rV^ {i—xDllx

et que le résidu indéfini est

Pour avoir la période, il faut prendre cette intégrale entre les limites — 1 et + l, parce que, pour ces valeurs de a.-,, la section se réduit à

deux droites, de sorte que la période de la quadratrice de cette section s'annule et que le résidu se ferme. Il en résulte pour la période

±27rv/^(2 — ^V ou r^-KsP^i.

On voit, par cette théorie, pourquoi un point simple de f (x, y) = 0 ne saurait être le centre d'un résidu. En effet, deux plans également inclinés en sens contraires sur la tangente à la courbe en ce point donneraient des sections dont les quadratrices auraient leurs périodes éga- 'les et de signes contraires, de sorte que le volume total engendré serait nul ; du reste, la période de la quadratrice de la section faite par le plan tangent serait infinie.

Nous nous sommes borné, dans ce qui précède, à considérer les valeurs réelles de x et de y, auxquelles correspondent des valeurs infinies de z ; mais il est bien facile de montrer qu'on serait arrivé au même résultat si l'on avait attribué à a? et à ?/ des valeurs imaginaires constituant un parcours fermé voisin du parcours fermé composé des solutions réelles de l'équation du lieu le long duquel z est infini.

En effet, si l'on imagine z mis sous la forme

f{x, y)= 0 étant l'équation qui fournit tous les systèmes de valeurs de X et de y pour lesquels z est infini, a et b sont respectivement

^ et ^.

dx^ dy^

[Xj, yj désignant une solution quelconque de f(x,y)=0; d'un autre côté, M est cp (arj, yj ; par conséquent

M tp (x^, y^) b d£ '

dy^

C'est une fonction déterminée de x^^ puisque f (a?,, y^ =0; par conséquent

•j-dx.

est une intégrale simple d'une fonction différentielle de x^. Or il a été établi qu'une pareille intégrale ne change pas lorsque le parcours fermé

auquel elle correspond se déforme entre certaines limites ; que la période de cette intégrale se retrouve dans une infinité de parcours voisins. On peut, au reste, remarquer que les points critiques de la fonction

seront fournis par les équations

/"(•^,..yi) = o, ^^=0.

Théorie des contours élémentaires dans l'espace.

Nous avons déjà marqué la différence à faire, relativement aux solutions des équations

entre celles où z reste fini et celles où cette fonction devient infinie.

Les précautions prises par Cauchy pour éviter ces dernières sont justifiables, tandis qu'elles sont inutiles en ce qui concerne les autres.

Cependant, comme il s'agit de remplir un programme tracé à l'avance, nous nous y conformerons exactement. Les systèmes de solutions de l'équation

que nous considérerons, ne comprendront donc jamais de solutions de l'équation

Un système de solutions de l'équation

auquel correspond une valeur de I.zdxdy, est caractérisé par deux équations

? («, ^, «', lâ') = 0,

(pj(a, ^, «', ^') = 0,

el par une condition aux limites

Les deux équations dans lesquelles se décompose

/(« + li VXH, a'4- fi' v/^, a" + fi"vC7) = 0,

et celles que l'on y joint,

ç = 0 et ©1 = 0,

font de chacune des six variables a, p, «', p', a" et ji" une fonction déterminée de deux quelconques des autres. Par exemple, en vertu de ces équations, a" et {i" deviennent des fonctions de a et a.', ou de a et p, ou de a et [â', ou de a' et p, ou de a et p', ou de ^ et ^', de sorte que les huit intégrales doubles

:Sa"(/a//a', la." doidf,' , Sa'W^C^a', loi"d^d^\ l^"dada, l.^"d<xd^\ Sp'W^rfa', l.fd^^d^', ,

qui entrent dans la composition de

Izdxdy, sont bien définies.

