EXTENSION DE LA MÉTHODE DE CAUCHY A LA THÉORIE DES INTÉGRALES DOUBLES

Les théories abstraites ne se prêtent pas toujours aisément à une transformation d'oii puisse ressortir l'explication lumineuse des faits, et, de toutes les théories abstraites, celle qu'a donnée Cauchy, des inté-' grales simples, est peut-être la plus singulièrement équilibrée qu'ait eu à enregistrer l'histoire de la science ; aussi n'aurait-il pas été possible d'en tirer le moindre secours pour arriver à une notion claire des périodes d'une intégrale, pour concevoir, par exemple, d'une manière générale, les périodes réelles comme étant les aires des anneaux fermés de la courbe réelle, dont la fonction placée sous le signe représentait l'ordonnée, et ses périodes imaginaires comme les produits par V^— i des aires des anneaux fermés des conjuguées de cette même courbe.

Au contraire, les théories concrètes, fondées sur l'analyse des faits considérés en eux-mêmes, et constituées par leur explication naturelle, se prêtent ensuite à toutes sortes de transformations qui, du reste, se réduisent le plus souvent à l'omission plus ou moins complète de quelques points de vue intéressants sous lesquels les faits avaient pu être présentés, de quelque interprétation utile, mais non indispensable, ou à la réduction du phénomène, considéré dans toute sa généralité, à quelques-unes de ses manifestations les plus caractéristiques, ou qui se présentent entourées de circonstances plus exceptionnelles ou plus singulières. Aussi aurait-il été bien facile de déduire immédiatement la théorie qui va suivre de celle que j'ai donnée en 1853, de sorte qu'il est même surprenant que cela n'ait pas été fait ; car, par exemple, pour

trouver la période réelle, - -nabc, de

.jj,.,y^\-^;-i,

OU lapériode imaginaire, - -naboj — 1, de

\ff'^^Wf'

il n'y avait qu'à écarter toutes les autres représentations géométriques de ces périodes pour ne conserver que celles qui se présentent tout d'abord, et qui se manifestent quand on ne donne h. x et h. y que des valeurs réelles ; sauf à éviter, par de petits circuits, le contour apparent

afin de suivre de point en point la méthode qui avait réussi pour les intégrales simples.

Le contour apparent, par rapport au plan des xy, de la surface dont l'ordonnée - serait la fonction explicite ou implicite placée sous le signe 2, jouera, en effet, exactement le même rôle, dans la théorie des intégrales doubles, que les points critiques, dans la théorie des intégrajes simples.

Les points critiques d'un lieu plan /"(x, y) = 0 sont caractérisés par l'équation

et les courbes critiques d'un lieu de l'espace f{x, y,z) = 0 sont caractérisées par l'équation

Les courbes critiques d'une surface ne sont d'ailleurs que les lieux des points critiques des sections faites dans cette surface par des plans parallèles aux z.

Toutefois la question est réellement plus compliquée pour les intégrales doubles que pour les intégrales simples, {j^rce qu'une surface a toujours une infinité de contours apparents sur le môme tableau et par rapport à la même direction ; ou, en d'autres termes, qu'on peut toujours circonscrire à une surface une infinité de cylindres parallèles à une direction donnée, l'un réel et les autres imaginaires ; car les solutions imaginaires des équations

f{x,y,z) = 0 et ^^=0

doivent aussi bien être considérées que leurs solutions réelles.

On ne trouve bien, il est vrai, qu'um nombre limité de points critiques sur chaque section faite dans la surface par un plan parallèle aux z; mais c'est qu'un plan réel ne peut pas contenir toutes sortes de points imaginaires, et si, après avoir considéré tous les plans réels parallèles aux z, on considérait aussi les plans imaginaires parallèles à la même direction, on .trouverait, en réalité, une infinité de points critiques.

