Nous prendrons pour dernier exemple l'équation
qui présente des particularités remarquables.
Si X est imaginaire et représenté par a -j- P V — 1 , y^ est généralement imaginaire et de la forme A -|- B \^ — 1 ; les deux valeurs de y^
?/^ = ±(a' + B'v/^) sont déterminées par les équations
et
qui montrent que ni A' ni B' ne sont nuls quand B ne l'est pas. Les valeurs de
y = ±: (a" + B" v/=ri)
sont ensuite déterminées par les équations
et
qui montrent de même que ni A" ni B" ne sont nuls si B' ne Test pas.
On voit aisément que les quatre valeurs de y se distinguent les unes des autres par les signes de leurs parties réelles et imaginaires, ces signes fournissent toujours les quatre combinaisons possibles, lorsque B est différent de zéro.
La valeur de B est
elle n'est nulle que dans les hypothèses a =0, i^ = 0, a = ±: [â ; mais dans la première il faut que ^ soit moindre que a pour que B' soit aussi nul, et dans la seconde il faut que a soit moindre que a.
A" et B" ne peuvent en conséquence changer de signes qu'aux époques où a passe par zéro, [i étant moindre que a, où fi passe par zéro, a étant moindre que a, enfin où a = ± fi.
Dans chacun de ces trois cas, deux valeurs de y sont réelles et les autres imaginaires sans parties réelles.
Les hypothèses a = 0, [â = 0, a=-|-^)a = — 1^ devant jouer un rôle important dans la discussion qui va nous occuper, nous donnerons d'avance le tableau des valeurs de la différentielle de y dans les cas correspondants.
Premier cas.
Les valeurs de y sont
± y/'a^ [à* et ± va* — fi" y^— 1, et celles de dy
f/«|-(/^^y/l) et q= ^ P (^« -I- (/fi yCTl),
d'où l'on voit que celle de§ deux parties de y qui vient de s'annuler avec a, change aussi de signe avec lui.
Deuxième cas.
Les valeurs de y sont
celles de -f sont ax
et celles de dy
VsVdâ* — a'O'
+ (^/a + ^rt — (<^a — <^ri V— ï
— (c/a — 4) — {du + /^) V^ + (^a — d^) + (rfa + (/^) V^^
— ((/a + d^) + (^a — dp) sj^
En comparant ce tableau à celui des valeurs de y, on voit que, dans celles où a' =r- ^', a' — [i' change de signe avec a, et que dans celles où a'= — [i', c'est a' -|- ^' qui change de signe avec a. Dans les deux cas, il y a interversion d'ordre dans les valeurs absolues de a' et de^'.
Troisième cas.
[â = 0, X =: IX, a <; «.
Les valeurs de y sont
± y/a^a* et ± sja' — a." sj~\, et celles de dy
et
tjia' — 'x'f
APPLICATIONS
d'où l'on voit que celle des deux parties de y qui vient de s'annuler avec ^ change aussi de signe avec lui.
Quatrième cas.
Les valeurs de 1/ sont
= 0, X = a, a >. fl.
;^vV-«^
celles de -/ sont dx
et celles de di/
'i + sj-i^ 1 — y/— 1
(doL — d^) + (do: + 6?ri v/^ (</a + rf[i) — ((/a — ^ri V'^ (f/a + d^) + (rfa — d^) s/^
En comparant ce tableau à celui des valeurs de ?/, on voit que dans celles où a' = [â', a — [i' change de signe avec ^, et que dans celles où a = — fl', c'est «' -f- ^' qui change de signe avec p. Dans les deux cas il y a interversion d'ordre dans les valeurs absolues de a' et de p.'.
Cinquième cas. '
a=+fi, X = oi(i -{-\J—i).
Les valeurs de y sont
y a' 4- 4a* et dz\/—i \'a' + 4a*,
celles de -7^ sont
V(«^ + 4at
et d=
et celles de dy
^^'^ • [rfa 4- rfji — (^oc - d^) vCTÏ]
vV + ^y-'f
et
[c?a — rf,^ + (rfa 4- rfrf V— IJ.
D'où l'on voit que celle des parties de y qui s'annule avec « — [i change désigne avec cette différence.
Sixième cas.
Les valeurs de y sont, comme dans le cas précédent,
± s/a' + 4a* et d= v^— 1 ya* + 4a* ; mais les dérivées et les différentielles de y changent.
Les valeurs de ~ sont dx
2"' ^[+S~i) et ±-=2i=(-l + v/=l),
et celles de dy
±-=JL=:[dr.-àp-\-{dc, + d^)sj::^l] \/(a* 4- 4 a*)* et
± ^"' [ (rfa + #) + (^a - dp) v^ITÎ].
D'oti lonvoit que celle des parties de y qui s'annule avec a 4- P change de signe avec cette somme.
Nous pourrions considérer la discussion comme terminée là, puisque a' et p' ne peuvent s'annuler et changer de signes que dans les hypothèses a=0, ^=0, a =± [i, et qu'on sait ce qui leur arrive dans chacun de ces cas ; mais nous allons chercher à suivre la marche du point [x,y] sur la courbe réelle et sur ses conjuguées.
La courbe représentée par l'équation ?/* 4- ^* = et* est comprise entre les droites x = zp a, y = zp a; elle renferme dans son intérieur le cercle y^ -\- x^ = a^.
