Nous étudierons en dernier lieu l'équation

y^ — ^axy -\- x^ = 0,

dont l'exemple, par les difficultés qu'il semblerait devoir présenter, fournira un contrôle suffisant de la méthode.

L'origine est un point double où les deux tangentes sont distinctes ; mais comme l'une d'elles se confond avec l'axe des y, ce point pourra dans certains cas borner la région de convergence.

La dérivée de y, par rapport à x, redevient infinie aux points

Fig. 13.

ces trois points A, D, D' {fig. 13) sont encore des points critiques.

Toutes les conjuguées touchent la courbe réelle; leur enveloppe imaginaire ne jouera dans la discussion qu'un rôle très-secondaire.

La courbe a pour asymptotes les droites

La caractéristique commune des points critiques imaginaires est

- , la droite qui les joint est représentée par l'équation V2

y = — -rz X — a v2.

Ces points sont figurés en D et D'.

Supposons d'abord le point de départ situé sur une branche de conjuguée tangente à l'arc OT de la courbe réelle ; là région de convergence sera alors limitée au point 0 : en effet, si a^ est positif, le point [x, y] ne pourra même pas atteindre la portion de la conjuguée G = oo qui touche la courbe réelle à l'origine, car l'inégalité

ne pouvant être satisfaite par aucune valeur négative de a, si le point [x, y] pouvait se rendre sur la portion de la conjuguée G = oo , dont nous parlons, il pourrait à plus forte raison passer à l'origine en suivant un chemin tangent à l'axe des y, ce qui n'est possible en aucun cas.

D'un autre côté, si «^ est négatif, l'inégalité

suffit pour montrer que le point A sera certainement en dehors de la région de convergence, que par conséquent le point [x, y] ne pourra atteindre la portion de la conjuguée G = oo qui touche la courbe réelle en A, et que, à plus forte raison, il restera bien éloigné de la branche

de la conjuguée G = — -rr qui contient les points critiques imagi-

V2 naires et qui touche la courbe réelle en un point de OT'.

Gela posé, si ao est positif, le point [x, y] pourra passer sur la courbe réelle et il y aura passé en eflet, si ^^^^ est négatif; mais la caractéristique du point final sera restée en tout cas négative et moindre que — 1 .

Au contraire, si a,, est négatif, le point [x, y] pourra passer sur la portion de la conjuguée G = oo qui touche la courbe réelle a l'origine ; il y aura passé en effet si ^^1^^ est négatif ; et dans ce cas la caractéristique du point d'arrivée sera devenue positive; tandis que, si Pi^o est positif, cette caractéristique sera restée négative €t moindre que — 1 .

Plaçons maintenant le point de départ sur une branche de conjuguée tangente à la courbe réelle en un point de l'arc OBSA.

La région de convergence restera limitée à l'origine tant que a^ -f ?>o sera moindre que («q — a y^)^ -j- ^l, c'est-à-dire tant que a^ ne sur-

a passera oas --=, ce qui ne saurait évidemment arriver sur une conju-

guée très-voisine de celle qui passe par l'origine avec une caractéristique infinie.

Ainsi le point de départ marchant toujours dans le même sens, la région de convergence restera d'abord, et pendant un certain temps, limitée h l'origine.

On pourrait évidemment préciser davantage si on le voulait.

Le point de départ étant choisi de manière que la région de convergence reste limitée à l'origine : si a^, est négatif, le point [x, y] pourra passer sur la branche de la conjuguée C = oo qui touche la courbe réelle à l'origine, mais il ne pourra atteindre la courbe réelle ; dans le cas contraire il pourra passer sur la courbe réelle, mais non sur la conjuguée C = X .

D'un autre côté la conjuguée C = 0, qui touche la courbe réelle au point B, étant définie par les équations

if — 3aay -f a^" — 3a^« =0, — 3ay + 3a* — ^^ = 0,

d'où l'on tire par l'élimination de y

suivant que

sera positif ou négatif, le point [x, y] n'aura pas, ou aura passé sur celte conjuguée C = 0.

Cela posé, on peut distinguer les deux cas oti le point de départ se trouverait entre les deux portions des conjuguées G = oo , G = 0, qui nous occupent, ou au delà de la conjuguée G = 0.