Si Ton suppose que, en vertu des équations

^ = 0 et ?i = 0,

les huit surfaces dont les coordonnées seraient a, a' et «" ; a, p'et a"; ^, à' et a"; f:i, là' et a"; a, a et fi"; a, fi' et ^"; ^, a' et |i"; p, fi' et [â" se trouvent toutes fermées, en forme de sphéroïdes, le système de solutions caractérisé par les équations

^ = 0 et Çi=:0

pourra être dit fermé. Nous ne considérerons désormais que des systèmes fermés de solutions. Nous désignerons chaque système fermé de solutions par les deux équations (p = 0 et <p, = 0 auxquelles il correspondra* et nous dirons « le système [cp, (pj », pour le système des solutions correspondant aux équations cp = 0 et 'f j = 0.

Si l'intégrale I, que l'on veut obtenir, se rapporte à tout le système considéré, et c'est ce que nous supposerons toujours dorénavant, la condition aux limites

disparaîtra; nous n'en parlerons donc plus.

Nous prions qu'on nous permette, pour abréger le discours, de nous servir d'expressions géométriques, consacrées dans le cas où les varia-, blés considérées restent réelles, pour désigner des groupes analytiques analogues, mais formés de valeurs imaginaires de ces variables, afin que, suivant l'expression de Viète, Geometria suppleatur Geometriœ defectus.

df

Les équations f{x, y, z) = 0 ei -^ = 0 pourront être, sans inconvénient, désignées sous le nom adéquations du contour apparent de la surface f{x, y, 2) = 0 par rapport au plan des xy.

Le système de ces équations équivaut à quatre équations entre a, ^, «', p', a" et p". Si l'on y en ajoute une cinquième, on aura une suite de solutions des équations du contour apparent. Cette suite sera dite fermée si la courbe dont l'abscisse serait a et l'ordonnée l'une quelconque des cinq autres variables est fermée, ou est un même arc de courbe, parcouru successivement dans les deux sens ; elle sera caractérisée par une équation complémentaire

qui la déterminera, et Ton pourra la nommer la suite (a. 11 m'arrivera même de « dire la courbe [x », pour la suite (a, ou a les points de u. », pour

les solutions des équations f {x, y, z) = 0, -^^ = 0, [a (a, p) = 0.

Nous dirons qu'une suite (a est enveloppée par un système [ç, <p,], si ce système ne peut pas se réduire par contraction à une solution unique, sans avoir momentanément compris la suite (a des solutions des équations du contour apparent.

Une suite (a sera enveloppée deux, trois,. . . fois par le système [<p, œ,], si ce système ne peut se réduire à rien sans avoir contenu deux, trois,... fois les solutions composant la suite [a.

Comme les équations

n'admettront jamais aucune solution des équations du contour apparent, le système [cp, <pj n'enveloppera aucune solution des équations du contour apparent, ou bien en enveloppera des suites fermées ; car, s'il n'enveloppait qu'une portion d'une suite [a, il comprendrait les extrémités de cette portion.

Cela posé, il résulte, de propositions établies dans la Théorie des intégrales doubles, que, si un système fermé [f, ç,] n'enveloppe aucune solution des équations du contour apparent, l'intégrale correspondante m" p. 14

sera nulle, et que, si le système fermé [<p, -fi] enveloppe un ensemble quelconque de suites fermées de solutions des équations du contour apparent, l'intégrale correspondante, qui, en général, ne sera pas nulle, n'éprouvera aucune variation lorsque le* système [9, cpj viendra à se modifier, sans toutefois cesser d'envelopper les mêmes suites de solutions des équations du contour apparent et sans en envelopper de nouvelles.

Les différentes valeurs constantes de l'intégrale, correspondant aux différents systèmes fermés de solutions que l'on pourra former dans ces conditions, seront les périodes de l'intégrale.

Occupons-nous d'abord de définir les suites fermées de solutions des équations du contour apparent, qui seront à considérer. Si, entre les

équations /" = 0 et -i = 0, on élimine z, il restera une équation dz

qui sera proprement l'équation du contour apparent : et, si l'on considère une solution quelconque x ■= a -\- b sj — l,y=a'-|-6' y — 1 de cette équation F (a?, y) =0, la valeur qu'il faudra y joindre, pour z, sera exclusivement la racine multiple de l'équation

f{a-\-bs[^\,d^b'\l^,z)=0.