Tant que x ne prend que des valeurs réelles comprises entre — a et 4" a, les valeurs de y sont
± Vu* — x' et ± V^ v/a* — ^\
la porlion de la conjuguée à abscisses réelles, qui s'étend entre les droites a: = qr a ne se dislingue donc pas de la courbe réelle.
Lorsque x prend des valeurs réelles non comprises entre — a et -f- a, les quatre valeurs de y sont
La conjuguée à abscisses réelles, en dehors des parallèles x = ^ a, se compose donc de l'axe des x doublé et de la courbe qui en coordonnées réelles aurait pour équation
y'* — -ix*
: — Aa\
La conjuguée dont les ordonnées sont réelles est égale à la conjuguée à abscisses réelles, seulement elle s'appuie sur l'axe des y au lieu de s'appuyer sur l'axe des x.
Si des valeurs réelles, x = m, y = n, des coordonnées, satisfont à l'équation
les mêmes valeurs affectées du signe \/ — 1, x = m yj ^i,y = 7i \/ — l y satisfont aussi.
La caractéristique de la solution x=m\/ — 1, y = n\/ — 1 est— ; ainsi
la conjuguée C passe par le point oiîi la courbe réelle est coupée par la
droite y= Gx, et elle la touche imaginairement en ce point, car la
tangente à la courbe réelle au point x = m, y = n est représentée par
l'équation
etla tangente à la conjuguée C = - au point x l'est par l'équation
y—n\J—l = qui ne fournit que la droite
La même conjuguée touche aussi la courbe réelle au point oh la tangente à cette dernière est parallèle h 7/= Gx, mais les coordonnées de ce point sont réelles aussi bien sur la conjuguée que sur la courbe réelle.
La courbe réelle se trouve donc être à la fois l'enveloppe réelle et l'enveloppe imaginaire de toutes ses conjuguées.
Les asymptotes sont
et si l'on se rappelle que la, droite représentée dans le système C par l'équation
y z= [m -\- n \J — i) x est, en coordonnées réelles,
on en conclura que les asymptotes de la conjuguée G sont fournies par les équations
Chaque conjuguée se compose en réalité de quatre arcs indéfinis dont deux touchent la courbe réelle en des points réels, tandis que les deux autres la touchent en des points imaginaires.
Nous pourrons cependant, pour simplifier le langage, considérer chaque conjuguée comme formée de la réunion de deux conjuguées de même caractéristique, mais de catégories différentes : la conjuguée de la première catégorie ét^nt composée des deux arcs qui touchent la courbe réelle en des points réels, et l'autre des deux autres arcs.
Les quatre branches indéfinies qui composent les deux arcs d'une même catégorie ont toujours pour asymptotes deux droites imaginaires conjuguées, soit
y=—{l-\-sl-i)x
et
soit
!/ = -^(-i-\->J^X et y==l(l-vC:i)^;
mais chacun de ces couples alterne d'une catégorie à l'autre lorsque G passe par zéro ou par l'infini ; de telle sorte que les deux asymptotes
= i\^—r)^ et 2/ = -= -x
appartiennent à la première catégorie quand G est négatif et à la deuxième quand G est positif, et inversement pour les deux autres. Gela se voit aisément si l'on fait la figure.
En effet, quand par exemple G devient infini, d'une part les asymptotes de catégories différentes
y = -.= X et y = X
se confondent en môme temps que les arcs de catégories différentes auxquels elles appartiennent ; car la partie kx de l'axe des x, représentée par
^x'* — <f , \x réel, > a\
peut être considérée à la fois comme une position limite d'une branche d'une conjuguée de la première catégorie dont la caractéristique négative serait devenue infinie et d'une branche d'une conjuguée de la deuxième catégorie dont la caractéristique positive serait devenue aussi infinie ; de même que la même partie kx de l'axe des a?, représentée par
y =, ~'^+y~^ V^* — a\ [x réel, > o],
peut être considérée à la fois comme une position limite d'une branche d'une conjuguée de la première catégorie dont la caractéristique positive serait devenue infinie, et d'une branche d'une conjuguée de la deuxième catégorie dont la caractéristique négative serait devenue aussi infinie.
De même, deux branches opposées de la conjuguée [G = ao], qui ont pour asymptote commune
OU
peuvent être considérées chacune comme les positions limites de branches de conjuguées des deux catégories dont les caractéristiques de signes contraires seraient devenues infinies.
Ainsi la branche de la conjuguée G = oo qui est situ-ée dans le premier angle des axes est à la fois la limite des positions d'une branche d'une conjuguée de la première catégorie dont la caractéristique négative serait devenue infinie, et d'une branche d'une conjuguée de la deuxième catégorie dont la caractéristique positive serait devenue infinie ; et il en est de même de la branche de là même conjuguée qui est située dans le troisième angle des axes.
Ce que nous venons de dire de l'axe des x et de la conjuguée G = x pourrait au reste se répéter de l'axe des y et de la conjuguée G = 0.
Ces faits s'expliquent parce que les deux ^catégories de conjuguées np se distinguent l'une de l'autre qu'en ce que celles de la première catégorie touchent la courbe réelle en des points réels, tandis que celles de la seconde la touchent en des points imaginaires ; or les deux conjuguées G = 00 , G = 0 touchent la courbe réelle en des points réels qui se dédoubleront chacun en un point réel et un point imaginaire pour peu que change €, d'où il résulte que ces deux conjuguées peuvent être considérées comme appartenant à la fois aux deux catégories. Il en est de même des parties de l'axe des x et de l'axe des y qui sont représentées dans l'équation propol^e.
