes hypothèses, entre les valeurs de la fonction ; à la détermination définitive de la limite de la région de convergence de la série de Taylor; enfin, je l'espère, à d'autres recherches encore, parmi lesquelles je puis vous annoncer dès maintenant la détermination du nombre

— ne —

maximum de périodes que comporte l'intégrale quadratrice d'une courbe de degré m.

Si ces théories vous intéressent, comme je le pense, puisque vous avez souhaité de les voir naître, je tiendrais en grand honneur d'être admis à vous en faire une exposition succincte en quelques heures.

Quant au mémoire qui m'aurait fourni la précieuse occasion que je sollicite de vous faire connaître mes travaux, je n'y attache pas grande importance, quoiqu'il contienne la solution que j'ai cherchée bien longtemps d'une des plus grandes difficultés du calcul intégral, la réduction à des aires définies d'une intégrale / ydx, prise entre des limites imaginaires, et je n'ai pas l'intention de vous demander un rapport à ce sujet. »

Cette lettre resta sans réponse.

Le silence de M. Ghasles témoignait-il de préventions nées de sournoises calomnies débitées chez lui contre moi par quelqu'un de ses courtisans, ou tenait-il à quelque autre cause ? Je ne sus alors qu'en penser.

J'adressai le 19 août à l'Académie le Mémoire que j'avais annoncé à M. Puiseux, relatif à la construction du périmètre de la région de convergence de la série de Taylor et je donnai l'extrait ci-dessous, pour le Compte rendu.

Détermination du périmètre de la région de convergence de la série de Taylor et des portions des différentes conjuguées comprises dans cette région, ou construction du tableau général des valeurs d'une fonction que peut fournir le développement de cette fonction suivant la série de Taylor.

« La fonction

essentiellement unique, déterminée et finie, tant que la série qui la constitue reste convergente, n'est, si l'on peut s'exprimer ainsi, qu'une portion de la fonction y, généralement multiple, définie par l'équation

qui a servi à calculer la valeur initiale 3/0, correspondant à x^ et les coefficients différentiels des divers ordres

le lieu représenté par l'équation

n'est de môme qu'un segment du lieu total représenté par l'équation f{x,y)=0.

« La détermination précise de ce segment constitue l'une des questions les plus intéressantes que comporte l'étude de la série de Taylor.

« Cette question ne présente pas de grandes difficultés, et j'aurais pu l'aborder depuis longtemps, au moins relativement aux exemples pour lesquels j'avais assigné en 1860 et 1861 , dans le Journal de mathématiques pures et appliquées, la condition exacte de convergence, pour chaque système de valeurs de x^ et de y^. Mais ces recherches ne pouvant alors être utilisées que relativement à quelques exen>ples isolés eussent naturellement présenté peu d'intérêt. Aujourd'hui, au contraire, que j'ai donné la règle générale pour déterminer, dans tous les cas possibles, c'est-à-dire pour une fonction implicite quelconque, algébrique ou transcendante, celui de ses points critiques où doit s'arrêter la convergence, en raison du système des valeurs initiales de x et de y, la question s'impose d'elle-même et doit être traitée avec le soin qu'elle mérite.

« Quoiqu'elle soit facile à résoudre aujourd'hui, je ferai toutefois remarquer que cette question n'était abordable qu'autant, d'abord, qu'on disposât d'un moyen convenable de classification des solutions imaginaires d'une équation à deux variables, ensuite qu'on eût une méthode directe pour déterminer lavaleur finale que prendrait la fonction y, assujettie à la continuité, lorsque la variable x serait parvenue de sa valeur initiale à la valeur finale qu'on voulait lui faire prendre, en suivant une loi de progression donnée ; car, quant à se servir de la série elle-même pour calculer les valeurs de y, comme on l'avait proposé, ce ne serait pas réalisable. En effet, quand on aurait calculé trois on quatre mille termes de la série, on ne serait guère plus avancé qu'en commençant, n'ayant aucun moyen de déterminer une limite de l'erreur commise.

