Soit d'abord l'équation

A'y = ao -f- ^0 V — 1 désignant l'abscisse du point de départ , et x^ = a^ -\- ^^ sj — 1 Celle d'un point de la région de convergence, a, et [i, devront satisfaire à la condition

ou

pour que le point mobile puisse passer sur la conjuguée C = » , il faudra donc que l'on puisse trouver des valeurs négatives de a, telles que a^ — 2aao soit négatif, c'est-à-dire qu'il faudra que «g soit lui-même négatif.

Supposons d'abord «o positif: le point mobile n'ayant pu passer sur la conjuguée C = oo , la caractéristique du point final aura le signe de celle du point initial ; et comme les caractéristiques de deux points ayant même abscisse sont toujours de signes contraires, il n'y aura aucun doute sur la valeur de t/, qui se sera développée suivant la série.

Supposons maintenant «o négatif : le point mobile ne pourra pas dans ce cas passer sur la courbe réelle, car il n'existera pas de valeurs positives de a satisfaisant à l'inégalité a^ — 2aoa < 0; [i' ne pourra donc pas changer de signe ; et si |i en a changé, dans le passage de Xq à x^, le point [x, y] aura certainement traversé la conjuguée C = x) , tandis que dans le cas contraire il ne l'aura pas traversée, ou l'aura traversée un nombre pair de fois, ce qui revient au même.

La caractéristique du point final aura donc, ou non, le signe de la caractéristique du point initial, suivant que {^q et [3, seront de même signe ou de signes contraires.

On construirait aisément, si on le voulait, le périmètre de la région de convergence : cette courbe passerait, dans tous les cas, par le point

critique, et y toucherait la courbe réelle et la conjuguée G = oo ; elle n'aurait d'ailleurs que ce point commun, soit avec la courbe réelle, soit avec la conjuguée G := oo , suivant que a^ serait négatif ou positif. Dans le premier cas, les deux points d'une même conjuguée, situés sur la limite de la région de convergence, appartiendraient toujours à des branches inférieures ou supérieures, suivant que le point de départ [Xq, yj serait lui-même sur une branche inférieure ou sur une branche supérieure ; dans le second, les points de la limite, pour lesquels ^ serait de même signe que Po, appartiendraient à des branches de même nature que celle où se trouvait le point de départ ; et les autres à des branches de nature contraire. Dans ce dernier cas, la région de convergence serait repliée sur elle-même.