Il résulte de ce qu'on vient de voir que l'axe des a; et l'axe des y, ainsi que les conjuguées G = oo , G = 0, appartenant aux deux catégories de conjuguées, fourniront au point [x,y] un passage pour aller des conjuguées de l'une sur celles de l'autre.
C'est d'ailleurs le seul chemin qu'il pourra prendre pour effectuer ce passage, tant qu'on lui interdira les points y =0, x ^= ± a. Mais autrement, s'il se trouvait sur une conjuguée de la première catégorie, on pourrait l'amener au point otj cette conjuguée touche la courbe réelle, le faire passer sur la courbe réelle en l'un des points ?/ = 0, a; = ± a, oti son ordonnée, devenant nulle, pourrait prendre ensuite des valeurs imaginaires sans parties réelles, l'amener, en lui faisant parcourir la conjuguée G = oo , en l'un des points x =^0, y = ± a sj — l, où son abscisse, devenant nulle, pourrait prendre ensuite des valeurs imaginaires sans parties réelles, le faire passer par les points de contact successifs des conjuguées de la seconde catégorie avec la courbe réelle, et l'amener ainsi au point de contact avec cette même courbe de l'arc sur lequel on voudrait le transporter et enfin lui faire suivre une des branches de cet arc.
Avant d'aller plus loin, nous chercherons à fixer les conditions dans lesquelles le point [x, y], placé sur l'axe des x, représenté par l'une des équations
MARCHE D UiNE FONCTION. — APPLICATIONS. 31
dans lesquelles x recevrait seulement des valeurs réelles plus grandes que a, ou sur l'une des conjuguées G = oî , G = 0, passe sur les conjuguées de l'une ou de l'autre catégorie.
1" La partie de l'axe des x que représente l'équation
Va* — a*
figure à la fois, dans leurs positions limites, une branche d'une conjuguée de la première catégorie, dont la caractéristique négative serait devenue infinie, et une branche d'une conjuguée de seconde catégorie ayant sa caractéristique positive.
Par conséquent le point [x,y], en passant sur l'axe des x, représenté par l'équation
se transportera sur une conjuguée de la première ou de la seconde catégorie, suivant que sa caractéristique deviendra négative ou positive.
2° La même partie de l'axe des x, que représente aussi l'équation
y = -= yx* — a*
figure à la fois, dans leurs positions limites, une branche de première catégorie ayant sa caractéristique positive infinie, et une branche de seconde catégorie ayant sa caractéristique négative infinie.
Par conséquent le point [x, y], en passant sur l'axe des x, représenté par l'équation
se transportera sur une conjuguée de la première ou de la seconde catégorie, suivant que sa caractéristique deviendra positive ou négative.
3° Les branches de la conjuguée G = oo , qui occupent le premier et
le troisième angle des axes, figurent, dans leurs positions limites, une branche de première catégorie dont la caractéristique négative serait devenue infinie, et une branche de seconde catégorie dont la caractéristique serait infinie, positive.
Au contraire, les branches qui occupent le second et le quatrième angle, figurent, dans leurs positions limiles, des branches de première et de seconde catégorie, dont les caractéristiques positive et négative seraient devenues infinies.
Par conséquent le point [x, y], en passant sur la conjuguée G = oo , se transportera, si sa caractéristique devient négative, sur une conjuguée de la première catégorie, lorsqu'il se trouvera dans le premier ou le troisième angle des axes, et sur une conjuguée de la seconde catégorie, s'il est dans le deuxième ou le quatrième angle. Ce serait le contraire si sa caractéristique devenait positive.
Les passages du point [x, y] sur l'axe des y, ou sur la conjuguée G = 0, donneraient lieu à des conclusions analogues.
Il est maintenant facile de suivre la marche du point [x, y], correspondant à un chemin quelconque parcouru par x.
Prenons pour point de départ une valeur réelle de x, m, plus grande que a: les quatre valeurs correspondantes de y seront
(\^s/-i)sjm^-a\
u = — {~l — v/mî) {/m' — a\ V ='^ {l — V^) \lm' — a\
Supposons le point [x, y] parti de
il se trouvera alors en un point M de la branche de la conjuguée G = M qui occupe le premier angle des axes^, et si [â, qui est actuellement nul, prend une valeur positive infiniment petite, comme p', qui est fini et positif, ne pourra devenir brusquement négatif, G prendra des valeurs positives, le point [x, y] passera donc sur une conjuguée voisine de la conjuguée G = oo , appartenant à la deuxième catégorie, ayant sa caractéristique positive et tangente à la courbe réelle en un point P,
voisin du sommet x = 0,y=a \/ — \ , mais situé à droite de ce sommet.
Si X revenait à sa valeur initiale sans qu'aucune des circonstances ^=:Oavec a.«<a, « = 0, a=± p se lût présentée dans l'intervalle, y reviendrait aussi à sa valeur initiale : supposons donc que ces différentes circonstances se présentent, séparément d'abord.