Dans le premier cas, et si d'ailleurs a^ est négatif, suivant que [i^W aura le signe — ou le signe -f-> ^^ point d'arrivée appartiendra à une portion de conjuguée tangente à la courbe réelle, en un point de l'arc ASBOT, situé au-dessous ou au-dessus de Torigine. Si donc p,fi„ a le signe — , le point [x, y] n'aura pas passé sur la conjuguée G = 0, ou y aura passé un nombre pair de fois, ce qui revient au même, et la caractéristique du point d'arrivée sera négative ; mais si ^,p„ a le signe -|--> 'e point [x, y] n'aura pas traversé la conjuguée C = oo*, ou l'aura traversée un nombre pair de fois, ce qui revient au même, et la caractéristique du point d'arrivée sera positive ou négative suivant que

sera positif ou négatif.

Si au contraire «o était positif, le point [x, y] ne pouvant plus passer sur la conjuguée G = oo , la caractéristique du point d'arrivée serait positive ou négative suivant que

serait positif ou négatif; et comme d'ailleurs le point (x, y) aura ou non passé sur la courbe réelle, suivant que Pi,Sp aura le signe — ou le signe -f- : si [ij^o est négatif, le point d'arrivée sera sur une branche de conjuguée dirigée à droite ou à gauche, si le point de départ appartenait à une branche dirigée à gauche ou à droite, et inversement, si PiP^ a le signe -|-i

Dans le second cas, où le point de départ se trouverait au delà de la conjuguée G = 0, si a,, est négatif, la caractéristique du point d'arrivée sera négative ou positive suivant que

sera positif ou négatif, car il n'aura traversé ni la conjuguée G =0, ni à plus forte raison la conjuguée G = oo , si

a le signe + ; il aura seulement traversé la conjuguée G = 0, si

a le signe — , ^j^o ayant au contraire le signe + ; enfin il aura traversé les deux conjuguées si les deux produits ont chacun le signe — .

Si «0 est au contraire positif, le point {x, y] ne pouvant passer sur la conjuguée G = x , la caractéristique du point d'arrivée sera négative ou positive suivant que

sera positif ou négatif : d'ailleurs si p,^o est négatif, le point d'arrivée appartiendra à une branche dirigée vers la droite ou vers la gauche, si le point de départ se trouvait sur une branche dirigée à gauche ou à droite, et inversement si ^^^Q a le signe +.

Supposons maintenant le point de départ placé toujours sur une branche de conjuguée tangente à la courbe réelle en un point de

l'arc OBSA, mais avec la circonstance (f.^"^ —. -

Le point [x, y] ne pourra passer sur la portion de la conjuguée C = oo qui touche la courbe réelle en A que si l'on peut satisfaire à l'inégalité

par des valeurs de a dépassant -\- a \Ia : or cette inégalité se réduit à

a* — ^a^a -f gaa^ v'^ — 2a* v^2 < 0, et exige que a reste compris entre

2ao — a v'4 et a\jA :

comme nous supposons a^ > — » 2 a^ — a v4 sera positif. Mais il

V2 reste cependant à distinguer deux cas :

2ao — a v^4 < a Ij-i et 2ol^ — a y/i > a v^I, c'est-à-dire

«0 < a ^4 et %>a yl ;

dans le premier en effet, pour satisfaire à l'inégalité

il faudrait que a restât moindre que a \/4, ce qui veut dire que le point [x, y] ne pourrait pas atteindre la portion de la conjuguée C = oo qui touche la courbe réelle en A ; tandis que, dans le second cas, pour satisfaire à la même inégalité, il faudrait que a restât plus grand que a ^4, ce qui signifie que le point [x, y] ne pourrait plus revenir sur la courbe réelle.

Supposons a^ ■< a V4, le point [x, y] ne pouvant dans ce cas passer sur la portion de la conjuguée G = oo qui touche la courbe réelle en A,

\ ne pourra, à plus forte raison, atteindre la coniuguée G = — —=\ par

conséquent, la région de convergence sera bien limitée au point A.

Quelque part qu'on plaçât le point de départ, on saurait, dans cette hypothèse, comme précédemment, quel serait le signe de la caractéristique du point d'arrivée, et sur quelle branche ce point se trouverait.

Je passe donc au cas où a^ dépasserait a \/4. Le point [x, y] pouvant alors traverser la portion de la conjuguée G = oo qui touche la courbe réelle au point A,* on ne voit pas tout d'abord pourquoi il ne pour-

\ rait pas atteindre la portion de la conjuguée G = — -= qui con-

tient les points critiques imaginaires ; c'est-à-dire qu'on ne voit pas tout d'abord auquel des trois points A, D, D' la région de convergence de la série sera limitée. A la vérité, ce serait incontestablement au point A;, si

se trouvait à la fois moindre que

et que

inégalités qui se réduisent à

«o\/3 + ^o>0 et «„v3-Po>0;

mais elles ne seraient satisfaites ni l'une ni l'autre, que la région de convergence n'en serait pas moins encore bornée au point A, laissant à l'écart les points D et D' à des distances plus ou moins considérables. En effet, imaginons que nous revenions à l'un des points qui, ayant son abscisse définie par les équations

oL^ = a V4, a\ll\/3±p^ = 0,

appartiendrait d'ailleurs à une portion de conjuguée tangente à la courbe réelle en un point de l'arc OBSA .

