L-^\+r et L+^y + r

\ ■ml \ 3v3/

dont l'égalité n'exige que l'annulation de a.

Il semblerait donc que la région de convergence de la série dût passer à la fois aux deux points critiques dès que l'abscisse du point de départ

serait dépourvue de partie réelle; et que, par les mêmes motifs, la région de convergence fût limitée au point L si a,, était positif et au point L' dans le cas contraire.

Mais ces conclusions sont le plus souvent démenties par les faits, car, pour aller du point de départ à celui des deux points critiques le plus proche, c'est-à-dire dont l'abscisse retranchée de celle du point de départ donne la différence de moindre module, il faut quelquefois ou passer d'abord par l'autre point critique, ou aller prendre passage, plus loin encore, sur la branche de conjuguée qui contient cet autre point critique.

C'est qu'en effet la formule que l'on possède de la condition de convergence, ne contenant que les parties réelles et imaginaires de la variable indépendante, à ses deux limites, tandis qu'elle devrait au moins contenir les parties qui composent la valeur initiale de la fonction, il serait imprudent de s'abandonner complètement aux indications qu'elle peut fournir; il faut l'appliquer seulement de proche en proche, avec précaution, et encore doit-on rejeter les conclusions où elle mènerait lorsque ces conclusions sont en contradiction évidente avec les faits.

Dans l'exemple qui nous occupe, a peut s'annuler dans des circonstances toutes différentes et où les conclusions à tirer ne sont en rien semblables.

tL s'annule d'abord lorsque le point [x, y] passe sur l'enveloppe ipaaginaire : dans ce cas on conçoit aisément que la région de convergence s'étende également jusqu'aux deux points critiques; car, en vertu de rinégalilé

elle comprendra nécessairement l'origine: or si le point [x, y] peut se rendre du point de départ [|io, P'o] à l'origine, il aura ensuite le même chemin à faire pour aller soit à l'un, soit à l'autre des deux points critiques.

Mais chacune des conjuguées dont la caractéristique surpasse — -

contient aussi deux points dont les abscisses manquent de partie réelle. Ces conjuguées touchent la courbe réelle sur les arcs AM et A'N; or il sera facile d'établir, ce qui d'ailleurs est pour ainsi dire évident, que si le point de départ appartient, par exemple, à une branche tangente à la rourbe réelle en un point de l'arc AM, soit que la partie réelle de l'abscisse de ce point de départ soit d'ailleurs positive, nulle, ou négative, ce sera toujours le point L qui limitera la région de convergence, tandis que le point L' en sera séparé par un intervalle plus ou moins considérable.

Nous remarquerons encore, avant d'entrer dans les détails, que si le point de départ appartient à une conjuguée tangente à l'enveloppe imaginaire, la partie imaginaire de son abscisse sera positive ou négative

56 CHAPITRE XXHl.

selon que le point de contact, avec l'enveloppe, de la demi-conjuguée où se trouvera ce point de départ, appartiendra à la branche ON' ou à la branche OM' ; et que si ce contact a lieu, par exemple, sur ON', la partie réelle de l'abscisse du point de départ sera positive ou négative, selon que la branche qui contiendra le point de départ s'éloignera du point de contact vers la droite ou vers la gauche.

Cela posé, prenons d'abord pour point de départ un point d'une demiconjuguée tangente à la courbe réelle en un point de l'arc LM: pour parvenir au point L', il faudrait que le point [x, y] passât d'abord sur la demi-conjuguée qui touche la courbe réelle en L: mais si l'on compare les carrés des modules des différences des abscisses du point L et d'un point de la conjuguée qui y passe, retranchées successivement de l'abscisse du point de départ, on voit que de ces deux carrés

<2a le premier est inférieur au second, dès que a^ n'atteint pas — — puis-

3V3 que h est supposé positif.

Ainsi^ il ne serait pas même nécessaire que a^ fût négatif; il suffirait

2a qu'il fût moindre que — p pour que le point [x, ?/], bien loin de pouvoir

atteindre au point L', ne pût môme pas passer sur la conjuguée qui touche la courbe réelle au point critique L.