Par exemple le contour apparent de rellipsoïde

est bien l'ellipse

mais l'équation

a une infinité d'infinités de solutions imaginaires.

La question comporte donc bien réellement des difficultés nouvelles ; mais ces difficultés sont peu considérables.

Avant d'aborder la solution de la question, je crois devoir m'expliquer sur les précautions prises par Cauchy pour éviter de prétendus dangers, que l'on écarte sous une forme pour y retomber sous une autre, et que l'on traverse alors sans même les apercevoir, parce qu'ils n'avaient rien de réel.

La théorie de Cauchy repose uniquement sur deux observations essentiellement distinctes, rattachées ensuite l'une à l'autre par l'emploi d'un artifice commun^ qui est bien justifié dans l'un des cas, mais qui est tellement inutile dans l'autre que l'objet qu'on s'en était proposé n'est pas même atteint.

La première observation, qui constitue la base de l'ingénieuse et efficiente théorie des résidus, consiste en ce que l'intégrale / ydx peut acquérir une valeur même infinie, sans que x ait varié qu'infiniment peu aux environs d'une de ses valeurs à laquelle correspond une valeur infinie de y.

Si la fonction y devient inflnie pourx- = a, elle peut se mettre sous la forme

m étant positif et (f ix) n'étant ni nul ni infini pour x = a.

Si l'on pose x = a -|- p y — 1, et que l'on établisse entre a et ji la relation

p étant aussi petit qu'on le voudra, l'intégrale correspondante

Jy{chJ^d^sJ~~\)

sera infinie, finie ou nulle, suivant que m sera plus grand que 1, égal à 1 ou moindre que 1.

Si m = 1, il correspondfti au parcours fermé

une période égale à

{oi-aY-\-^' = f

2t:V— lcp(a).

On conçoit parfaitement que l'explication abstraite de ce fait analytique exige absolument que l'on ne donne à x que des valeurs voisines de a, et jamais la valeur a.

La seconde observation consiste en ce que, pour que l'intégrale / ydx correspondant à un parcours fermé par rapport à x,

ne soit pas nulle, il faut que les parties de y ne repassent pas en sens contraires par les mêmes valeurs, lorsque la variable indépendante a, après avoir varié de sa limite inférieure a^, à sa limite supérieure aj, reviendra ensuite de sa limite supérieure à sa limite inférieure ; c'est-àdire qu'il se soit opéré dans l'intervalle une permutation entre les valeurs dont est capable y.

Mais ce serait naturellement aux points critiques du lieu f {x, y)= 0 que se feraient le plus simplement ces permutations entre les valeurs de y, et précisément Gauchy, par suite d'une idée préconçue, tient absolument à éviter les passages par ces points critiques.

Il se figure que, si la fonction y avait un instant passé par une de

ses valeurs multiples, elle deviendrait indéterminée et, par suite, il recommande spécialement d'éviter de faire prendre à y une de ces valeurs et, pour cela, de contourner les valeurs de x auxquelles elles correspondent.

Cette précaution est d'abord inutile, parce qu'il n'eût pas été plus difficile de trancher à l'avance l'incertitude qui pourrait se présenter relativement à la marche de y, qu'il ne l'est de résoudre celle qui se produit identiquement dans les mêmes conditions, relativement à la marche de p, car le chemin ç (a, |â) = 0, pour être fermé, doit bien

comprendre au moins deux points où -j- soit infini ou indéterminé, où

fi prenne une valeur double.

Mais, de plus, cette précaution n'atteint pas le but; car, dès que Ton a réglé la loi de progression de x par une relation ce (a, P) = 0, il n'y a plus qu'une des variables a, p, a' et P' qui reste indépendante, a par

exemple. Or, pour que les quatre parties de l'intégrale / ydx,

ne soient pas toutes nulles, il faut nécessairement que le parcours

soit tel que, en quelques points de ce parcours,

dn' d^'

soient infinis ou indéterminés, c'est-à-dire que a' et ^' prennent des valeurs multiples.