Nous supposerons toujours cette racine finie, puisque nous avons établi à part la théoriej en ce qui concerne les solutions infinies, par rapport à z, des équations du contour apparent. Nous la supposerons aussi seulement double, ce qui arrivera généralement, afin de ne pas tomber dans des discussions de détails.

Pour obtenir une suite fermée de solutions des équations du contour apparent, il suffira d'obtenir une suite fermée de solutions de l'équation F [x, y) = 0, puisque z sera déterminé pour chaque système de valeurs de X et de y.

Or les conditions dans lesquelles une suite de solutions d'une équation à deux variables,

peut se fermer, ont fait l'objet, de la part de Gauchy, d'une étude spéciale, dans les préliminaires de la théorie des intégrales simples, et nous devons supposer connus les résultats de cette étude.

Pour suivre l'illustre maître d'aussi près que possible, nous supposerons que ce que nous avons appelé une suite [x, soit défini par une équation

entre les parties réelles et imaginaires de x, y devant d'ailleurs être ensuite donné par la relation

Y{x,y)=Q ou

et la valeur correspondante de z devant être la racine double de l'équation

Cela étant, la suite (x sera fermée, d'abord : si la courbe \x. (a, [i) = 0 n'enveloppe aucun des points critiques du lieu

et nous démontrerons que, dans ce cas, l'intégrale double l^zdxdy sera identiquement nulle; en second lieu, si la courbe [x(a, P) =0 enveloppe un nombre convenable de fois l'un des points critiques du lieu F {x, y)=0, nous démontrerons que, dans ce cas, l'intégrale double se réduirait au résidu relatif à ce point critique, c'est-à-dire à zéro, puisque le z de ce point sera supposé fini ; enfin, si la courbe \x (a, P) = 0 enveloppe un nombre convenable de points critiques du lieu F (57, y) = 0, et chacun d'eux un nombre tel de fois que, finalement, y revienne à sa valeur initiale en même temps que x, nous démontrerons que, dans ce dernier cas, l'intégrale double aura une valeur finie, indépendante de la forme de la relation

fx(a,^)=0,

pourvu que la courbe {* (a, [i) = 0, en se déformant, ne cesse pas d'envelopper les mêmes points critiques du lieu F {x, y)= 0, et chacun le même nombre de fois. Cette valeur constante de l'intégrale double en sera évidemment une période.

S'il s'agit, par exemple, de l'équation

les équations du contour apparent seront

c'est l'équation

a' ' b' qui sera l'équation F {x, y) = 0, dont nous venons de parler.

Pour que la suite des valeurs de x et y se ferme, c'est-à-dire pour que y revienne à sa valeur initiale en même temps que x, il faudra que le chemin suivi para; n'enveloppe aucun des deux points

ou qu'il enveloppe deux fois l'un d'eux, ou qu'il enveloppe une fois chacun d'eux ; mais c'est dans cette dernière hypothèse seulement qu'on trouvera une valeur finie de l'intégrale double.

Dans cet exemple, une première suite fermée de solutions des équations du contour apparent sera la suite des valeurs réelles de a; et de y tirées de l'équation

Les autres s'obtiendraient, par exemple, en formant les solutions communes à l'équation

et à celle d'une droite qui se mouvrait d'une manière continue, toujours dans le même sens, autour de l'ellipse, sans jamais la rencontrer, et qui reviendrait à sa position initiale, après avoir pris deux fois la direction de chacune des tangentes à cette courbe.

Ainsi, si a est plus grand que b, on obtiendrait deux suites fermées de solutions des équations du contour apparent en prenant les solutions communes aux équations

et

1/ = mx -^ ak \'l -j- m%

k étant plus grand que 1, et faisant varier de 27r, dans le même sens, l'angle dont la tangente est m.