i( Mais j'ai donné, en 1859, dans le Journal de mathématiques, une méthode simple pour déterminer la valeur finale d'une fonction, connaissant le chemin suivi par sa variable, et cette méthode permettra d'assigner, parmi les valeurs de y, fournies par l'équation donnée, celle que représenterait la série supposée convergente. La question sera seulement alors plus simple que dans le cas général, puisque la valeur finale de y devant rester la môme, quelles que soient les valeurs qu'ait prises 111= p. 12

X dans l'intervalle, il n'y aura pas à s'occuper de ces valeurs intermédiaires.

« J'appelle région de convergence l'ensemble des points du plan fournis par l'équation

(dij\ X— x^

11 s'agit de déterminer le périmètre de la portion du plan recouverte par ces points, et la portion de chaque conjuguée qui s'y trouve comprise. « Cette courbe passe par le point critique du lieu considéré où s'arrête la convergence dô la série, et tous ses autres points ont pour abscisses les quantités qui, retranchées de la valeur initiale x,^ de x, fournissent des différences de même module que la différence entre x^ et l'abscisse du point d'arrêt. Ainsi^ si

x^=a-\-b\—l, ?/j = a' 4- b' V— 1 est celui des points critiques où s'arrête la convergence, et que

soient les valeurs initiales de x et de y, le périmètre de la région de convergence sera caractérisé par l'équation

a et p désignant les parties réelle et imaginaire variables de x. La question est donc de suivre de proche en proche la marche de y ou de a' -|- p' \/ — 1 lorsque x varie à partir de x^, en suivant le chemin

«2 a^ }- p2 ^2 2 (oc__ a) a,— 2 (i^ — b) Po= 0.

« Les points du périmètre qui auront même carastéristique appartiendront à une même conjuguée, et si l'on a tracé d'avance ces conjuguées, en relevant pour chacune d'elles la portion comprise dans l'intérieur de la région de convergence, on aura le tableau de toutes les valeurs de // que pourra fournir la série.

« Si l'équation proposée est de degré m, elle fournira entre a, p, a' et p' deux équations de degré m; en y joignant les trois équations

a^ 0.^ + [â^ i-2 2{cc - a) a,-2(P.-A)p„= 0,

et éliminant a, |B, a' et p', on aurait l'équation du périmètre delà région

de convergence, qui serait du degré 2m*. Mais la courbe ainsi obtenue comprendrait une foule de branches parasites, puisqu'elle contiendrait les 711 points correspondant à chacune des valeurs attribuées à x, tandis que la courbe cherchée n'en doit comprendre qu'une. On ne recourra donc pas habituellement à cette méthode, qui ne donnerait qu'un résultatbrut dontonne saurait que faire. Le principal moyen qu'on emploiera pour traiter la question se tirera de cette remarque que la courbe cherchée ne saurait entamer ni l'une ni l'autre des deux branches de la courbe caractérisée par l'équation générale

qui comprendraient immédiatement celle où se trouve le point origine. Celte remarque fournira le moyen d'éliminer les solutionsétrangèresque le calcul aura fournies lorsqu'on y aura eu recours.

« Lorsque les coefficients de l'équation du lieu varient d'une manière continue, la région de convergence se déforme aussi en général d'une manière continue. Mais il y a à cette règle générale une exception d'un genre particulier très-remarquable : Si lés coefficients de l'équation varient de façon que le lieu acquière un point multiple où les valeurs de -T^soient différentes, les points critiques qui viennent se confondre en ce point multiple disparaissent alors comme points critiques, de sorte que si, en raison de la position du point origine, la région de convergence était auparavant limitée à l'un d'eux, elle change alors brusquement. I)

