La discussion serait la même pour l'équation

ay — b'x^ = a^\

Elle représente simultanément une hyperbole réelle ayant pour axe transverse l'axe des y et toutes les ellipses imaginaires qui ont avec elle un système de diamètres conjugués commun. Ces conjuguées ont pour enveloppe réelle l'hyperbole

ay — h^x" = a^b"-

et pour enveloppe imaginaire l'hyperbole

ay^l^x^=,^a^l\

MARCHE D UNE FONCTION. APPLICATIONS. i 7

Celles qui touchent la courbe réelle dans le premier et le troisième quadrant ont leur caractéristique positive, les autres l'ont négative.

La caractéristique ne peut d'ailleurs varier qu'entre et -}- -. par

conséquent elle ne peut changer de signe qu'en passant par zéro. Gela arrive lorsque ?/ est réel et moindre que é, par conséquent lorsque x est imaginaire, sans partie réelle et moindre que a en valeur absolue.

282. Il serait inutile de multiplier davantage les exemples qui se rapportent au second degré ; nous prendrons maintenant la fonction y définie par l'équation

Lacourbereprésentée par cette équation est MON (/?^. 12): l'origine est un point d'inflexion, la tangente y est dirigée suivant la bissectrice de l'angle des axes ; les points limites L et L' ont pour coordonnées

x = zt— = d= —

la courbe n'a pas d'asymptotes, mais la direction asymptotique est y = 0.

Les conjuguées dont la caractéristique n'est pas comprise entre 0 et 1 touchent la courbe réelle, les autres ont pour enveloppe la courbe M'ON' représentée par l'équation

7/ -\- a^y — àrx = 0,

car pour que -p soit réel, il faut que a et a' soient nuls.

La conjuguée G = 1, ROSTOV, sépare les deux catégories et appartient à l'une et à l'autre ; elle a encore cela de remarquable qu'elle est la seule dont les deux parties, se touchent. Elle peut servir d'intermédiaire au point [x, y], soit pour passer d'une catégorie de conjuguées à l'autre, soit pour passer d'une portion à l'autre d'une môme conjuguée sans changer de catégorie, en traversant l'origine.

Gette conjuguée est déterminée par les équations

d'où l'on tire

de sorte que les solutions du système des équations

correspondront aux passages du point [x, y] des conjuguées d'une catégorie sur celles de l'autre.

L'équation de la conjuguée C r= 1, en coordonnées réelles, est

8^=^ + (l ± \Jïy a'y — (l ± s/s)' a'x = 0.

BLBj, B'L'B'i est la conjuguée C = oc, la conjuguée C =0 est évanouissante.

L'origine étant le centre commun de toutes les conjuguées, une conjuguée quelconque touche l'une ou l'autre enveloppe en deux points symétriquement placés par rapport à l'origine. Celle qui touche l'enveloppe imaginaire aux points P, P' a pour caractéristique le coefficient angulaire de POP'.

Lorsqu'on cherche à annuler a, on trouve qu'il peut passer par zéro, en même temps que *', lorsque G est moindre que 1, et qu'il ne devient nul isolément que quand G est négatif et moindre en valeur absolue

que -, c'est-à-dire sur les conjuguées qui touchent la courbe réelle à

gauche de A ou à droite de A'.

Si l'on cherche les points de rencontre d'une conjuguée avec la courbe réelle, on trouve

Ainsi il n'y a que les conjuguées circonscrites à l'enveloppe imaginaire

qui coupent la courbe réelle.

La figure représente celle dont la caractéristique est -.

Cela posé, nous prendrons pour valeur initiale de x une valeur 2a réelle, x^, plus grande que — r^ , égale à OG par exemple. A cette oy o

valeur de x correspondront pour y deux valeurs imaginaires que nous désignerons par f^, ^o» <3"i fourniront les points B et Bj de la conjuguée C ^ oc et une valeur réelle v^ qui fournira le point B, de la courbe réelle.

X variant ensuite d'une manière continue, les trois valeurs de y varieront elles-mêmes d'une manière continue, et nous désignerons par t^ Uy V ces trois fonctions.