S'il s'agissait de l'équation

les équations du contour apparent seraient

x^ V^ ^ = 0 et ^-1=1,

et, pour que la suite des valeurs de x et de y se fermât, il faudrait que le chemin suivi par x n'enveloppât aucun des deux points a = dza, ^ = 0, enveloppât deux fois l'un d'eux, ou les enveloppât tous les deux une fois chacun. On obtiendrait une suite du troisième genre en formant les solutions communes à l'équation

et à celle d'une droite

cx-\- d,

qui se déplacerait entre deux positions extrêmes oi!i elle toucherait l'hyperbole

Cela posé, voyons maintenant comment nous constituerons un système fermé [9, çj, enveloppant une suite fermée (x de solutions des équations du contour apparent et ne comprenant aucune solution des mêmes équations.

Soit

x=-a-\-b \l — 1 , y=o!-{-b'sl — 1 une solution de l'équation

du contour apparent.

Cette solution satisfera à une certaine équation du premier degré à coefficients réels,

y = mx-\- n,

que l'on formera en déterminant m et n par les conditions

a'=ma-\-n et

b'=mb.

Assujettissons les deux parties réelle et imaginaire de 07 = a -f- |â y/— i à satisfaire à réquation

p étant aussi petit qu'on le voudra ; déterminons ensuite y par la condition

yz=mx-\- n,

et supposons que z ait d'abord la valeur de l'une des deux racines presque égales de l'équation f {x, y, z) = 0, ce qui suffira pour qu'il reste ensuite dans les mêmes conditions.

Si l'on en fait autant pour chaque solution comprise dans la suite y., en supposant toutefois que le chemin parcouru par x autour du point [a, b] suffise pour produire la permutation des deux valeurs de z infiniment voisines, on aura un système fermé de solutions de l'équation f{x, y, z) = 0, enveloppant la suite fx et ne comprenant aucune solution des équations du contour apparent.

L'intégrale 'Lzdxdy correspondant à ce système tendrait vers zéro avecp; mais imaginons maintenant qu'après avoir pris, pour chaque solution X = a -\- b v— ï, y =a' -\- b' y — \ de la suite [a, une seulement des solutions des équations

y = mx -\- n, on rejoigne cette solution à un système fixe

« = «0 + *o S/--Ï, y = «'o + *'o si— 1

de valeurs de x et de y, enveloppé par la suite [x ; la ligne de raccord devra être définie par trois équations entre a, p, a' et |5', afin qu'il ne reste qu'une seule . variable indépendante; et, comme l'équation du contour apparent, F (a?, y) = 0, en donnerait deux, cette ligne de raccord pourra être choisie d'une infinité de manières différentes, de façon qu'elle ne comprenne aucune solution de F {x, y) = 0. Par exemple,

x — a,-\-b^\J—\, y = a\-]-b\^J^ désignant la solution considérée des équations

y = mx -\- n, on pourra la rejoindre à

par la suite définie par les équations

et l'on fera de même pour chaque solution de la suite j*. On aura ainsi l'équivalent de ce que Cauchy appelait un chemin rectiligne et qui pourra s'appeler un chemin conique.

Si a? et y partaient de leurs valeurs a^ -\- ô, \j — i , a'^ -j- b\ sj — 1 choisies à volonté parmi les solutions des équations

(« -a)^ + (^ -.*)'= P% y = mx -\- n,

z ayant d'ailleurs l'une de ses deux valeurs infiniment voisines correspondantes, et que ar et y tendissent vers a^ -\- b^ s/ — 1 , et a'^ -\- b\ \' — i , z assujetti à la loi de continuité tendrait vers une valeur a\ -\- b'\\J — 1. Si z était parti de son autre valeur , presque double , il serait parvenu à une autre valeur a"^ + b"^ \J — 1. Si la solution a ■\- b y — 1, n' -\- b' \J — 1 variait le long de la suite jx et que l'on recommençât les deux mômes opérations, on ne retrouverait toujours, pour valeur finale de z, que