On m'avait rapporté que M. Laguerre racontait que j'étais dans une mauvaise voie, que c'était bien dommage, etc. Je le rencontrai à l'imprimerie en allant corriger l'épreuve de l'extrait qui précède. Je lui dis ce que je pensais de ses condoléances et le mis au défi de résoudre autrement que moi telle question qu'il voudrait, relative soit à la détermination de la valeur finale d'une fonction assujettie à la continuité, connaissant le chemin suivi par la variable, soit à la détermination du point d'arrêt de la convergence de la série de Taylor. Il refusa en prétextant de la trop grande simplicité de ces questions. Il ajouta qu'il préférait la méthode de Gauchy à la mienne et qu'il avait bien le droit de le dire. Je lui répondis qu'il n'était pas permis de préférer la méthode de Gauchy, puisqu'elle était impuissante dans la théorie des intégrales doubles, et comme il me disait qu'il ne reconnaissait pas cette impuissance, je lui portai le nouveau défi de se tirer de cette théorie, ajoutant qu'il ne pourrait pas prétendre comme pour les autres que la question ne valait pas la peine d'être traitée.

' Il s'échappa encore, je ne me rappelle plus sous quel prétexte, alors je lui dis : Eh bien, je traiterai cette question par la méthode de Gauchy et je constaterai que vous en étiez tous incapables. Vous répéterez ensuite tant que vous voudrez que je suis dans une mauvaise voie, je dirai moi que vous êtes dans un cul-de-sac et que vous donnez depuis vingt ans de la tête contre le mur du fond, sans que l'expérience ait pu vous apprendre à vous retourner !

C'est ainsi que je m'étais trouvé lancé dans le nouveau champ de recherches dont j'avais dit un mot à M. Bouquet et qui allaient m'éloigner pour longtemps de la question du nombre maximum des* périodes de la quadratrice de la courbe générale de degré m, qui m'intéressait cependant bien davantage.

Mais je ne regrette pas cette diversion, d'abord parce que, bien que la transformation de méthode qui allait m'occuper n'eût aucun but pratique, néanmoins, il était utile de ne pas la laisser effectuer par un adversaire, qui eût bien pu déguiser la source où il aurait puisé ; en second lieu, parce que ce travail m'a donné l'occasion de constituer, pour les intégrales doubles et d'ordre quelconque l'équivalent de la belle théorie des résidus des intégrales simples, que Gauchy n'avait pu gâter par aucun écart de méthode ; enfin et surtout parce que c'est probablement à une disposition d'esprit acquise dans les recherches où m'avait entraîné cette théorie des résidus que je dois d'avoir découvert quelque temps après les conditions d'existence ou d'annulation des périodes cycliques des intégrales simples et des périodes sphériques des intégrales doubles.

L'engagement pris, il s'agissait d'y faire honneur, ce qui pouvait présenter quelques difficultés. Je m'y mis immédiatement.

Il était évident à priori que le contour apparent, par rapport au plan des xy, de la surface dont l'ordonnée z serait la fonction explicite ou implicite, placée sous le signe somme, devrait jouer, par rapport à l'intégrale double, le même rôle que les points critiques d'une fonction 7/

d'une variable x, par rapport à l'intégrale simple / ydx.

La question, toutefois, présentait des difficultés très-sérieuses: et, en effet, quand je voulus y pénétrer, je reconnus towt d'abord, entre les deux cas, cette différence capitale que tandis que les points critiques d'un lieu f [x, y) = 0 sont essentiellement distincts et en nombre fini, lorsque le lieu est algébrique, au contraire, le contour apparent d'une surface f {x, y, z) = 0, par rapport au plan des xy, constitue un amas confus de courbes continues entre elles, formant plaque sur le tableau, ce contour apparent niétant autre que le lieu correspondant à l'équa-

lion résultée de l'élimination de z entre f{x, y, s) = 0 et -( = 0, lieu

qui, comprenant ou non une courbe réelle, se compose, en outre, d'une infinité de courbes imaginaires.