Tant donc que la demi-conjuguée passant par le point de départ touchera la courbe réelle en un point de l'arc LM, la région de convergence

2 a sera limitée au point L : si a^, est moindre que — -=, le point [x, y] ne

pourra pas passer sur la conjuguée qui touche la courbe réelle en L,

2a tandis que si «„ surpasse — j=, le point [x, y] au contraire ne pourra pas

3\/3 passer sur la courbe réelle.

Dans le premier cas, le point d'arrivée appartiendra encore à une demi-conjuguée tangente à-la courbe réelle en un point de l'arc LM; et les deux points de départ et d'arrivée seront, sur leurs conjuguées respectives, placés, par rapport aux .points de contact de ces conjuguées avec la courbe réelle, du même côté, ou de côtés opposés, suivant que ^1,^0 sera positif ou négatif, parce que si ^ a passé par zéro dans l'intervalle, à ce moment le point [x, y] aura changé de branche sur la conjuguée qui le contenait.

2a Dans le second cas, oii a„ surpasserait — p, le point [x, y] ne pourra

SERIE DE TAYLOR. APPLICATIONS. fW

pas atteindre la courbe réelle, mais il pourra traverser la demi-conjuguée qui passe au point L, sur sa branche supérieure ou sa branche inférieure, suivant que f>Q sera positif ou négatif; et il l'aura traversée en effet si ^^Pç, est négatif, tandis que si au contraire p^^o est positif, le point de contact, avec la courbe réelle de la branche de conjuguée à laquelle appartiendra le point d'arrivée, sera resté sur l'arc ML.

Lorsque le point [x, y] aura traversé la conjuguée C = oo , le point de contact avec la courbe réelle de la branche de conjuguée h laquelle appartiendra le point d'arrivée, sera sur l'arc LO, ou bien cette branche de conjuguée ne touchera plus la courbe réelle.

Dans cette dernière hypothèse, le point [x, y] aurait traversé la conjuguée G = d, en un point de la branche TGV, sur l'arc OT, si (iç, était positif, et sur OV dans le cas contraire.

La conjuguée G = 1 est fournie par les équations

a" — 3a>^ — aV -f a«« = 0 et 3a'^ = fi^ • d'où l'on tire

\da' V3 V3/

le signe -\- convenant à l'arc ROT et le signe — à SOV, car sur OT, a et fi sont positifs, sur OV, a est positif et ^ négatif, sur OS, a est négatif et [i positif, enfin sur OR, a et [â sont négatifs.

Comme aucune des conjuguées circonscrites à l'enveloppe imaginaire, excepté la conjuguée G = 1, ne coupe l'axe des ^, car les équations

a'=» — 3a'^« C* — a*a' -f a'a = 0, 3a'2 pc — [â'G' — a^pC-i- a^^ = 0, «' -f ^G = 0, donnent

il en résulte que les deux arcs OS et OT sont les limites respectives des branches de gauche et de droite d'une conjuguée tangente à l'enveloppe imaginaire en un point situé sur ON', à une distance infiniment petite du point 0 ; et que de même OV et OR sont les Umites des branches de droite et de gauche d'une conjuguée tangente à l'enveloppe imaginaire en un point situé sur OM' à une distance infiniment petite du point 0.

On conclut de là et de ce que, dans l'hypothèse où nous raisonnons, 2a «0 > .-T— r, le point [x, y] ne pouvant passer sur la courbe réelle, ne

^/3 peut non plus changer de branche sur la conjuguée où il se trouve : que si le point de départ appartient à une branche supérieure, le point

mobile ne pourra traverser la conjuguée G = 1 qu'en un point de OT, ce qui sera arrivé lorsqu'on aura

\ ' 3a^v'3 \/3/ V' 3aV3 s/s)

auquel cas le point d'arrivée appartiendra à une conjuguée tangente à l'enveloppe imaginaire en un point de ON'; et qu'au contraire, si le point de départ appartient à une branche inférieure, le point \x, y] ne pourra traverser la conjuguée G = 1 qu'en un point de OV, ce qui sera arrivé lorsqu'on aura

auquel cas le point d'arrivée appartiendra à une branche de conjuguée tangente à l'enveloppe imaginaire en un point de OM'. Au reste la condition de convergence