a\^b\^~i ou a\^^b\^sl~\,

parce que les valeurs que prendrait z le long de deux lignes de raccord infiniment voisines seraient toujours infiniment peu différentes. Gela posé, imaginons que nous partions de

a? = «0 + *o N^— ^, 2/ = a'o + *oV/— i»

z =zo!',+ b\\l—\,

que les x -Qi y s'épanouissent le long du chemin conique, de manière à arriver en même temps à leurs valeurs Oj + b^ y — 1, a'j + *'i V^— ^ ' les z prendront des valeurs a^ -\- b'\ yj — \ infiniment voisines des ra cines doubles de l'équation

/-(a-l- b si'^l, a' -{- b' sT^i, z) =0.

Faisant alors varier les x dans leurs cercles

et les y dans les plans

y = mx -\- n, de façon que tous les x reviennent en même temps à leurs valeurs

d'où résultera que les y reviendront alors à leurs valeurs a'i -|- b\\l — 1, toutes les valeurs de z se seront échangées avec leurs infiniment voisines.

Ramenons alors tous les x et tous les y respectivement à Oo -|- è^ \J — 1 et à a'o + b\ sj— 1, en suivant la seconde nappe conique ; tous les z

arriveront en même temps à la valeur «Y + *V V^— 1> et le système de valeurs de x, y Qi z se fermera.

La valeur de l'intégrale Izdxdy correspondant à ce parcours sera une des périodes de l'intégrale indéfinie; mais ellje pourra être nulle ou finie, et il s'agit de distinguer les deux cas.

Jusqu'ici la théorie, on le voit, s'échafaude comme celle des intégrales simples, avec un peu plus d'embarras seulement; mais, arrivé au point où nous en sommes, il ne nous resterait rien à ajouter s'il s'agissait des intégrales simples, tandis que la question la plus importante en ce qui concerne les intégrales doubles n'est pas même encore posée.

L'équation F {x, y) = 0 du contour apparent admet une infinité de suites fermées de solutions voisines, auxquelles correspondent des suites voisines de valeurs doubles de z. L'intégrale Izdxdy aurait-elle donc une infinité de périodes, ou bien les périodes correspondant aux suites (x voisines sont-elles égales entre elles?

C'est là le point le plus important à éclaircir, mais la difficulté tombe aisément. Toutes les périodes sont égales entre elles, de façon qu'il n'y en a qu'un nombre limité, qui correspondent aux différentes suites fermées de solutions de l'équation

relatives à des contours ne comprenant pas les mêmes points critiques de ce lieu.

En effet considérons deux suites (x et \x, en continuité entre elles.

Les points de deux pareilles suites pourraient être raccordés entre eux pardes lignes le long desquelles z aurait constamment deux valeurs

égales, et si c'est par exemple la suite ii qui enveloppe la suite fx', pour rejoindre les points

correspondant à cette snile {x, au point

intérieur à l'une et à l'autre, on pourra côtoyer à une distance infiniment petite, entre [x et [x, les lignes le long desquelles z aurait constamment des valeurs doubles, et il arrivera de là que z, recevant dans l'aller, de u.' à [x, un système de ses valeurs presque doubles, pour prendre ensuite, dans le retour de (x à /, le système de ses autres valeurs, infiniment voisines des précédentes, l'accroissement qu'aura subi l'intégrale, en allant de [x' à (x et en revenant de jx à [x', pourra être rendu aussi petit qu'on le voudra. La diff"érence serait exactement compensée si l'on substituait réellement le parcours conique relatif à jx' au parcours conique relatif à |x.

Cela posé, si une suite [x n'enveloppe aucun point critique de F{x,y) =0, elle pourra être réduite à rien, sans avoir cessé d'appartenir au lieu F [x, y) = 0, et l'intégrale correspondante sera nulle.

Si elle enveloppe un seul point critique de F {x, y) = 0, elle pourra être réduite à ce point sans avoir cessé d'appartenir au lieu F {x,y) = 0, et l'intégrale correspondante sera encore nulle.