Si, après avoir crû positivement, [i redevient nul, a étant alors moindre que a, le point [x, y] à ce moment se trouvera sur la conjuguée C = 00 , et si p et par suite G changent de signes, il passera sur une branche tangente à la courbe réelle en un point situé à gauche du
sommet a; = 0, y = a y — \ ; de sorte que si x revenait à sa première valeur sans qu'aucune des circonstances ^ = 0 avec a <C a, a = 0, a = dt ,ft se fût présentée de nouveau dans l'intervalle, y prendrait la
valeur t, ou -^ ( — \ -\- y — y) sj m* — a*, et le point [x, y] viendrait se placer sur l'axe des x représenté par l'équation
Pendant ce temps le point [x, y] qui serait parti de la position initiale [x,i(], se sera transporté sur une conjuguée de la deuxième catégorie ayant sa caractéristique négative, aura passé sur la conjuguée G = 00 en même temps que le point qui venait de [x, s], aura changé de branche en même temps que lui; et finalement sera arrivé en [x, v].
Le point parti de [x,t] se sera d'abord transporté sur une conjuguée de la première catégorie, ayant sa caractéristique positive, sur la courbe réelle au moment oii [i aura passé par zéro, a étant moindre que a ; et enfin sera venu en [x, u].
De même le point parti de \x, v] se sera d'abord transporté sur une conjuguée de la première catégorie ayant sa caractéristique négative, sur la courbe réelle au moment où [à aura passé par zéro, a étant moindre que a, il aura changé de branche sur une conjuguée toujours de la première catégorie, ayant toujours sa caractéristique négative, quand ^ aura changé de signe ; et enfin sera venu en [x,s\.
En résumé, pendant que x sera revenu à sa valeur initiale, chacun des points
[x, si, [x, t], [x, u], \x, v\
sera venu occuper la place du suivant, et le dernier celle du premier.
Si X repassait encore par une série pareille de valeurs, les mêmes faits se reproduiraient dans le même ordre ; de sorte qu'en faisant suivre h. x quatre fois le même parcours, on ramènerait chaque point à sa position initiale.
Supposons maintenant que a puisse passer par zéro et changer de signe : en même temps il deviendra plusieurs fois égal à dr [i, de sorte que nous aurons examiné tous les cas qui peuvent se présenter. Il" p. 3
Reprenons pour x la même valeur initiale a- = m > a, et supposons encore que ^ prenne d'abord le signe +, que nous lui conserverons d'ailleurs dans tout ce qui suivra, puisque nous avons examiné les cas où il passe par zéro et change de signe ; il est évident que nous aurions à répéter les mômes choses' dans un autre ordre, si nous supposions au contraire que ^ fût d'abord et restât négatif.
Les quatre valeurs initiales de y seront toujours
\ -f V — 4j V'm*— a\ t = ^-^{-\^^~i)sJm"-a\ M = ~ (— 1 — v^^) 'y m' — a\
Avant que a devienne nul, il faudra qu'il devienne égal à ^ ; à ce moment les quatre valeurs de y seront
dz Vu* + ^^* et ± v/— 4 V«* + 4^* :
comme a' ni [îi' n'auront pas encore jusque-là passé par zéro, celle de ces variables qui aura conservé une valeur finie, aura en même temps gardé son signe primitif; cette remarque permettra de décider en partie des valeurs qu'auront prises respectivement les quatre fonctions de x que représente y.
Ainsi s ne pourra être devenu que
t sera
-|- \/a* + 4^* ou + \/— 1 V a' + 4|3*, — y a' -f 4[i* ou 4- v/^ \ja' + 4fi*,
enfin v sera
— sja' + 4^* ou — V— 1 sla' + 4fi*
+ Va* + 4^* ou — \/— 1 v/a* + 41^*
Pour achever de résoudre la question, nous remarquerons que dans chacune des quatre valeurs de y, a- et p', égaux en valeur absolue au point de départ, n'auront pas repassé par l'égalité, puisque ni a ni fl ne
MARCHE d'une FONCTION. — APPLICATIONS. 3o
seront redevenus nuls ; de telle sorte que l'ordre établi au commencement n'aura pas pu s'intervertir ensuite.
Or p qui était d'abord nul, prenant d'abord un accroissement positif, le tableau des valeurs de di/ montre que : 1° dans la fonction de x qui part de la valeur s, et où a' = p', d^' est plus grand que da, de sorte que p' devient plus grand que a' ; 2° que dans celle qui part de la valeur t, et où a' = — ^', a! ayant d'ailleurs le signe — et par suite ^' le signe -{-, dot.' et d^' se composent de deux parties égales et de signes contraires qui, en venant s'ajouter à a et ^', ne troubleraient pas l'égalité a := — p', et de deux parties aussi égales, mais négatives toutes deux, parce que d^ est positif, et qui, venant s'ajouter à a' et ^\ font prendre la supériorité à a', de sorte que — a' devient plus grand que P'; 3° que dans la valeur de y qui part de la valeur m, où a et ^'sont égaux, doL est plus grand que d'^', de sorte que a' devient plus grand que ^'; 4° enfin que dans la valeur de y qui part de la valeur v, où a' = — ^', a' ayant d'ailleurs le signe -|-> c'est encore a qui prend l'avance sur
Il en résulte qu'au moment où a devient égal à fi, s devient
+ sJ-\ \/a* + 4|àS
t devient u devient
et u devient
— V a' + 4ri\
- V'- » V a" + Ap\
Supposons maintenant que a devienne nul, |i étant alors moindre que a, les quatre valeurs de y seront
± \a' — là* et ± V— 1 Va* — ?>\
et il s'agit d'attribuer ces valeurs aux quatre fondions de x qui sont parties des valeurs initiales s, t, u, v.
