DEUXIÈME CAS

V équation f (x, y) =0 a tous ses coefficients réels; mais quelques points critiques sont imaginaires,

503. Supposons d'abord que l'abscisse du point origine soit réelle.

Si la région de convergence devait être limitée à l'un des points critiques réels, on saurait, par. la théorie précédente, auquel on aurait affaire; mais il pourra arriver que la Umite soit un des points critiques imaginaires.

Soient

a?o = «0, et ^0 = a; 4- ^\ sj— 1

les coordonnées du point origine, ^'o pouvant être nul, et ^n = a« + bn V — 1 , yn = a'n + à'n V — 1

SKRIE DE TAYl,OR. SOLUTION GÉNÉRALE. 75

les coordonnés du point critique imaginaire où serait limitée la région de convergence; le carré du module de {xn — x^) sera alors

si l'on fait partir du point [an -{• à,, \/ — !,«'«+ *'« \/ — i] un point [x, y] assujetti à la condition de continuité, et que l'on fasse converger son abscisse vers a«, en faisant tendre vers zéro la partie imaginaire de cette abscisse, un des points dans lesquels il se décomposera pénétrera de plus en plus dans l'intérieur delà région de convergence, puisque le module de la différence de son abscisse et de celle du point origine variera de

par conséquent l'ordonnée de ce point sera constamment donnée par la valeur de la série.

D'un autre côté, si l'on fait partir un autre point [x, y'\ du point origine et qu'on fasse tendre son abscisse vers <r« par valeurs réelles, ce point ne sortira pas un instant de la région de convergence ; les deux points devront donc se confondre quand leurs abscisses auront pris la valeur commune o,,.

Mais le point qui sera parti du point origine aura suivi la branche de la courbe à abscisses réelles qui contenait ce point origine.

Par conséquent le point parti du point critique

[cin + bn \/— \ , a'n + *'« sj— \ J

aura dû tomber sur cette branche.

Les points critiques imaginaires tels qu'aucun des points qui en seraient partis simultanément, ne viendrait tomber sur la branche de la courbe !îi=0, passant par le point origine, ne seront donc pas à considérer.

D'ailleurs cette branche se terminera dans les deux sens par deux points critiques (dont l'un pourra être à l'infini c'est-à-dire ne pas exister), et les points critiques imaginaires tels qu'aucun des points qui en seraient partis simultanément ne viendrait tomber entre ces deux extrémités ne seront pas davantage à considérer.

On prendra, parmi les points critiques restants, celui dont l'abscisse retranchée de x^ donnera la difl'érence de moindre module, et, s'il n'est resté aucun point critique imaginaire, on prendra, sur la branche partant du point origine, l'extrémité la plus proche de ce point. La démonstration se ferait comme dans le cas précédent.

Le nombre des points critiques imaginaires peut être considérable, et il y aurait avantagea en écarter d'avance le plus grand nombre possible. On en supprimera un grand nombre en remarquant que, la région de convergence relative à une origine située sur une branche de la

courbe fi == 0, ne pouvant en aucun cas entamer ni l'une ni l'autre des branches de la même courbe qui coniprennent la branche où se trouve le point origine, les points critiques à considérer seront seulement ceux qui seront compris entre ces deux branches.

Si le point origine avait son abscisse imaginaire, on la ramènerait aisément à être réelle, comme on le verra dans le paragraphe suivant. Nous passons donc immédiatement au troisième cas.