f- ^ = P (cos ? + V^ — 1 sin ç), d'où

y = L. p + cp \/—l :

il est clair que, pour que cette formule reste constamment d'accord avec la série, il faudra que f lui-même reste compris entre

m.+ l)^ et (2A-«-l)7r,

puisque sans cela, f, variant d'une manière continue de sa valeur initiale 2^o7r à sa valeur finale , aurait pris momentanément l'une des valeur

qui eût amené le point [x, y] sur l'une des branches

que la région de convergence ne peut pas atteindre.

Le même procédé de démonstration s'étendrait sans peine aux fonctions

= / dx

\l{i—x^)[i — e^x^) et en général à toutes les intégrales périodiques.

500. Dans les exemples précédents, la région de convergence de la série était toujours limitée à celui des points critiques dont l'abscisse retranchée de celle du point de départ, fournissait la différence de plus petit module : il n'en sera plus de même dans les exemples qui vont suivre et qui par suite présenteront un intérêt nouveau.

Soit d'abord l'équation

rf' — c?y -{- a^x = 0,

que nous avons déjà étudiée dans le chapitre XXI. .Les points critiques sont i^fig. 12 bis) :

et L' <

Ts''

les carrés des modules des différences des abscisses des deux points

Fig. 12

critiques, retranchées successivement de celle d'un point quelconque du lieu, X = a-j- {i\/ — i,y =za.' -\-^' \l .— \ , sont