(« - «0? + (fi - f^of < ('«o - ^y + f^^

se réduisant à

pour un point de l'enveloppe imaginaire, cette inégalité ne pourra pas être satisfaite dans le cas où nous sommes, puisque, a^ étant plus grand

que — -, a^ sera déjà plus grand que ( «„ -\ et que d'un autre

côté le point [x, y] ayant traversé la conjuguée G = oc , ^ et ^^ seraient de signes contraires, ce qui rendrait ([i — ^^^ plus grand aussi que ^o-

Ainsi tant que le point de départ appartiendra à une branche de conjuguée tangente à la courbe réelle en un point de ML, le point [x, y] ne pourra pas atteindre l'enveloppe imaginaire des conjuguées.

Supposons maintenant' que le point de départ appartienne à une branche de conjuguée tangente à la courbe réelle en un point de l'arc LO.

La condition de convergence

se réduisant à

lorsqu'on y fait ^ = 0, on voit que le point [x, y] pourra passer sur la

conjuguée G = oo , qui a son contact en L, sans pouvoir atteindre la

courbe réelle, ou inversement, suivant que a^ sera plus grand ou plus

2a petit que — —.

2a Dans le cas où «„ serait plus grand que — -, le point [x, y] aurait re-

traversé la conjuguée G = oc si Pjfi„ avait le signe — ; mais ce cas

n'offre plus aucun intérêt.

2a Que % soit plus grand ou plus petit que — — , le point [x, y] pourra

occasionnellement traverser la conjuguée G = 1, et il l'aura traversée en effet si

p-(5f+i)'][-'-(55\in

est négatif.

Il pourra môme atteindre l'enveloppe imaginaire des conjuguées si la distance

«0 - ^ + [il 3v3/

est assez considérable.

Car [â et ^^ devant être maintenant de même signe, l'inégalité

(2// \ ^ ou

3 v/3 27 ne présenterait d'impossibilité qu'autant que

serait négatif; c'est-à-dire que

de sorte que

serait l'équation du lieu qui séparerait les points pour lesquels la région

de convergence n'atteindrait pas l'enveloppe imaginaire, de ceux au

contraire d'oti la série pourrait rayonner au delà de cette enveloppe.

Au reste l'enveloppe imaginaire des conjuguées étant caractérisée par

la condition a =: 0, le signe de a^a^ indiquera toujours si le point [x, y]

a ou non passé sur cette enveloppe.

2a Supposons donc a,, < — p, pour que le point [x, y] puisse passer sur

la courbe réelle.

Ce cas se subdivisera en deux autres suivant que a,, sera plus grand ou

plus petit que — p. Dans la première hypothèse, en effet, le chemin

3 V3 du point [x, y] ne pourra rencontrer la courbe réelle qu'en un point de l'arc OL, tandis que dans le cas contraire il pourrait la rencontrer sur l'arc OL'.

En effet, la condition de convergence, pour un point de la courbe réelle, se réduisant à

\ 3 \J'Sj \ 3v'3 /

elle ne pourra être satisfaite par une valeur négative de a qu'autant que

a,, sera moindre que — -.

Supposons d'abord «„ >» — p. Dans ce cas, si le point [x, y] passe sur 3v/3 la courbe réelle, ce qu'on reconnaîtra au caractère ^^ ^i <C 0, il reviendra sur des conjuguées tangentes à la branche OL, si

L " \3a^\/ï v/3/ J L * \Sa\l3 sjs) J

dans le cas contraire, il aura traversé la conjuguée G = 1 et se sera transporté sur une conjuguée tangente à l'enveloppe imaginaire.

a Si au contraire a^est moindre que — -, le point [x, y], avant d'ar-

3\/3 river à la branche OL', aura dû passer sur l'enveloppe imaginaire des conjuguées, pour que a ait pu changer de signe. De sorte que si ot^ao avait le signe -\-, le point [x, y] n'aurait pas passé sur la branche OL'.

On pourrait maintenant placer le point de départ sur une conjuguée tangente à l'enveloppe imaginaire en un point de l'arc ON'.

Mais il serait inutile de reprendre en détail l'analyse des faits dans cette hypothèse : nous venons de passer des conjuguées d'une catégorie à celles de l'autre, on efTectuerait aussi aisément le passage inverse.