Il est acquis que si nous diminuions infiniment peu a,,, sans faire varier p^, la région de convergence n'atteindrait même plus alors la portion de la conjuguée G ^ oo qui passe en A ; comment pourrait-on donc concevoir que si, au contraire, on augmentait infiniment peu a,,, la région de convergence prît instantanément un développement qui en portât la limite au delà de l'un des points D ou D' ?

Au reste, les deux conditions

aoV3±Iâo>0

sont pleinement remplies lorsque le point de départ appartient à la portion de la conjuguée G = oo qui touche la courbe réelle en A; comment pourrait-on donc concevoir que la région de convergence limitée

précédemment en A, lorsque a^ était compris entre -^ et a\A, le point

s/2 de départ appartenant alors à une branche de conjuguée tangente à la courbe réelle en un point de l'arc OBSA, et restant encore limitée au

même point lorsque le point de départ vient se placer sur la portion de la conjuguée G = oo qui touche la courbe réelle en A, eût pu dans l'intervalle s'étendre jusqu'à l'un des deux points D ou D' qu'elle aurait au contraire dû toujours tendre à absorber en enveloppant une portion de plus en plus grande de l'espace répandu autour d'eux?

Les choses ne se passent jamais d'une façon à ce point extraordinaire ; et quant au fait même qui nous occupe, il trouvera une explication bien simple dans l'observation suivante : à chacune des valeurs particulières de X,

«V4 1 — ^ , av/4 ^^-Y^ '

il correspond, pour y, les valeurs doubles

qui sont les ordonnées des points critiques D et D', et des valeurs simples

qui sont les ordonnées de points ne présentant aucune particularité remarquable. Or ce n'est évidemment qu'à l'un de ces points, et non à l'un des points D ou D', que peut se rendre le point [x, y], lorsque a,, dépassant a\lt, et a^ v3 ± % étant négatifs, le point de départ appartient d'ailleurs à une branche de conjuguée tangente à la courbe réelle en un point de l'arc OBSA.

L'égalité momentanée des distances du point de départ aux points A et D ou D', quand «„ y 3 ± [^^ = 0, ne signifie donc en aucune façon que la limite de la région de convergence passe à la fois au point A et à l'un des points D ou D', mais bien qu'elle passe au point A et à l'un des points qui, ayant leurs abscisses égales à celles des points D et D', ne présentent toutefois aucune particularité remarquable.

La fausse indication fournie par la condition de convergence tient encore, dans ce cas, à ce que l'ordonnée du point de départ n'y entre pas : lorsque le point de départ appartiendra à une branche de conjuguée tangente à la courbe réelle en un point de l'arc AOT', la même indication, dans les mêmes circonstances,

deviendra exacte.

La même difficulté apparente, si l'on eût voulu l'apercevoir, se serait déjà présentée lorsque le point de départ appartenait à une branche de conjuguée tangente à l'arc TO : si, par exemple, on avait pris pour point

de départ le point de cet arc, qui, ayant pour abscisse—— ou —, se

trouverait sur une verticale menée à égale distance de l'axe des y et de la tangente au point A, les distances du point de départ à l'origine et au point A, représentées par les modules des différences des abscisses des points comparés, se seraient trouvées égales ; mais il n'eût évidemment pas fallu en conclure que la limite de la région de convergence dût alors passer à la fois à l'origine et au point A : elle aurait passé par l'origine et par le point

y = — 2a Vi.

C'est par les mêmes motifs que chacun des points du lieu a = 0 paraissait également éloigné des deux points critiques du lieu

tto devenant nul sans que a'^ le fût, la limite de la région de convergence • passait à l'un des points critiques et au point simple qui avait même abscisse que l'autre.