Mais si elle enveloppe deux points critiques de F (a;, ij) =0, autour desquels y échangerait deux de ses valeurs, la suite {x ne pourra se réduire qu'à une suite fermée passant par ces deux points critiques et à l'intérieur de laquelle z ne saurait plus prendre que des valeurs inégales, de sorte que l'intégrale aura nécessairement une valeur finie.

Supposons, par exemple, qu'il s'agisse de l'ellipsoïde

une suite {x extérieure à l'ellipse

pourra se réduire à rien.

Une suite fx enveloppant le seul point critique x = -|- a pourra se réduire à ce point.

Mais une suite f* enveloppant les deux points critiques x =±a ne pourra se réduire par contraction qu'au contour apparent réel

à l'intérieur duquel z ne saurait prendre que des valeurs inégales, c'està-dire dont les points ne sauraient être reliés à un point intérieur a? =0, y ^ 0, par exemple, que par des lignes le long desquelles z prendrait forcément des valeurs inégales.

Nous avons, dans ce qui précède, pris les dispositions les mieux appropriées à la détermination d'une période en particulier, correspondant à une branche définie (x du contour apparent. Nous avons pour cela relié les points de cette branche à deux points de la surface, enveloppés par cette branche fermée et ayant mêmes coordonnées x et y, mais des z différents. Si l'on voulait obtenir les analogues exacts des contours élémentaires imaginés par M. Puiseux il faudrait relier toutes les branches du contour apparent aux points de la surface correspondant à un même système de valeurs de x et de y, par exemple aux points d'intersection de la surface avec l'axe des z. La partie de l'intégrale double qui correspondrait à la portion du chemin conique extérieure à la nappe de la surface entourée par la branche [i. serait nulle d'ellemême, parce que z prendrait les mêmes valeurs en allant et en revenant.

théorie des résidus des intégrales d'ordre quelconque.

11 était indispensable, pour permettre la comparaison entre les deux méthodes d'étude des intégrales, d'étendre aux intégrales doubles celle que Cauchy avait donnée pour les intégrales simples ; mais, la conclusion étant facile à tirer maintenant, je ne pense pas que personne songe jamais à étendre la méthode de Cauchy aux intégrales d'ordre quelconque.

Je n'y songe pas davantage, quoique la chose pût paraître facile.

Mais je crois devoir faire une exception en faveur de la belle théorie des résidus, qui constituera un titre permanent de gloire pour l'illustre maître dont personne ne saurait admirer plus que moi le génie exceptionnel et les merveilleuses ressources, puisqu'il m'a été donné de montrer qu'il savait résoudre les questions les plus ardues sans les embrasser, c'est-à-dire sans les envisager que par le plus petit côté.

Je me bornerai à l'exemple d'une intégrale triple.

Les idées sont d'autant plus faciles à exprimer, et plus nettes, que l'on se retranche davantage dans le domaine concret ; on repasse d'ailleurs ensuite toujours aisément du point de vue concret au point de vue abstrait. Je supposerai donc qu'il s'agisse de l'intégrale qui exprimerait la masse d'un corps dont la densité en chaque point serait une fonction donnée des coordonnées de ce point.

Soient x, y, z les coordonnées orthogonales d'un point de l'intérieur d'un corps, et D la densité du corps en ce point, laquelle sera donnée par une équation entre a;, y, z et D. Supposons qu'on sache que cette densité devient infinie en chacun des points d'une surface F (a?, y, z] = 0, de sorte que l'on pourra concevoir D exprimé par

F{x,y,zy

Soit X,, yi, z^ une solution de F = 0; si l'on pose

on en déduira

aX + 6Y + t'Z+...'

les termes non écrits au numérateur contenant en facteurs des puissances quelconques de X, Y, Z, ceux omis au dénominateur étant au moins du second degré par rapport à X, Y et Z, et a\ -\- bY -\- cZ désignant le premier membre de l'équation du plan tangent à la surface F = 0, au point x^, y^, z^.