Or dans aucune de ces quatre fonctions a' n'a pu devenir égal à ^' en valeur absolue, sans quoi a ou Ji auraient passé par zéro, ni changer de signe, pour la môme raison ; cela exige évidemment qu'elles reprennent chacune pour a = 0 la même valeur que pour a = ^.
Enfin supposons que a devienne nul, p étant alors plus grand que a, les quatre valeurs de y seront
^(±1 ±\'^\) v;ii' — ^(\
Pour les répartir, nous remarquerons encore que depuis le moment où a est devenu égal à |â, «' ni p' n'ont pas pu repasser ni par zéro, ni par l'égalité de valeurs absolues, et comme nous savons d'ailleurs que quand l'ordre de grandeur de a et p change, la partie de y qui s'annule alors, change ensuite de signe, nous en conclurons que s est devenu
|VF^'(-i+^=Ti
que t est devenu
que u est devenu
sji
|vF^^(i-V=^)
enfin que v est devenu
On voit que les discussions de ce genre peuvent exiger quelquefois des développements fastidieux; mais les difficultés qu'elles présentent tiennent surtout à la complication de l'équation mise à l'étude. Or on ne pouvait évidemment pas demander que la discussion des lieux imaginaires, représentés par une équation, devînt plus simple que celle du lieu réel; il suffît qu'elle ne soit pas plus compliquée.
284. Les deux questions auxquelles donne lieu l'emploi de la série de Taylor ont pour objet, la première, do déterminer exactement la région de convergence de cette série ; la seconde, de définir de telle sorte la valeur de la fonction, supposée multiple, qui a été développée, qu'on puisse la reconnaître parmi les racines de Téquation qui lie cette fonction à sa variable, et par conséquent l'obtenir par la résolution môme de cette équation, au lieu de la calculer par la sommation des termes de la série.
Ainsi une fonction y étant définie par une équation algébrique entière f {x, y) = 0, qui donne tn valeurs de cette fonction pour chaque valeur delà variable, il s'agira : 1° de déterminer, pour chaque système de valeurs, x^^, y^, de x et de y, les Hmites dans lesquelles la série
restera convergente ; 2" d'assigner à la valeur de y, représentée par la suite
supposée convergente, des caractères qui puissent permettre de la distinguer au milieu des racines de l'équation /(Xj, y) = 0.
La solution de la première question permettra l'emploi rationnel de la série au calcul arithmétique de la valeur finale de la fonction ; celle de la seconde servira à fixer la portion d'un lieu à laquelle pourraient s'étendre les conclusions d'une démonstration théorique dans laquelle on aurait substitué la série, à la fonction définie implicitement par une équation qui lui attribuerait plusieurs valeurs.
Mais la méthode de solution appliquée à la première question fournira d'avance la réponse à la seconde, dont, par conséquent, nous n'aurons pas à nous occuper spécialement.
28S. L'équation
représente un lieu qui se confond dans une étendue plus ou moins grande avec le lieu dont les coordonnées sont x eiy.
Nous donnerons le nom de i^égion de convergence à la portion du plan que peut parcourir le point [x, y] assujetti à satisfaireà cette équation
tant que son second membre resterait fini.
286. La théorie élémentaire de la série de Taylor peut se réduire à ces quelques énoncés, assez évidents pour n'exiger aucune démonstration en règle.
Une série à termes imaginaires est la somme de la série des parties
réelles de ses termes et du produit par y — 1 de la série de leurs parties affectées du signe imaginaire.
Pour que la série proposée soit convergente, il faut que les deux séries qui la composent soient elles-mêmes convergentes.
Si le terme général de la série proposée est a„ -j- bn \ — l , il faut, pour que la série soit convergente, que a» et 6„ tendent séparément vers zéro, ce qui s'exprime par cette condition, en apparence simple,
mais double en réalité, que \/ {Unf -\- {bnf tende vers zéro.
Si — — et ,— ^ ont séparément des limites moindres que 4 en
On-l On-l
valeur absolue, la série est convergente ; si l'une seulement des limites des rapports précédents dépasse 1 en valeur absolue, la série est divergente. Si l'un des rapports précédents a pour limite 1, 'la convergence est douteuse.
Si une série est ordonnée suivant les puissances croissantes d'une variable x, le module du terme général dépend du module de x, et tend vers zéro ou vers l'infini, suivant que le module de icest inférieur ou supérieur au module de la valeur de x qui satisfait à l'équation
c^est-à-dire, si jx est la limite vers laquelle tend le module du rapport des coefficients de deux termes consécutifs de la série, suivant que le
module de x est inférieur ou supérieur à -.
Le cas où la convergence est douteuse étant écarté, on obtiendra, par rapport à x, l'intervalle dans lequel Hi série est convergente en résolvant l'équation
Les valeurs de x, dont le module serait moindre que celui qu'on aura trouvé comme solution, seront celles pour lesquelles la série sera convergente. Il en résulte que les points d'un lieu / {x, y) = 0, compris dans la région de convergence relative à un système [x^, yj de valeurs initiales de la variable et de la fonction, auront leurs abscisses telles que, retranchées de a^^, elles donnent des différences dont les modules ne dépassent pas une certaine limite.