De sorte que la difficulté que l'on avait voulu éviter se trouve doublée par les précautions que l'on a prises, et que la méthode consiste essentiellement à s'être arrangé de manière à ne pas l'apercevoir quand elle est plus considérable, après s'y être heurté quand elle était moindre, ce qui prouve que le danger n'était pas grand.

L'artifice imaginé par Cauchy pour éviter les points multiples du lieu

où «/conservait des valeurs finies, n'avait donc pas sa raison d'être; et, en effet, il était évident à l'avance qu'il n'y avait aucune raison pour opérer de la même manière à l'égard des points où y devenait infini, et où c'était seulement une de ses dérivées qui le devenait. Dans le

— dOI —

premier cas, en effet, l'intégrale / ydx pouvait prendre un accroissement môme infini, dans un intervalle infiniment petit parcouru parx, tandis que, dans le second, l'intégrale ne pouvait varier qu'infiniment peu, dans les mêmes conditions, et qu'il pouvait seulement arriver que la fonction y fût amenée à prendre ultérieurement des valeurs autres que celles qu'elle eût prises si elle n'avait pas passé par sa valeur multiple.

Il n'y aurait donc pas de raison de chercher à imiter, à propos de la théorie des intégrales doubles, des artifices de méthode qui périclitent déjà lorsqu'il ne s'agit que des intégrales simples. Les passages de la fonction par des valeurs multiples finies n'ayant d'autre effet que de disposer cette fonction à prendre ultérieurement d'autres valeurs que celles par lesquelles elle a déjà passé, il était absolument indifférent de brusquer la conversion en faisant prendre à la fonction une de ses valeurs multiples, ou de l'opérer en deux temps, en agissant successivement sur ses deux parties réelle et imaginaire.

Pour ce qui concerne les fonctions de deux variables, il serait indifférent d'en faire permuter les valeurs le long d'une ligne représentée par les équations du contour apparent, ou de contourner cette ligne, l'effet final devant rester le môme.

Toutefois, comme il s'agit ici de remplir un programme tracé à l'avance, je m'y conformerai de point en point.

§11- Théorie des résidus des intégrales doubles.

Les intégrales doubles donnent lieu, comme les intégrales simples, à une théorie des résidus, par laquelle nous commencerons, pour conserver l'ordre dans lequel les faits se sont présentés à Cauchy.

Nous rencontrerons naturellement ici deux sortes de résidus, des résidus relatifs à des points, ou plutôt à des systèmes de valeurs des trois variables, et des résidus relatifs à des lignes, ou à des suites continues de systèmes de valeurs des trois variables. Les premiers seront des valeurs finies qu'acquerrait l'intégrale, sans que a? et y aient pris que des valeurs infiniment voisines de valeurs finies

x = a-\-b\^— \, y =zo! -\- U \ — I ,

auxquelles correspondrait une valeur infinie de z; les autres seront des

valeurs finies qu'acquerrait l'intégrale, sans que x ciy aient pris que des valeurs infiniment voisines de valeurs

liées entre elles par trois conditions, et auxquelles correspondraient des valeurs. infinies de z.

Les premiers se trouveront dans les surfaces dont les sections par tous les plans passant par une même droite parallèle aux z seraient des courbes asymptotes à cette droite et se confondant à la limite avec des hyperboles du second degré. Les autres se trouveront dans les surfaces dont les sections par des plans passant par une série de droites parallèles aux z, formant un cylindre fermé, seraient des courbes asymptotes à ces droites et se confondant à la limite avec des hyperboles du second degré.