Qu'allaient pouvoir être les équivalents des contours élémentaires de Cauchy? La question était embarrassante.

Suivant mon habitude, je la déposai dans un coin de mon entendement, pour laisser à la solution le temps de produire ses premières pousses et je m'occupai d'aplanir avant tout le terrain où j'allais avoir à manœuvrer.

M. Cauchy avait parfaitement défini l'intégrale simple / ydx, prise le

long d'un contour ? (a, ,^) = 0. Il fallait avant tout définir de même

l'intégrale double j j z dx dy.

J'avais bien, en 1853, montré que cette définition résulterait de l'introduction de deux relations

entre les parties réelles et imaginaires des trois variables x, y, et z.

Mais pour rendre compte du rôle que joueraient les équations <p = 0, tpj = 0, j'avais été obligé de les rattacher plus ou moins à celles qui définiraient une conjuguée du lieu f {x, y, z) = 0; ou, au moins, une surface formée de courbes continues entre elles, tracées sur une série de conjuguées.

Or, dans le travail que j'entreprenais, je devais surtout m'astreindre à éviter toute considération de géométrie imaginaire.

Heureusement l'interprétation de l'intégrale simple / ydx , prise le

long d'un contour donné, interprétation que je n'avais d'abord recherchée que pour le cas où il s'agirait d'un arc de l'enveloppe imaginaire, mais qui s'appliquait aussi bien à tout autre contour, pouvait aisément s'étendre aux intégrales doubles définies par deux conditions ^ =^ 0 et <Pj = 0 et môme ensuite aux intégrales d'ordre quelconque, définies par l'introduction d'un nombre convenable de conditions ajoutées à la relation entre la fonction et les variables, parce que les termes de

i:(a„+, + ^+iV'— ï) {d^x+d^,iJ~^) [dri,-Vd%sl—\) ... {dain+d%,\l~\)

se retrouveraient, au signe \j — 1 près, dans

__ 182 — et dans

2 (a„+i — P«+i) \dri, — rf,^,) (rfa, — (/p,) . . . (</«« — d^,)

Mais je réfléchis que ne m'étant pas proposé d'élever un monument à la gloire de M. Cauchy, je ferais sagement de commencer par tirer parti pour moi-même de la méthode de transformation dont je viens de parler et j'entrepris de refaire à ce nouveau point de vue la théorie des intégrales doubles, pour retrouver mes anciens théorèmes sous une forme plus analytique.

Je ne m'étais pas un instant préoccupé autrefois d'établir directement le prétendu théorème de Cauchy relatif à l'indépendance, dans un certain intervalle, de l'intégrale / ?/c?x, prise ejitre des limites fixes, envers

le chemin suivi entre ces deux limites, par la variable indépendante; et je n'avais pas eu davantage à faire usage du théorème analogue relativement à une intégrale double. Mais l'abandon volontaire que je voulais faire du bénéfice que procurent naturellement les considérations géométriques, ramenait la question de ce théorème et il fallait la résoudre.

Je fus assez heureux pour rencontrer, pour les intégrales doubles, une démonstration plus simple à la fois et plus lumineuse que celle qu'avait donnée Cauchy pour les intégrales simples.

Ce perfectionnement m'éloigna encore de mon objet en me suggérant l'idée de refondre même la théorie des intégrales simples, et je me mis en effet à ce nouveau travail.

Cette nouvelle théorie des intégrales simples ayant marché à souhait, je revins aussitôt après à celle des intégrales doubles, qui s'acheva aussi aisément ; enfin j'abordai l'entreprise que je m'étais proposée d'abord, d'étendre la méthode de Gaucby à la théorie des intégrales doubles.

La difficulté dont j'ai déjà parlé était restée à peu près entière, en ce sens, du moins, que, si je m'étais bien aperçu que tous les contours fermés, fournis par l'équation du contour apparent, devaient au fond s'équivaloir, je ne voyais aucun moyen de les réduire les uns aux autres.