En d'autres termes : le périmètre de la région de convergence sera composé de points du lieu ayant leurs abscisses telles que, retranchées de Xq. elles donnent des différences dont le module constant soit égala celte limite.
La question, en ce qui concerne le développement d'une fonction implicite, est de trouver dans la discussion de l'équation f{x^ y) = 0, qui définit cette fonction, les éléments de la détermination, par rapport à X, de la limite en question.
Si Xq et y^ sont les valeurs initiales de x et de y, et que y^, // ) ' (t^ ) '•■•' ^^^^^^ finies, y se confond, dans une étendue plus ou moins grande, avec
fdx\ X — X^
\dy)o 1
en ce sens
que
les deux lieux
et
(dx
ont en {x^ y^ un contact d'ordre infini, à l'intimité duquel aucune autre condition nouvelle ne saurait être ajoutée.
Si la valeur de y, que représentait la série lorsqu'elle était convergente, doit devenir infinie pour une certaine valeur x, de x, la série, pour continuer de représenter cette valeur de y, doit prendre des va-
iO CHAPITRE XXII.
leurs de plus en plus grandes lorsque x se rapproche de x^, devenir infinie pour x = x^, et être divergente pour toute valeur de x, telle que le module âe x — x^ surpasse celui de Xi — x^^.
Mais il n'est pas nécessaire que la fonction y, représentée par la série, doive devenir infinie, pour une valeur a^j de x, pour que la série devienne divergente dès que le module dex — x^ surpasserait celui de x^ — Xq.
En efFet une série ordonnée suivant les puissances croissantes de X — X(,, est convergente ou divergente en même temps que toutes ses dérivées et intégrales, puisque le rapport du module d'un terme au module du terme précédent ne change, dans la série dérivée ou dans la série intégrale, que dans le rapport des rangs de deux termes consécutifs, lequel tend vers 1 .
La série doit donc être divergente pour toute valeur de x telle que le module de ic — x^ surpasse celui de la difTérence entre x^, et une valeur Xj, telle que l'une des dérivées de la fonction devienne infinie (1).
Une valeur de la variable, qui rend infinie une des valeurs de la fonction qui en dépend, rend en même temps infinies toutes les dérivées de cette forme de la fonction ; mais les dérivées d'une fonction peuvent ne devenir infinies qu'à partir d'un ordre plus ou moins élevé.
Toutefois, comme la dérivée d'une fonction ne peut devenir infinie qu'autant que cette fonction prenne au moins deux valeurs égales, on
(1) Quand on passe de la série à sa dérivée, les termes en a;"'~* et a;*" sont changés en des termes en x'^~^ et x*""*, et le rapport des modules des termes comparés est
multiplié par ■ dont la limite est 1 ; de sorte que si, dans la série primitive, le
rapport des modules de deux termes consécutifs tend vers une limite plus grande ou plus petite que I, il en est de même dans la série dérivée, et que les deux séries sont en même temps convergentes ou divergentes.
Mais si le rapport des modules de deux termes consécutifs tend vers l dans la proposée, bien qu'il ait la même limite dans la dérivée, ce n'est pas une raison pour que les deux séries, qui sont alors dans le cas douteux, soient en môme temps convergentes ou divergentes. La série dérivée est, en effet, toujours plus près de diverger que la proposée, par ces deux motifs que le rapport des modules de termes consécutifs dé mêmes rangs y est plus grand, et que ces modules eux-mêmes sont plus grands.
On conçoit donc très-bien que la série dérivée, qui exprime le coefficient angulaire de la tangente à une courbe, puisse devenir divergente, tandis que la série primitive, qui n'exprime que l'ordonnée de cette courbe, serait restée convergente pour la même va- .leur de l'abscisse, tout en étant sur le point de devenir divergente.
obtiendra tous les points qui pourraient arrêter la convergence de la série en résolvant le système des deux équations
dy~
Pour reconnaître si une valeur de x, k laquelle correspondent p valeurs égales de y, doit être ou non considérée comme pouvant éventuellement former la limite de la région de convergence de la série, il faudra prendre les dérivées desjo valeurs de y. Si les dérivées de ces /) valeurs sont finies et inégales, la valeur de xnQ sera pas critique. Si
p— q valeurs de ^ se trouvent confondues, il faudra prendre les /? — q
d^ u d^ii
valeurs correspondantes de -j4 ; si ces p — q valeurs de -7^ sont toutes
finies et inégales, la valeur de x ne sera pas critique. Si ;:> — q — r va-
d'^y leurs de --^ restent confondues, il faudra prendre les /) — q — r va-
du (aV
leurs correspondantes de y^; si ces/) — q — r valeurs de -r-| sont
toutes finies et inégales, la valeur de x ne sera pas critique, et ainsi de
suite. Si /) — » — r ... — t valeurs de -y^ deviennent infinies, les forâmes ^ dx» '
correspondantes de y ne seront pas développables au delà de la valeur considérée de x; mais celles dont les dérivées se seront déjà séparées le resteront. Quant à celles dont les dérivées de l'ordre n ne seraient pas devenues infinies, mais ne se seraient pas encore séparées, il faudra les dériver de nouveau, jusqu'à ce que l'on tombe finalement sur des dérivées distinctes ou infinies.
