HM

puisque ç {x, y), ne prenant que des valeurs infiniment voisines de

A + B v^^, pourra sortir du signe jj- Le résidu relatif à l'origine sera, dans ce cas,

Pareillement, si l'équation proposée est

et que

? («0 + Po \/^, «0 + ^'o V' ^) = A + B v/^, le résidu relatif au point

•^ = «0 + 1^0^—1» y = «'o + ^'oV— 1

sera

^^a'(A + Bv^)v'^.

Encore de môme, si l'équation proposée est

\/(x-a,-.%s/-iy+{y-< + {^'o\l-^T

Cl' '^{x,y)

l'intégrale

/ / zdxdy

fournira autour des points

^ = «0 + Po V— '^ , y = «'o 4- l^'o V— '<>

des résidus représentés respectivement par

^ -Ka' (a + B sOl) V^l, ^ ^«'^ (a' + B' V=^) V^, . . . en supposant que

a + bV^, a' + b'V~i...

soient les valeurs de

? («0 + h V -^' «0 + P'o V^)» l' («1 + Pi V^' ^A + l^'i V^^), . . .

Dans chacun des exemples qui précèdent, et dont le dernier, d'ailleurs, est le plus général qui puisse exister, il y a toujours une infinité de systèmes de valeurs de x et de ?/ pour lesquelles z se trouve infini ; mais un seul de ces systèmes était à considérer, celui qui correspondait à la trace, sur le plan des xy^ de l'asymptote de l'hyperbole mobile.

Ainsi, par exemple, l'intégrale

dxdy

six'- + y-

ne fournit de résidu que relativement à l'origine, quoique l'équation

ait une infinité de solutions. En effet, si l'on transportait Torigine au point correspondant à l'une d'elles,

l'intégrale deviendrait

dxdy

et, comme on ne donnerait h x et h y que des valeurs infiniment petites, cette intégrale se réduirait à

ft* /' r dxdi/

elle serait infiniment petite par rapport à l'intégrale

dxdy

si X et // ne devaient recevoir, dans l'un et l'autre cas, que des valeurs infiniment petites.

Pour qu'il corresponde un résidu à un point, il faut toujours que ce point soit un point double du lieu le long duquel z est infini.

Ce fait pouvait être prévu parce que les résidus relatifs à des points ne sont que des cas particuliers des résidus relatifs à des lignes. Ce ne devait être qu'autant que la ligne le long de laquelle z devient infini présenterait un anneau fermé évanouissant qu'un résidu relatif à un point pu prendre naissance, et ce point devait être celui où l'anneau était venu se concentrer.

Cette remarque servira à reconnaître les centres des résidus, s'il y en a ; on calculera ensuite ces résidus en déterminant la loi de variation de l'axe transverse de l'hyperbole équilatère, qui se confondrait à la limite avec la section faite dans la surface par un plan quelconque parallèle aux z et passant par le centre examiné.

Des résidus relatifs à des lignes. — Supposons maintenant qu'une hyperbole équilatère tourne autour d'une parallèle à l'une de ses asymptotes, prise pour axe des z ; l'équation de la surface engendrée sera

dont le contour apparent, sur le plan des xy, sera le cercle

et, pour chaque système de valeurs de x et dey satisfaisant à l'équation

^.î 4 y2 ^ /,2, - sera infini.

Considérons un plan quelconque, passant par l'axe des -,

y =. mx,

et supposons dans ce plan une série de droites inclinées de 45 degrés sur l'axe des z et comprises entre les deux branches de l'hyperbole de section; les intersections imaginaires seront conjvfguées deux à deux et se rejoindront aux sommets de cette hyperbole. D'ailleurs les points obtenus

formeront un cercle de rayon a, et ayant son centre sur l'intersection du plan y =mx avec le plan des xy, à la distance h de l'origine; la surface composée des deux parties auxquelles correspondent les volumes V et Y' sera donc le tore dont les deux rayons extérieur et intérieur seraient

h-\-a et h — a\

par conséquent (V — Y') \f^i sera égal à

D'un autre côté, l'intégrale 4 sj — 1 ^'^"d^d^' sera identiquement nulle ; ainsi la période de l'intégrale

iSI-

dxdy

2 J J —h-\-\lx'+y^ est

Il s'agit de la retrouver comme résidu de l'intégrale, le long du cercle a;2 | y2 — - fi^ sj^ J^^ ijg^ (jg droites inclinées de 45 degrés sur l'axe des z, on considérait, dans chaque plan passant par cet axe, des droites faisant avec lui un angle fixe, moindre que 45 degrés, la surface, dont le volume V — V devrait être considéré, deviendrait un tore elliptique ayant pour section méridienne une ellipse dont le grand axe serait parallèle à l'axe des z, dont le centre décrirait toujours le cercle

et dont la surface resterait égale à -Ka"^, de sorte que le volume V -— V resterait égal à

27c*Aa*.

Si l'inclinaison sur l'axe des z des droites considérées tendait vers zéro, le grand axe de l'ellipse deviendrait infini, tandis que son petit

axe tendrait vers zéro ; mais l'aire de celte ellipse conserverait la valeur constante rca^^ de sorte que le volume engendré serait toujours

D'ailleurs si la section faite par l'un des plans ij = mx était rapportée à la trace OX' de ce plan sur le plan des xy et à l'asymptote de l'hyperbole mobile prise pour nouvel axe des z, x' serait de la forme

et z', de la forme

mais comme le rapport des parties imaginaires de z et de x' serait constant, puisque les valeurs de x' et de z' devraient satisfaire à une équation

z = — x' tang (f-\-d,

gfi | &2 serait constant et égal à ; par suite x serait de la forme

' ' 2 tang (p

a + Pv

et y de la forme

avec la condition

2 tang?'

« et |i tendant, par conséquent, vers zéro en même temps que <p tendrait vers 90 degrés.

La période

de l'intégrale

^ (* C dxdy

est donc bien le résidu de cette intégrale relatif au cercle z=0, x^-\-y = h\

Si l'équation proposée était

'^-h + slx^ + f

(x,3/)prenant la valeur variable A lorsque userait égala ■ et.yà

-, le résidu correspondant au cercle x"^ -\- y'^=.h^, de l'intégrale