Mais, au reste, les coups de sonde que j'avais portés dans le cœur de la question m'avaient fait reconnaître la convenance de recherches préliminaires relatives aux résidus que devaient occasionnellement fournir les intégrales doubles, aussi bien que les intégrales simples.

Je commençai donc par m'occupar de fonder cette théorie des résidus des intégrales doubles.

L'habitude que j'ai de chercher toujours de chaque fait l'énoncé concret qu'il comporte, me suggéra tout d'abord cette traduction du théorème de Gauchy relatif aux résidus des intégrales simples :

Les deux branches d'une courbe de degré quelconque, asymptotes en sens inverses et de côtés différents, à une même droite, se confondent, dans leurs parties indéfinies, avec une hyperbole du second degré; et les conjuguées fermées de cette courbe, comprises entre des tangentes à ces deux branches, parallèles entre elles et infiniment peu inclinées sur l'asymptote en question, tendent elles-mêmes à se confondre avec les conjuguées elliptiques de cette hyperbole, de sorte que la quadratrice d'une courbe quelconque doit admettre, entre autres périodes, les produits par y/ — l des aires des ellipses conjuguées des hyperboles avec lesquelles tendent à se confondre ses branches infinies ; ce qui non-seulement explique le théorème de Gauchy relatif aux résidus des

intégrales de la forme / - — - dx, mais encore rend compte de la pré- J X — a

sence des périodes logarithmiques ou cycliques dans les quadratrices

des courbes algébriques rapportées à des axes quelconques.

Cette manière d'entendre les faits devait tout naturellement fournir la clef de*1a théorie des résidus des intégrales doubles.

En effet, la nappe d'une surface /"(x, ?/, z) = 0, dont l'ordonnée z deviendrait infinie le long d'une courbe

tendrait, dans sa partie illimitée, à se confondre avec le Ueu d'une hyperbole du second degré, dont l'asymptote parallèle à l'axe des z tracerait sur le plan des xy la courbe F (x , ?/) = 0 ; et le résidu de l'intégrale double

l^zdxdy,

le long de la courbe F {x, y) = 0, serait le produit par y/ — i du volume engendré par une des ellipses conjuguées de l'hyperbole en question.

Ainsi s'expliqueraient les résidus relatifs à des lignes, mais il y en aurait une variété, correspondant au cas oii la courbe F {x, U)'= ^ deviendrait évanouissante.

Dans ce cas particuher, le résidu se rapporterait à un point.

Toutefois il restait quelques difficultés à lever.

Il fallait en effet, d'abord, constater l'indépendance du résidu envers la direction constante ou variable du plan sécant, parallèle aux z, qui

fournirait l'hyperbole génératrice de la surface à substituer à la surface proposée, et il y aurait en outre à démontrer ensuite l'identité de tous les résidus que l'on obtiendrait en substituant à un arc de la courbe F (ar, y) =.0, supposée réelle, l'arc, compris entre les mêmes limites, d'im lieu quelconque de points imaginaires fournis par la même équation.

J'éprouvai un vrai moment de bonheur en reconnaissant que les résidus des quadratrices des sections faites, dans la surface proposée par tous les plans parallèles aux s, menés par un même point de la courbe F {x, y) = 0, auraient même projection sur le plan normal à cette courbe, ce qui résolvait la première difficulté.

Quant à la seconde, elle disparaissait d'elle-même, le résidu de l'intégrale double ayant été ramené à une intégrale simple prise le long de la courbe F {x, y) = 0.

J'abordai alors la question relative aux périodes engendrées dans des parcours Unis.

