Soit maintenant l'équation

ay + b^x^ = d'b' :

ce sera le sommet de droite A, ou le sommet de gauche A', qui limitera la région de convergence, suivant que

c'est-à-dire suivant que Vq sera positif ou négatif.

Il est facile d'interpréter ce résultat :

La partie réelle de l'abscisse d'un point du lieu ne passe par zéro que lorsque le point lui-même passe sur la conjuguée G =0, c'est-à-dire sur l'hyperbole qui touche l'ellipse en ses sommets B et B' placés sur l'axe des y. Du reste, il est évident que la partie imaginaire de x est positive ou négative suivant que le point appartient à une branche d'hyperbole tangente à l'ellipse en un point de l'arc BAB' ou en un point de l'arc BA'B'.

On voit donc que celui des deux points critiques qui limite la région de convergence est toujours le sommet de l'ellipse le plus proche du point où la branche de conjuguée qui contient le point de départ , touche cette ellipse.

Supposons a^ positif: le point [x, y] pourra ou non passer sur la conjuguée C =00 , sans sortir de la région de convergence, suivant qu'on pourra ou non satisfaire à la condition

par des valeurs positives de a plus grandes que a.

Celte condition se réduit à a,, >> a; si donc a^ est moindre que a, le point [x, y] ne pouvant, sans sortir de la région de convergence, passer sur la conjuguée C = oo , la caractéristique du point final aura le signe de la caractéristique du point initial ou un signe contraire, suivant que, dans l'intervalle, le point mobile n'aura pas ou aura traversé la conjuguée C = 0, c'est-à-dire suivant que a, et a^ seront de même signe ou

de signes contraires. Comme du reste les caractéristiques de deux points ayant même abscisse sont toujours de signes contraires, il ne restera aucun doute sur celle des valeurs de y qui se sera développée par la série de Taylor.

Si la valeur finale de x était réelle et moindre que a, les valeurs finales de y seraient aussi réelles, mais le point d'arrivée serait évidemment sur la branche d'ellipse qui contiendrait le point de contact de la branche d'hyperbole oîi se trouvait le point de départ.

Supposons maintenant a,, > «; pour que le point mobile [x, y] pût passer sur la courbe réelle, il faudrait qu'on pût satisfaire à la condition

au moyen de valeurs de a comprises entre — a et -|- a; or cette condition se réduit à

elle ne peut donc être satisfaite : ainsi la limite de la région de convergence touchera seulement la courbe réelle au sommet A.

Dans ce cas de a^ < a, la caractéristique pourra changer de signe en passant par oc ou par 0, car le point [x, ?/] pourra traverser la conjuguée G = 0 s'il existe pour ^ des valeurs satisfaisant à la condition

ou

Il n'y a à cette condition aucun empêchement général ; par conséquent, suivant que cl.^^^ et a^^^ seront de même signe ou de signes contraires, les caractéristiques des deux points extrêmes seront aussi de même signe ou de signes contraires.

Si9S. J'ai voulu, dans ce qui précède, pour plus de précision, déterminer le signe de la caractéristique du point d'arrivée; mais il est évident que la question ne l'exigeait pas, car deux points qui ont même abscisse, étant toujours séparés par la conjuguée G = oo, il suffisait, pour choisir la valeur finale de y, de savoir si le point mobile, pendant son mouvement, avait ou non traversé cette conjuguée.

J'abrégerai dans les exemples suivants.

L'équation

aY--\-b-x'=- — a^t^'

se discutera comme la précédente ; cependant elle offrira quelques particularités nouvelles, parce que l'enveloppe des conjuguées ne sera plus réelle.

La région de convergence sera limitée au sommet de droite A, ou au sommet de gauche A' de l'enveloppe, selon que

ou que Po sera positif ou négatif.

Or la partie imaginaire de l'abscisse d'un point du lieu ne passe par zéro que lorsque le point lui-même passe sur la conjuguée G = oo qui louche l'enveloppe en ses sommets placés sur l'axe des y : on conclut de là, comme dans le cas précédent, que celui des points critiques qui limite la région de convergence est toujours le sommet de l'enveloppe le plus proche du point où la branche qui contient le point de départ, touche cette enveloppe.

Supposons Po positif: le point [x, y] pourra ou non passer sur la conjuguée G = 0, suivant qu'on pourra ou non trouver pour ^ des valeurs positives et plus grandes que a, qui satisfassent à la condition

< + if'- hï- <<+(%- ay.

Gette condition se réduit à

le point mobile pourra donc ou non passer sur la conjuguée G = 0, suivant que [i,, sera plus grand ou plus petit que a.

Au reste, on verrait, comme précédemment, que lorsque le point [x, y] peut passer sur la conjuguée G = 0, il ne peut parvenir à l'enveloppe et réciproquement, puisque la condition est la même dans les deux -cas,

(^-«)(^ + «-2fi,)<0,

mais avec les hypothèses contraires ^ «< a et p >> a. D'un autre côté, le point [x, y] pourra ou non passer sur la conjuguée G = oo , suivant qu'on pourra ou non trouver pour a des valeurs satisfaisant à la condition

(a-.«„)^+K<«^+(^-«)S OU

a^— 2a«o<a2 — 2a[io. '

Gela posé : si p,, est plus grand que a, le point [x, y] pourra passer sur la conjuguée G = 0, et il y aura ou non passé, suivant que a, et «^ seront de signes contraires ou de même signe; de même, il aura ou non traversé la conjuguée G = go , suivant que ^^ 6t Pj seront de signes contraires ou de même signe; la caractéristique du point final sera donc de môme signe que celle du point initial, ou aura un signe contraire, suivant que a^ a^ ^^ [â^ sera positif ou négatif.

Si, au contraire, p^ est moindre que a, suivant que ^^ et % seront de signes contraires ou de même signe, le point [x, y] aura ou non traversé la conjuguée G = oo , de sorte que les caractcristiques du point initial et du point final seront alors de signes contraires ou de même signe; tandis que, suivant que aj et «^ seront de signes contraires ou de même 11* P. 4

signe, le point mobile ayant ou non passé sur l'enveloppe, le point fin:il et le point initial seront, sur leurs conjuguées respectives, de côtés opposés ou du même côté par rapport aux points où ces conjuguées touchent l'enveloppe, sans qu'il en puisse d'ailleurs résulter de changement

de signe dans la caractéristique : ce serait la partie imaginaire de -j-

qui changerait de signe avec a, de sorte qu'on eût pu proposer de reconnaître, parmi les deux valeurs finales de y, celle qui se serait développée par la série de Taylor, au signe de la partie imaginaire de la

valeur qu'elle devait faire prendre à — •

ax