VI

^^ C C ^ ^^' -^^ dxdy ^J J -h + yjJTf

serait le produit par \/ — 1 du volume engendré par le cercle variable

y = mx, [x v'I + in- — hY + s^ = a^k.

Si, tout en tournant toujours autour de l'axe des z, parallèle à l'une de ses asymptotes, et de manière d'ailleurs que son plan passât toujours par l'axe des z, l'hyperbole de rayon a se mouvait de telle manière que son centre décrivît dans l'espace une courbe fermée

y/;^ + ? = F (^.) , z = F, (V^-^ + t), les équations de cette hyperbole seraient

yz=mx et \x\J\-\-nâ — h) {z — /) = — ,

A et ^ étant assujettis aux deux conditions

h=Y{m) et /=Fi(A);

on obtiendrait l'équation de la surface engendrée en éliminant m, h el l entre ces quatre dernières équations, ce qui donnerait

d'où

-['(9]-l;=bgj-

et le résidu de l'intégrale

^x'-^-f-'pil

relatif au contour

serait le produit par \l — 1 du volume engendré par le cercle de rayon a, dont le plan passerait constamment par l'axe des z, et dont le centre décrirait la courbe

\SX'

Si l'équation proposée était de la forme

^ {x, y) prenant la valeur variable A pour la valeur m du rapport de y à X assujettis à la condition

\x/ le résidu relatif au contour

serait le produit par sj — 1 du volume engendré par le cercle dont le plan passerait toujours par l'axe des z, dont le centre décrirait la courbe

yJx'-^-f = F(^^j, \ = Y,[sJx^

et dont le rayon serait a y^A, dans le plan y = mx.

On pourrait enfm imaginer que le plan de l'hyperbole mobile, au lieu de passer constamment par l'axe des z, enveloppât un cylindre donné, parallèle aux 2, ce qui serait l'exemple le plus général qui pût exister. Mais ce cas rentre dans le précédent, parce que les plans passant par l'axe des z couperaient toujours la surface suivant des hyperboles.

Il était utile de mentionner les faits qui viennent d'être passés en revue et pour chacun -desquels la théorie, en ce qu'elle a d'affirmatif, est complète ; mais, dans l'interprétation de chacun d'eux, on a volontairement fait choix d'un point de vue particulier, propre à écarter tout embarras, et les questions les pins importantes sont restées entières. En effet, on a, dans chaque exemple, considéré exclusivement un certain système de sections, sans examiner si l'on serait arrivé aux mêmes résultats au cas où l'on en eût considéré d'autres ; mais surtout on a réduit la question à la considération des périodes des quadratrices des sections faites par des plans réels, ou, en d'autres termes, on n'a pris, pour centres des résidus des intégrales simples dont la considération devait être introduite, que les points du contour apparent réel de la surface par rapport au plan des xy, tandis que l'équation de ce contour apparent admettait une infinité de solutions imaginaires.

La théorie reste donc entièrement à faire.

Soit

l'équation proposée, supposée telle qu'elle attribue une valeur infinie à z, pour chaque système de valeurs finies de x et de y, satisfaisant à une équation

f{x,y) = Q, et soient a?i et y^ deux valeurs de x et de y, satisfaisant à la condition

Si l'on remplace dans l'équation

X par X -f- x^ et y par y -\- yi, et que, x eiy devant alors rester infiniment petits, on supprime les termes négligeables, l'équation

F {x, y, z) .-= 0 se réduira à

ax -j- by

La section faite par le plan y = mx, projetée sur le plan des xz.^ étant

(a 4- bm) X '

la période de l'intégrale / zdx, relative à cette projection, sera

a -f- om

mais la période de la quadratrice de la section, dans son plan, sera effectivement

^^Mv/l + ».' — a-\- bm

car, quand on projette une courbe d'un plan sur un autre, les périodes de la quadratrice se multiplient par le cosinus de l'angle des deux plans. Cela résulterait, sans autre démonstration, de ce que les périodes sont les aires des anneaux fermés de la courbe ou de ses conjuguées ; mais il suffira ici de remarquer que les z de la courbe projetée étant les mêmes que ceux de sa projection, et les abscisses de la courbe projetée

étant égales à celles de sa projection, multipliées par^l -f- m*, l'intégrale i zdx, relative à la courbe projetée, sera égale au produit

par vl-|- '>n- de l'intégrale correspondante relative à la projection.

Cela posé, imaginons que nous transportions parallèlement à luimême le plan y = mx en tous les points de division de la courbe

en éléments infinitésimaux ds, m restera constant ; mais M, a et 6 varieront et l'élément du résidu relatif à la courbe f [x, y) = 0, pour des sections parallèles h y = mx, sera le produit de

„ M VI + m' /—a-\-bm

par la distance des deux plans parallèles à y = mx, passant par les extrémités de l'élément ds, ou par ds ces ç, 9 désignant l'angle du plan y =mx avec la normale à l'élément ds. L'élément du résidu sera ainsi

27C V— 1 — -r-1 — ds cos <p, a-\- om

et le résidu lui-même, en supposant que la courbe f {x, y) = 0 soit fermée, ou que M s'annule en deux de ses points qui formeraient alors des limites naturelles, sera l'intégrale