Des résidus relatifs à des points. — Considérons d'abord la surface engendrée par une hyperbole équilatère tournant autour d'une de ses asymptotes, prise pour axe des z, l'équation de cette surface sera

la période de l'intégrale

dxdy

d^ r r dxdy 2 j j sjx'-^y'

çera

En eff'et, si, dans chaque plan passant par l'axe des z, on mène une infinité de droites inclinées de 45 degrés sur le plan des xy et comprises entre les deux branches de l'hyperbole de section, les jntersections imaginaires seront conjuguées deux à deux et se rejoindront aux sommets de l'hyperbole correspondante. D'ailleurs les points obtenus

X = a ± p., y = a ± p;, z = a" ± fi"

formeront un cercle de rayon a, ayant son centre à l'origine des coordonnées, c'est-à-dire que la surface composée des deux parties auxquelles correspondent les volumes V et V sera la sphère de rayon «,

ayant son centre à l'origine; par conséquent (V — V) \l — 1 sera égal ù

D'un autre côté, l'intégrale 4 y' — 1 ^'^"d^d^' sera identiquement nulle, car la section de la surface dont les coordonnées seraient

par un plan quelconque passant par l'axe des z, se composerait d'une seule ligne droite, puisque [â, p' et p" conserveraient entre eux des rapports constants : ainsi la période sera

Il s'agit de la trouver comme résidu de l'intégrale relatif à l'origine.

Si, au lieu de droites inclinées de 45 degrés sur l'axe des z, on considérait, dans chaque plan passant par cet axe, des droites faisant avec lui un angle fixe moindre que 45 degrés, la surface dont le volume V — Y' devrait être considéré, deviendrait un ellipsoïde de révolution

autour de son grand axe; mais ce volume conserverait la valeur -ira^.

Enfin, si l'inclinaison sur l'axe des z des droites considérées tendait

vers zéro, le grand axe de l'ellipsoïde en question tendrait vers l'infini,

tandis que ses deux axes égaux tendraient vers zéro ; mais le volume

de cet ellipsoïde resterait toujours égal à - ira^,

D'ailleurs, si la section faite par l'un des plans passant par l'axe des z,y = mx, était rapportée à l'axe des z et à la trace OX' de son plan sur le plan des xy, x' serait de la forme

et z de la forme

Mais comme le rapport des parties imaginaires de z et de x' devrait être constant, puisque les valeurs de z et de a/ devraient satisfaire à une équation

z = — x tang cp -f- d,

?.2 serait constant et égal à ; par suite x serait de la forme

° 2 tans cf>

\/t+w^ iii« P. 13

el y de la forme

avec la condition

2 tang ç '

a et ^ tendraient donc vers zéro en même temps que ? tendrait vers 90 degrés.

Ainsi la période - 7:0* V — ^ de l'intégrale

est le résidu de cette intégrale relatif à l'origine.

Tel est l'exemple le plus simple de résidu relatif à un point.

Pour en obtenir un un peu moins particulier, considérons la surface engendrée par une hyperbole équilatère tournant toujours autour de l'une de ses asymptotes, prise pour axe des z, mais dont l'axe transverse varierait suivant une loi donnée, de façon que l'équation de cette hyperbole, dans le plan

y = mx,

rapportée à l'axe des z et à la trace OX' de ce plan sur le plan des xy, fût

ou que les deux équations de celte hyperbole fussent

a* cp^ (m)

y z= mx et zx =

Vi +

l'équation de la surface engendrée sera alors

,x^ """2 slx^ + f

Dans ce cas, le résidu relatif à l'origine sera le produit par y — .1 du volume engendré par le cercle

y = mx, s' -\- x"- {i -[- m*) = a^<f' (m),

tournant autour de l'axe des z, volume renfermé dans la surface

y* + x* = av(|).

Considérons, d'une manière encore plus générale, une équation

__q' cp(x,y)

dans laquelle ^ {x, y) prenne, pour a; = 0 et y =0, une valeur déterminée A + B v^ — 1 : si a: et y ne reçoivent que des valeurs infiniment petites, l'intégrale

à^ r /*y(ar, y)dxdy '^J J Slx'-^f

«e réduira" à