VI -f w* , — — ; — ds cos Ç

-f- bm ^

prise le long de cette courbe, ou entre les limites où M serait nul ; et cette intégrale serait l'une des périodes de l'intégrale / / zdxdy correspondant à l'équation

Cette période dépendrait donc de m, de sorte que l'intégrale / / zdxdy

aurait une infinité de périodes ; cela n'est pas possible. Il faut en conclure que

Mvl + W^ a-\- ont

doit être indépendant, en chaque point de / [x, y) = 0, de la direction du plan sécant, ou que la période de la quadratrice de la section en chaque point de f {x, y) = 0 doit être inversement proportionnelle au cosinus de l'angle du plan sécant avec la normale à la courbe f{x, y) = 0. C'est très-facile à vérifier. En effet la tangente à la courbe

au point [j\, y,], où l'on a transporté l'origine, est représentée par

ax -\-by = 0.

La tangente de l'angle de cette tangente avec la trace sur le plan des x y du plan y = mx est donc

col9 =

bm-\- a

ma T

il en résulte

bm-{-a

coscp =

\/'+(:^-,naJ

'bm-{-aY sjn' [ ^^ ^i 4. m' par conséquent

a -f bm ^/^2 ^ ^2

Par conséquent on pourra donner aux plans sécants la direction que

Mds

l'on voudra ; le résidu sera toujours / -== , ce qu'aurait donné le

théorème de Guldin, si l'on avait employé des plans normaux. Du reste

de sorte qu'au lieu de l'expression

on pourra donner au résidu la forme plus simple