SÉRIE DE TAYLOR. SOLUTION GÉNÉRALE

quand x est arrivé à celle qui la donne, il fallait pouvoir suivre la marche du point \x, y]'à partir de son point de départ.

Nous ramènerons la question de la détermination du point critique où est véritablement limitée la région de convergence à celle de la détermination du point d'arrivée d'un point [a:, y\ mobile d'une manière continue, pendant que son abscisse ar = a-f- py — 1 varierait suivant une certaine loi, toujours très-simple du reste; mais nous ne traiterons pas ici la seconde question, qui a été résolue dans les chapitres XX et XXI.

505. Je rappellerai d'abord les définitions de quelques termes que j'ai au reste déjà employés : j'appelle point critique d'un lieu / {x, y) = Q un point ayant pour coordonnées une valeur de a; à laquelle correspond une valeur de y infinie ou ayant ses dérivées infinies à partir d'un certain ordre, et cette valeur de y; c'est-à-dire que, parmi les points du lieu f{x, y) = 0, qui correspondent à une valeur critique de x, j'appelle seulement critique celui dont l'ordonnée est infinie ou a ses dérivées infinies à partir d'un certain ordre.

Je désignerai souvent sous le nom de point origine le point correspondant au système des valeurs de x et de y à partir desquelles on veut développer y suivant la série de Taylor.

Si a^ -|- Po V — 1 et a'o + ^'o V — 1 sont les coordonnées du point origine, et que a -{- b \J — \, a' -\- b' y— -1 soient celles du point critique où se trouve limitée la convergence de la série de Taylor, l'équation

ionnée

\dx^), i . 2

ne peut fournir que les ordonnées des points du lieu /"(ar, y) = 0, dont les abscisses

satisfont à la condition

(« - «„)' -h (p - %Y < (« - %r + (* - Pc)' ;

mais pour chaque valeur, a -j- ^ y/ — 1, de a?, satisfaisant à cette condition, elle ne fournit qu'une seule des valeurs de y correspondantes. Les points correspondant aux solutions de l'équation

forment plaque sur le tableau. Cette plaque est une partie de la portion du plan recouverte par les points correspondant aux solutions de l'équation

je la désigne sous le nom de région de convergence relative au point [Xo, yoJ- C'est le segment du lieu f{x, t/)=0 que représente le segment bien déterminé

dy\ x-x, •^«^ dx), 1 +•••

de la fonction multiple y.

La région de convergence est comprise dans l'intérieur d'une courbe qui est le périmètre ou la circonférence de la région de convergence ; cette

courbe passe par un point critique [a + 6 \/ — 1, a' -\- b' \l — i] et est caractérisée par l'équation

(a - «„)^ + (^ - %? ={a- «o)' + (* - Po)'.

On pourra désigner le point origine sous le nom de centre de la région de convergence.

Cela posé, nous examinerons successivement le cas oh l'équation f {x, y)= 0 aurait tous ses coefficients réels et où tous les points critiques seraient réels ; le cas oti, les coefficients de l'équation restant réels, quelques points critiques seraient imaginaires ; enfin le cas où les coefficients de l'équation f{x, y) = 0 seraient imaginaires. Nous distinguerons aussi dans chaque cas les deux hypothèses où l'abscisse du point origine serait réelle ou imaginaire .