La période de l'intégrale

doit être le résidu de celte intégrale relatif à la surface F = 0, c'est-àdire la valeur finie qu'elle pourrait acquérir sans que a?, y et z eussent pris que des valeurs infiniment peu éloignées de satisfaire à l'équation F = 0; et cette valeur de l'intégrale doit rester la même, quel que soit l'ensemble fermé de valeurs attribuées aux variables, pourvu que cet ensemble enveloppe toujours le système des solutions de F =0.

Pour trouver ce résidu, il faudra constituer une portion définie de l'iiïtégrale indéfinie I,\)dxdydz, et chercher ensuite la quantité finie à laquelle se réduirait cette portion, lorsqu'elle viendrait se confondre avec la masse de la surface F = 0, à laquelle on supposerait une épaisseur imaginaire infiniment petite.

Pour y arriver, considérons une surface quelconque

F,{x,y,z) = 0; menons par tous les points ar,, y^, z^ de cette surface, des parallèles à une droite quelconque = — ^ = , limitons ces parallèles à des

COS a COS p COSy points arbitrairement choisis, formant une autre surface F\ {x, y, z) = 0, et concevons la masse de la portion du corps comprise entre les deux surfaces F^ =0 et F\ = 0: cette masse sera une portion définie de l'intégrale proposée.

L'élément de cette portion sera le produit de l'intégrale / Bdz,

ces Y J

prise le long de la droite

^ — ^1 y — yi ^ ^— ^1

COS a cos ^ cos Y '

entre les z des points, de rencontre avec les surfaces F^ = 0 et F, =: 0, par l'élément ds^ de la surface de base F, = 0, et par le cosinus de

l'angle de la direction = -^—- = - — avec celle de la normale

COS a COS p COS v

en X,, y,, z, à Fi = 0.

Cet élément sera donc

COS a -7-^ + COS S — -i 4- COS Y — i

'^osY . //dF.v . /rfr.\' /itF,YJ

m* (S* es

Ramenons maintenant la surface F^ = 0 en coïncidence avec F == 0: comme on ne donnera plus h x, y et z que des valeurs différant infiniment peu respectivement des coordonnées des points de F = 0, D pourra être réduit à

9{x., y,, z.) (a COS a -f- ^ cos fi -|~ ^ COS y) z '

de sorte que l'élément de l'intégrale deviendra

dF . „rfF . dF

^[x„y^,z^)ds — , "r' ■' "''^' /77

COSa-— + COS^-y^ h COS Y —

dx^ dy^ d^\ { (l'-

/fdFV JdFV Â^2 J(acosa+icosp + ccosY);

Si z croît de z^ à une valeur quelconque, l'intégrale

dz

(a COS a -j- fi COS [i -f- c cos y) 2 prendra une valeur à laquelle on pourra ajouter

a COS v.-\-h cos [i -j- e cos y '

l'élément de l'intégrale triple pourra donc être augmenté de

dF , „rfF , dF

I — 7 - cosa- ^ cos [i -j— -f- cos Y :7-

27tv — ^ '^{^iiHv ^i) 1 dx^ ' dy^ dz^

«cosa + ôcosp + ccosY /fdFy JdFV fdFV '

qui est l'élément de la période ou du résidu.

Mais le plan langent à F = 0, au point x^, j/^, Zj, étant

ax -\- by -\-cz = 0,

a, à, csont respectivement égaux à -r—, —-, -r-; de sorte que 1 expres-

aXi dyi dZi

siçn précédente se réduit à

Stt sJ — ^(f{x^, ?/j, Z^) ds

et que le résidu lui-même est représenté par

27tv/— 1 2 ^

(«1, Vi, 2i) C?S

cette intégrale devant être prise dans toute l'étendue de F = 0, si cette surface est fermée, ou s'étendre seulement à une portion de cette surface limitée par une courbe le long de laquelle ç (a?,, y^, z^ serait mj.

On pourrait remplacer ds par

dY dz,

ce qui donnerait, pour la valeur du résidu,