Supposons maintenant que le point de départ marchant toujours dans le même sens se rende sur les conjuguées qui touchent l'arc AOT' de la courbe réelle,

La région de convergence restera d'abord limitée au point A, parce que sur les conjuguées dont le contact aurait lieu très-près de A, on ne pourra pas trouver de points remplissant l'une ou l'autre des conditions

Tant que le point A restera sur la limite de la région de convergence, il ne pourra arriver au point {x, y] que de passer sur la (Tourbe réelle, sur la portion de la conjuguée G = oo qui passe au point A ou sur la portion de la conjuguée G = 0 qui passe à l'origine. On constatera ces diverses circonstances comme dans le cas précédent, et l'on pourra par conséquent assigner par les mêmes moyens la valeur finale de y; nous n'insisterons donc pas sur ce cas.

Supposons enfin que le point de départ appartienne à une conjuguée assez éloignée du point A pour qu'on y puisse trouver des points tels, que

«0 ± f Q soit négatif,

de façon que la région de convergence soit alors limitée à l'un des points D ou D'.

Les distances du point de départ à ces deux points, estimées par les modules des différences des abscisses, étant

on voit que la région de convergence sera limitée au point D ou au point D' suivant que p^, sera négatif ou positif, c'est-à-dire suivant que le point de départ appartiendra à l'une ou à l'autre des deux branches de la conjuguée où il se trouve, qui partent de la courbe réelle. Si le point de départ appartenait à la courbe réelle (il faudrait alors qu'il fût à la gauche de l'origine pour que «o ± ^o fût négatif), la limite de la région de convergence passerait à la fois aux deux points D et D'.

Dans le cas qui nous occupe, deux des valeurs de y correspondant à la valeur finale de x pourraient ne se distinguer l'une de l'autre que par le signe des parties imaginaires des valeurs qu'elles fourniraient pour

mais on saura toujours quel signe aura dû prendre la partie imaginaire

de -~ au point d'arrivée, si l'on a relevé les passages du point [x, y] sur

l'enveloppe imaginaire.

Cette enveloppe est définie par la condition

ay — x^ , ,

-I ■=réel,

y^ — ax

■\p—av. 2a' [y— a^

d'où l'on pourrait éliminer a' et [i', ce qui fournirait entre a et ^ une équation ç (a, ^) = 0. Le point [x, y] aurait ou n'aurait pas passé sur l'enveloppe, suivant que

auraient le signe — ou le signe -1— Le calcul de l'équation © (a, ^) = 0 ne présentant aucune difficulté théorique, nous ne nous y arrêtons pas.

DÉTERMINATION DU POINT CRITIQUE OU EST LIMITÉE LA CONVERGENCE DE LA SÉRIE DE TAYLOR.

302. Nous avons établi, dans le chapitre XXII, que les points où peut être limitée la région de convergence de la série suivant laquelle se développe, d'après la formule de Taylor, une fonction y, explicite ou implicite, sont exclusivement ceux oti la fonction ou ses dérivées, à partir d'un certain ordre, deviennent infinies, à l'exclusion, par conséquent, des points multiples qui ne remplissent pas cette condition. Nous avons établi en même temps l'inexactitude de la règle donnée par Gauchy et adoptée depuis, explicitement ou implicitement, par tous les géomètres qui ont écrit sur la matière, d'après laquelle la région de convergence serait nécessairement limitée au point critique dont l'abscisse retranchée de celle du point origine donnerait la différence de moindre module. L'erreur, sous ce dernier rapport, tenait h uneconfu-. sion facile à apercevoir : il ne suffit pas, pour que la convergence de la série de Taylor soit limitée à une certaine valeur de x, que cette valeur soit critique, ou plutôt qia'il y corresponde une valeur critique de y; il faut surtout que y, variant d'une manière continue avec x à partir de sa valeur initiale, arrive à sa valeur critique en même temps que x, sans que X ait dépassé la limite en question.

Nous avons ensuite, dans le chapitre XXIII, assigné la vraie limite de la région de convergence, pour quelques fonctions particulières. Nous nous proposons dans celui-ci de traiter la question d'une manière générale.

La simplicité de la solution qui interviendra s'explique par deux motifs qu'on a déjà pu apprécier : le premier, que la considération des conjuguées fournit une méthode simple de classification des solutions imaginaires d'une équation à. deux variables; le second, que nous avons préalablement résolu le problème de déterminer la marche continue du

point [x, y], tandis que x= ^-\-^ sj — 1 suivrait un chemin quelconque ç (a, ^) = 0.

La construction préalable des conjuguées avait, dans la question qui va nous occuper, une importance comparable à celle qu'aurait la description topographique d'un pays où l'on voudrait établir une route ; et d'un autre côté, pour savoir si y est parvenu à sa valeur critique.