SÉRIE DE TAYLOR. SOLUTION GÉNÉRALE

donner l'ordonnée d'un point x = a» dz h, y = a'« ri: A; de la courbe réelle, ou d&la conjuguée à abscisses réelles passant en [a,„ a',,], infiniment voisin de ce point \an, «'«]. Mais il ne peut en être ainsi ; car, si l'on faisait revenir x par valeurs réelles de a« ±: A à x„, le point [x, y] pénétrerait de plus en plus dans la région de convergence ; son ordonnée serait donc à chaque instant représentée par la série; d'un autre côté, ce point, en se déplaçant d'une manière continue, suivrait la branche de la courbe réelle, ou la branche de la conjuguée à abscisses réelles qui part de [a„, a'»], et tomberait finalement au point de l'une ou l'autre de ces branches qui aurait pour abscisse x = x^.

Si ce point n'était pas le point origine, c'est-à-dire si le point critique [a„, a'n] n'appartenait pas à la même branche de la courbe à abscisses réelles que le point origine, la série donnerait donc en même temps deux valeurs de y pour une même valeur de x, ce qui est impossible.

D'ailleurs, il est bien clair que, si le point [x^, yj est compris, sur la branche à laquelle il appartient, entre deux points critiques, ce sera au plus voisin que s'arrêtera la convergence, puisque la série prendra déjà une valeur infinie en ce point.

Supposons, en second lieu, que le point origine ait ses deux coordonnées imaginaires.

Soient

^o = «o + ^oV— 1 et ?/,= a;+fS'oV^

les coordonnées de ce point, et

X = On, y = a'„

les coordonnées du point critique, encore inconnu, par lequel passera la circonférence de la région de convergence ; le carré du module de la différence x^ — an sera

or, si un point [x, y] part de

et se déplace d'une manière continue, son abscisse a -f- [i y — 1 variant de ap -}- ^0 y/ — i à a^, c'est-à-dire p passant de po à 0 et a restant constamment égal à ao, ce point ne sortira pas un seul instant de la région de convergence ; par conséquent, la série donnera à chaque instant son ordonnée, notamment lorsque son abscisse sera devenue «o.

D'un autre côté, si un autre point [x, y] partait du point critique [ttn, a'n], et que son abscisse variât par valeurs réelles de a« à a^, un des points dans lesquels il se décomposerait (1) pénétrerait de plus en plus

(1) Ces points sont toujours on nombre égal au degré de multiplicité du point critique.

dans la région de convergence, et son ordonnée serait aussi à chaque instant donnée par la valeur de la série.

Si donc ce point ne rejoignait pas l'autre, qui est parti de [x^, y^], au moment où leurs abscisses prendront la même valeur a^, la série pourrait donner deux valeurs différentes de y pour une même valeur de x, ce qui est impossible.

Les deux points devront donc se rejoindre.

Mais le second aura suivi l'une des branches de la courbe réelle, ou de la conjuguée G = oo , qui se touchaient au point critique [a„, a'„] ; par conséquent ce point critique devra appartenir à la branche, de la courbe à abscisses réelles sur laquelle viendra tomber le point qui partira de [Xq, yj, et dont l'abscisse aurait varié de a^, -f- ^o v ~" ^ ^ "o-

Les points critiques à considérer, relativement à l'origine [x„, yj, seront donc seulement ceux qui se trouveront sur cette branche.

Du reste, il est clair qu'il faudra prendre celui dont l'abscisse retranchée de Xq donnera la différence de moindre module. Car 1° ce point pourra être atteint sans sortir de la région qu'il limitera ; 2° la série y prendra une valeur infinie ; 3° pour aller joindre un autre point critique, il faudrait faire prendre au module de {x — x^) une valeur supérieure à celui d'une valeur de cette différence pour laquelle la série serait déjà infinie.

Ainsi, dans le cas qui vient d'être examiné, la marche à suivre consistera à déterminer le point d'arrivée du point qui partirait du point origine, et dont l'abscisse aurait varié de manière que sa partie imaginaire tendît directement vers zéro, sa partie réelle restant constante ; ensuite à prendre sur la branche de la courbe à abscisses réelles, où se trouvera le point d'arrivée , celui des points critiques dont l'abscisse différerait le moins de la partie réelle de l'abscisse du point origine.