Si apprend iine valeur a + ji y— 1 infiniment voisine de x^, a — x^ et p étant infiniment petits, les trois valeurs de y différeront peu de f^, «0, Vq ; mais comme les parties imaginaires de t^ et de u^ étaient finies et désignes contraires,elles resteront encore désignes contraires; les deux points [x, t], [x, u] se transporteront donc sur des conjuguées tangentes à la courbe réelle en des points situés l'un au-dessous de L, l'autre audessus si p est positif, ou inversement dans le cas contraire.

Fig. 12.

Mais d'ailleurs le point [x,'t] sera encore sur la branche supérieure delà conjuguée qui le contiendra et le point [x, u] sur la branche inférieure.

Quant au point [x, v], il se sera transporté sur une conjuguée tangente à la courbe réelle en un point voisin de Bj.

Il importerait peu de savoir ce qu'il est devenu, mais, pour ne laisser aucune difficulté sans solution, nous chercherons de quel côté il se trouvera par rapport au point de contact de la conjuguée qui le contiendra avec la courbe réelle.

Comme nous supposons a — x^ei^ infiniment petits, nous pourrons réduire v — v^h.

{a-x,+ pS-i)',

or la partie imaginaire de cette différence, qui sera la partie imaginaire de V, sera

et comme v^ est plus grand en valeur absolue que le double de l'ordonnée du point L qui satisfait à l'équation

3 vl — a^ étant positif, la partie imaginaire de v sera de signe contraire h p, négative par conséquent si, comme nous le supposerons, (à est positif.

Cela étant, si, sans changer la direction de l'axe des x, nous prenions pour nouvel axe des y la partie supérieure d'une parallèle, menée par l'origine, à la tangente à la courbe réelle au poînt oti la touche la conjuguée à laquelle appartient le point [x, v] : les formules de transformation seraient

X = x' -{-y' cos Y'X, y =y' sin Y'X ;

x' serait réel, mais sin Y'X étant positif, la partie imaginait-e de y', ou v', serait de même signe que la partie imaginaire dey ou v, c'est-à-dire négative : le point [x, v] sera donc sur une branche inférieure.

Nous pouvons maintenant suivre de proche en proche les mouvements des trois points [x, t], [x, u], [x, v].

Nous supposerons d'abord que x n'atteigne pas une valeur qui amènerait un des trois points sur la conjuguée C = 1.

Tant que p restera positif, le point [x, t] restera sur une conjuguée tangente à la courbe réelle en un point de OL et sur la branche supérieure de cette conjuguée.

Le point [x, u] restera sur une conjuguée tangente à la courbe réelle en un point de LM et sur la branche inférieure de cette conjuguée.

Enfin le point [x, v] restera sur une conjuguée tangente à la courbe réelle en un point de L'N et sur la branche inférieure de cette conjuguée.

Si ^ passe par zéro et change de signe à un moment oii a soit encore

plus grand que — p, t et u étant restés imaginaires, les points [x, t],

3V3 [x, u] seront restés à des distances finies de la courbe réelle ; les signes des caractéristiques des conjuguées auxquelles ils appartiendront auront changé, mais ces points seront encore le premier sur une branche supérieure, le second sur une branche inférieure, et si x revenait à sa valeur initiale sans que ^ eût passé de nouveau par zéro, les trois points reviendraient à leurs places primitives.

Au contraire, si [i passe par zéro, a étant compris entre 0 et — — ,

à ce moment les trois points se trouveront sur la courbe réelle, et si

[i change de signe, tous trois changeront de branches; par conséquent,

si X revenait à sa valeur initiale sans que [i eût passé de nouveau par

zéro dans l'intervalle, t prendrait la place de u, u celle de t, et v seul

reviendrait à sa valeur initiale.

Revenons au point de départ x=Xq, et supposons toujours qu'aucun

des trois points ne traverse la conjuguée G = 1, pour aller se rendre sur

les conjuguées de la seconde série.