J'ai déjà dit qu'il m'avait sauté aux yeux tout d'abord que les diverses branches du contour apparent de la surface [x, y, z] par rapport au plan des xy joueraient, par rapport h l'intégrale ^zdxdy, le même rôle que les points du contour apparent de la courbe [x, y], par rapport à l'axe des x, avaient joué relativement à l'intégrale ^ydx\ d'un autre côté, en y réfléchissant davantage, j'avais reconnu aisément que la difficulté provenant de la multiplicité indéfinie des suites de solutions imaginaires de l'équation du contour apparent, difficulté toute nouvelle, que n'avait pas pu présenter la théorie des intégrales simples, devrait nécessairement s'évanouir d'elle-même, à la suite d'un examen plus attentif de la question, comme cela était déjà arrivé dans la question particulière des résidus, car autrement toute intégrale double serait ipso facto indéterminée.

Je commençai donc, sans me préoccuper davantage de cette difficulté, par chercher à constituer pour une intégrale double, les contours élémentaires analogues à ceux que Caucby avait imaginés pour les intégrales simples, c'est-à-dire les surfaces élémentaires fermées, lieux de points satisfaisant à l'équation proposée, qui envelopperaient, sans passer par aucun de leurs points, les différentes branches du contour apparent de la surface proposée et une seule chacune, chaque branche du contour apparent étant d'ailleurs représentée par une quelconque des courbes en nombre infini qui correspondraient à une des formes de y, tirées de l'équation du contour apparent par rapport au plan des xy.

Cela fait, il ne restait plus qu'à constater que la substitution de l'une à l'autre de deux courbes correspondant à une même forme de y n'altérerait en rien la valeur de l'intégrale double prise le long de la surface

élémentaire embrassant l'une ou l'autre des deux courbes considérées.

Or cela était évident, en effet les deux surfaces élémentaires considérées se réduiraient l'une à l'autre en ajoutant ou en retranchant le lieu des lignes fermées qui rejoindraient les uns aux autres les points des deux surfaces, infiniment voisins des deux courbes considérées et dont les points intermédiaires satisferaient, à des infiniment petits près, à l'équation du contour apparent, considérée sous celle de ses formes qui avait fourni les deux courbes en question. Mais l'accroissement de l'intégrale double le long du lieu de ces lignes serait évanouissant puisque z prendrait le long de l'une de ces lignés, en allant et en revenant, les mêmes valeurs, savoir les valeurs doubles qui correspondraient aux systèmes de valeurs de a: et de y qui satisferaient à l'équation du contour apparent, considérée sous la même forme.

Gela fait, je complétai mon travail par une exposition nouvelle de la théorie des intégrales d'ordre quelconque, fondée sur le même artifice

qui m'avait servi à obtenir l'interprétation de l'intégrale / ydx^ prise le

long d'un arc de l'enveloppe imaginaire des conjuguées de la courbe [x, y\ ; et par la théorie des résidus des intégrales d'ordre quelconque.

J'adressai toutes ces théories, par fragments, à l'Académie des sciences.

Ces fragments, oii les mémoires que je viens de résumer sont reproduits à peu près m extenso, ont paru dans les numéros relatifs aux séances des 26 août, 2, 9, 16, 23 et 30 septembre, 14 et 21 octobre, 4 et 18 novembre, enfin 2 décembre 1872.

Je prie ici M. Dumas qui m'a si libéralement laissé user de la publicité des Comptes rendus, de recevoir l'expression de ma bien vive reconnaissance,

L'Académie a récemment perdu M. Elie de Beaumont. Mais je n'avais pas attendu jusqu'à ce joyr pour lui témoigner ma gratitude, non plus qu'à M. Dumas.

Tous les mémoires dont je viens de parler ont paru depuis dans le XLIV° cahier du journal de l'École polytechnique.

Je ne reproduirai pas les premiers qui, fondus maintenant dans ceux que j'avais donnés autrefois à M. Liouville, ont servi à compléter la théorie telle que je l'ai exposée dans le second volume de cet ouvrage ; mais je crois devoir reproduire ceux où se trouvent exposées, pour les intégrales doubles ou triples, les théories fondées sur la môme méthode qu'avait employée Cauchy pour les intégrales simples. Les voici.