287. Tel est le degré de simplicité auquel peut être ramenée la théorie de la série de Taylor, en tant du moins qu'on écarte provisoirement la question de la détermination du point d'arrêt;
On retomberait ainsi, si l'on pouvait faire abstraction des valeurs imaginaires de la variable, sur l'énoncé qui avait cours il y a cinquante ans et dont les travaux de Gauchy avaient eu surtout pour effet d'obscurcir l'évidence :
« La série de Taylor reste convergente tant que x— x^uq dépasse pas la différence entre x„ et l'abscisse d'un point où les dérivées de la fonction développée deviennent infinies à partir d'un certain ordre.»
La tentative de Cauchy n'a eu effectivement d'autre résultat que d'attirer l'attention sur les valeurs imaginaires de la variable, ce qui amenait naturellement à modifier l'énoncé en ces termes :
• La série de Taylor reste convergente tant que le module àex — x^ ne dépasse pas celui de la différence entre x^ et l'abscisse d'un point où les dérivées de la fonction développée deviennent infinies à partir d'un certain ordre (i).
288. La théorie précédente paraîtrait en défaut si l'on pouvait douter que les dérivées des mêmes ordres de l'ordonnée d'une courbe, par rapport à l'abscisse, se retrouvassent toujours infinies aux mêmespoints multiples, quels que fussent les axes auxquels on rapportât la courbe ; car la région de convergence ne pouvant varier brusquement lorsqu'on changerait infiniment peu la direction de l'axe des y, les mêmes points multiples devront toujours présenter le même obstacle au développement de la fonction. 11 importait donc de vérifier que la cause assignée à cet obstacle se représenterait toujours.
C'est ce que nous avons fait dans la note de la page 203 du premier
(I) J'ai omis à dessein, dans ce qui précède, de tenir compte d'une objection proposée
par Cauchy, et fondée sur ce que e ~ ^^ et toutes ses dérivées se trouvant nulles pour x= 0, le développement d'une fonction quelconque f (x), par la formule de Mac- LaurJn, se confondrait identiquement avec celui de la même fonction f{x), augmentée
de e x'^ , de sorte que le développement de /" (x) + e ~ x^ serait inexact.
Cette objection n'infirme en rien le fait de l'identité normale d'une fonction, assujettie à la condition de continuité, et de son développement par la série de Taylor, supposée convergente.
Elle prouve seulement qu'outre la précaution, qu'on doit toujours prendre, de ne pas clioisir pour la fonction une valeur initiale dont les dérivées soient infinies à partir d'un certain ordre, il faut encore éviter celles dont une partie, quoique différant de zéro pour toute autre valeur de la variable, aurait toutes ses dérivées nulles, pour celle qu'on aurait voulu prendre pour valeur initiale.
En effet, les dérivées d'une fonction ne peuvent pas rester nulles, pour toutes les valeurs de sa variable, puisqu'il suffirait d'avoir constaté la nullité constante de la première dérivée pour pouvoir affirmer la constance de la prétendue fonction.
De sorte qu'une fonction qui tomberait sous le coup de l'objection, pour quelques valeurs particulières de la variable, y échapperait pour toutes les autres.
Or le théorème de Taylor ne consiste que dans l'identité normale, et dans de certaines limites, entre la fonction développée, assujettie à la condition de continuité et son développement supposé convergent.
il convient, au reste, de remarquer que toutes les fonctions imaginables tendraient à présenter la même exception que e ^' si, pour les développer par la formule de Mac- Laurin, on allait choisir une valeur initiale indéfiniment grande de la variable, car les branches infinies de toutes les courbes tendent à devenir droites, de sorte que toutes les dérivées de y par rapport à a;, à partir de la seconde, tendent à devenir nulles à mesure qu'on s'éloigne davantage sur ces branches.
volume de cet ouvrage, en prenant pour exemple la dérivée seconde. Des démonstrations analogues s'appliqueraient aux autres cas qu'on voudrait examiner.
289. En résumé, contrairement à l'opinion professée jusqu'ici, un point multiple d'un lieu f {x, y) = 0 ne peut arrêter le développement de la fonction y qu'autant que les dérivées de cette fonction, sous quelques-unes de ses formes, y deviennent infinies à partir d'un certain ordre.
Hormis ce cas, la série traversera sans embarras le point multiple, et toutes les dérivées de la fonction, après le passage, recevront de la série des valeurs infiniment peu différentes de celles qu'elles avaient auparavant. Elles n'auront subi aucune variation brusque.
Les valeurs critiques de la variable sont donc exclusivement celles auxquelles correspondent des valeurs de la fonction dont les dérivées soient infinies à partir d'un certain ordre (l'ordre zéro correspondant à la fonction elle-même).
Les points qui ont pour abscisses ces valeurs critiques de x et pour ordonnées celles des valeurs correspondantes de y dont les dérivées sont infinies à partir d'un certain ordre sont les points critiques du lieu. Les uns dépendent du choix des axes, ce sont les points de contact des tangentes à la courbe parallèles à l'axe actuel des y ; et les autres en sont indépendants, ce sont quelques-uns des points multiples de la courbe.