Tant que x ne passera pas par zéro, les .deux points [x, t], [x, u]-

resteront toujours sur les conjuguées qui touchent la courbe réeUe

sur OM et le point [x, v] sur celle qui la touche sur ON ; les points

[x, tl [x, m] pourront s'échanger entre eux un nombre indéfini de fois,

mais, lorsque x reviendra à sa valeur initiale, le point [x, v] reprendra

toujours sa position primitive.

Supposons donc que x passe par zéro, et que ce soit, par exemple, le

point [x, t] qui passe à l'origine en suivant un chemin tangent à la

droite ?/== a; ; si x change de signe en passant par zéro, le point

[x, t] arrivera sur les conjuguées qui touchent la courbe réelle sur

ON et se trouvera par rapport au point [x, v] dans la même situation

où il était précédemment par rapport au point [x, u]. Si ^ passe par

2a zéro, a étant compris entre 0 et =, les points [a;, v] et [ar, t]

changeront tous lés deux de branches et pourront ensuite venir occuper chacun la place qu'avait précédemment l'autre, de sorte que si x revenait à sa valeur primitive x^, en repassant de nouveau par zéro, V prendrait la valeur de t, t celle de v, et u reprendrait sa valeur initiale.''

Nous avons ainsi fait s'échanger entre eux les points [x, (] et [x, u] en laissant d'abord la partie réelle de x positive ; nous avons ensuite fait s'échanger les points [x, t] et [x, v] ou [x, u] et [x, v] en leur faisant traverser successivement l'origine des coordonnées qui était le seul point qui pût servir de. passage entre les demi-conjuguées qui touchent la courbe réelle sur OM et celles qui la touchent sur ON ; nous allons maintenant faire passer nos trois points surles conjuguées circonscrites à l'enveloppe imaginaire.

Chaque fois qu'un des trois points passera sur la conjuguée G = 1, il pourra changer de série de conjuguées, et il sera facile de s'assurer de ce qu'il en est, car la marche de x étant définie, la différentielle de cette variable étant par conséquent connue, la différentielle de y pourra l'être aussi, et il sera toujours aisé de voir si cf^' surpasse ou non d^j c'est-à-dire si G a augmenté ou diminué.

Nous avons vu que la conjuguée G =î= 1 est définie par la relation

2a'oi'-

chaque fois donc que, a et ^ continuant de satisfaire à la relation

3aV

changera de signe, un des trois points [x, t], [x, m], [x, v] pourra changer de catégorie de conjuguées : il importera alors de savoir lequel des trois points subira ce déplacement ; mais cette question ne présentera jamais de difficulté, parce qu'ayant suivi jusque-là les passages de ^ par zéro, on saura toujours sur quelles branches se trouvent les trois points.

Ainsi en reprenant par exemple le même point de départ x = x^, il est évident d'abord que le point [x, v] ne pouvant parvenir à la conjuguée G = 1, sans traverser la conjuguée G = oo, auquel cas l'un des points [x, t], \x, u] y serait venu aussi, ce qui exigerait ou qu'il eût traversé l'origine, ou qu'il eût momentanément passé sur les conjuguées de la seconde catégorie, pour les quitter ensuite, il est évident, disons-nous, que le point [x, v] ne pourra pas arriver le premier sur la conjuguée C =1.

D'un autre côté, quant aux deux points [x, t] et [x, u], il est évident que si p a d'abord reçu des valeurs positives et n'a pas changé de signe avant que

Sa'oi'

devînt nul, ce sera le point [x, t] qui passera sur la conjuguée G = 1. Supposons donc que le point [x, t] ait passé sur les conjuguées de la seconde catégorie : tant qu'il y restera et que a ne changera pas de signe, il restera du même côté du point de contact de sa conjuguée avec l'enveloppe imaginaire ; et si au contraire a change de signe, le point [x, t] changera de branche sur sa conjuguée. En suivant donc les passages de a par zéro, on saura toujours où se trouve le point [x, t] ; et s'il doit repasser sur les conjuguées de la première catégorie, on saura quelle branche de la conjuguée G = 1 il aura dû traverser.