Quant à la question de la convergence de la série, elle se réduit à la détermination de celui des points critiques où sera limitée la région de convergence, c'est-à-dire qui se trouvera sur le périmètre môme de cette région.
290. Comme on a longtemps admis que la série deviendrait divergente dès que le module de {x — x^ surpasserait le plus petit des modules des difféi'ences entre x^ et les diverses valeurs critiques de x^ il ne sera pas inutile d'établir directement la fausseté de cette hypothèse.
L'énoncé de la proposition ne faisant pas acception de la valeur initiale de y, choisie parmi celles qui correspondent à ar^, l'hypothèse aurait pour conséquence immédiate que si y y, y^,..., ym désignent les valeurs diflerentes que prend la fonction pour une môme valeur ar^ de x, n'offrant aucun caractère exceptionnel, les séries
dy\ x — x^ f(hj\ {x — x^)
fdy\ x — x, fd\>/\ {x — x,Y . 1 ('^y\ ^—fo , fd'yx {x — x,f ,
seraient en même temps toutes convergentes ou divergentes, bien que leurs coefficients diffèrent totalement.
Cette conclusion déjà répugne évidemment.
Mais pour rendre le fait complètement évident, supposons que x^ soit une des valeurs de x auxquelles correspondent quelques valeurs
— I I soit infini,
etc., mais que^i, ij-) , (t4) ' (ti)' ^''^•' soient tous finis : la série
(dY\ {x-x,f ~^\dxy, 1.2 "^ •■
restera évidemment convergente dans de certaines limites par rapport à X, tandis que quelques-unes des autres seront divergentes pour toutes les valeurs de x.
Or si l'on déplace un peu le point de départ, c'est-à-dire si l'on fait un peu varier x^, la série dont la région de convergence était finie, restera convergente dans des limites finies encore, et qui même auront infiniment peu varié, tandis que celles qui n'étaient convergentes pour aucune valeur de x n'auront qu'une région de convergence infiniment peu étendue. Ces séries ne seront donc pas toutes convergentes dans les mêmes limites.
291. Ainsi se trouve posée la première des deux questions dont nous avons à nous occuper.
Toutes les valeurs de x pour lesquelles la série reste convergente sont celles qui satisfont à la condition que le module de la différence x — x^, reste inférieur au module de la différence entre x^ et l'abscisse de l'un des points où les dérivées de la fonction deviennent infinies à partir d'un certain ordre ; mais il reste à déterminer celui de ces points qui, pour chaque système de valeurs de x^ et de 3/9, limite effectivement le développement.
La réponse à faire à cette question, pour suffire aux besoins de la pratique, devrait, s'il était possible, être formulée analytiquement ; mais il paraît peu probable qu'on parvienne à la réduire à de tels termes.
En effet : soient Xq, y^ les valeurs initiales de la variable et de la fonction et X, Y leurs valeurs particulières au point critique cherché : X dépendra à la fois de x,, et de 3/0, mais il dépendra surtout dé la nature de la relation qui lie x ei y, car si deux courbes se coupent en un point [Xf^, y^, et que leurs points critiques aient d'ailleurs mêmes abscisses, il n'y aura cependant pas de raisons pour que les développements des ordonnées de ces deux lieux à partir de a? = ^^ et 3/ =,yo cessent d'être convergents pour les mêmes valeurs de x.
Les conditions à remplir par X et Y ne pouvant donc être que des conditions d'inégalités, la méthode pour en obtenir les valeurs ne pourra évidemment consister qu'en des précautions à prendre pour ne pas les dépasser.
292. Pour qu'un point critique [x„,i/n] soit le point d'arrêt du développement de la fonction y, à partir de sa valeur y^, correspondant à la valeur initiale x^ de x, il faut que y, partant de î/q et restant assujetti à la continuité, puisse atteindre la valeur y« sans que le module de (^x — Xq) ait dépassé celui de (Xn — x^) et de plus que y n'ait pas pu atteindre auparavant l'ordonnée d'un autre point critique [xp,yp], tel que le module de {xp — x^) soit inférieur à celui de (Xn — x^).
La méthode consistera donc à chercher, relativement à chaque exemple, celui des points critiques avec lequel pourra venir coïncider le point [x, y], parti de x^,, y^, sans que le module de {x — x^ ait dépassé le module de la différence entre a^o et l'abscisse de ce point critique, et à s'assurer d'autre part que le point [x, y] n'aurait pas pu se rendre auparavant à un autre point critique plus voisin, c'est-à-dire tel que le module de la différence entre x^ et son abscisse fût moindre que celui de la différence entre x^ et l'abscisse du point éprouvé.
La solution que nous avons donnée dans les deux chapitres précédents de la question de la marche continue d'une fonction connaissant la loi de progression de sa variable, nous permettra naturellement de traiter les questions exactement semblables dont dépend la détermination de la limite de la région de convergence de la série de Taylor.
Nous commencerons par traiter quelques exemples qui achèveront de dissiper ce qu'il peut rester d'obscur dans les explications qui précèdent. L'étude de ces exemples conduira d'elle-même à la solution générale de la question, de sorte qu'il ne restera presque qu'à formuler cette solution.
EXEMPLES DE DÉTERMINATION DE LA LIMITE DE LA RÉGION DE CONVERGENCE DE LA SÉRIE DE TAYLOR.
